圖形基本化的解題思路

向興河

一個(gè)較為復(fù)雜的構(gòu)圖往往是以“基本圖形”為核心，用基本圖形做“底”，將三角形、四邊形、圓等基本圖形充實(shí)豐富，然后研究所構(gòu)圖形內(nèi)在的因果邏輯關(guān)系，把因果聯(lián)系設(shè)置為“條件”和“結(jié)論”，并將其“數(shù)學(xué)化”，就成為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。平面幾何的教學(xué)，從某種意義上講就是教會(huì)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本圖形，抓住基本圖形分析和解決問(wèn)題，并使之成為一種解決問(wèn)題的思路。

一、立足基本圖形，夯實(shí)圖形基礎(chǔ)

關(guān)于基本圖形的定義，學(xué)界并沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的界定，它不像一些基本的數(shù)學(xué)概念那樣嚴(yán)謹(jǐn)、清晰。華中師范大學(xué)教育學(xué)院劉輝老師認(rèn)為，基本圖形可分為三類：概念型基本圖形，定理型基本圖形，經(jīng)驗(yàn)型基本圖形。

如：平面幾何當(dāng)中的平行線、直角、等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓等幾何概念，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)基本圖形，我們稱之為概念型基本圖形。

平面幾何中，每一個(gè)公理、定理及推論都對(duì)應(yīng)著一個(gè)圖形，在這個(gè)圖形當(dāng)中都包涵著命題的題設(shè)和結(jié)論，如：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（如圖1）;等腰三角形頂角角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（如圖2）等，我們稱之為定理型基本圖形。

還有一類基本圖形，就是我們?cè)诮虒W(xué)中，通過(guò)例題、習(xí)題的經(jīng)驗(yàn)積累，把一些有代表性的圖形歸納為基本圖形，作為思考其他綜合圖形的基礎(chǔ)圖形。如：直角三角形斜邊上高（如圖3）;一個(gè)平角被任意一條射線分成的兩個(gè)角的角平分線互相垂直（如圖4）等。

二、抓住問(wèn)題核心，分離基本圖形

從復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形是一種有效的幾何思維方式，它能夠抓住問(wèn)題的核心，擺脫復(fù)雜圖形對(duì)思維的干擾，分解問(wèn)題難點(diǎn)，化難為易，找出解決問(wèn)題的途徑。

1.從復(fù)雜的幾何圖形中分離出基本圖形

例1 如圖5，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC，CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合。

（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF;

（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化。如果不變，求出這個(gè)定值;如果變化，求出最大（或最?。┲?。

分析：連接AC以后，只要抓住等邊三角形ABC和等邊三角形AEF這兩個(gè)基本圖形即可解決問(wèn)題（如圖6）。因?yàn)樗倪呅蜛ECF的面積就是等邊三角形ABC的面積，△CEF的最大面積就是當(dāng)△AEF面積最小時(shí)的面積，所以只需求當(dāng)?shù)冗吶切蜛EF的邊AE⊥BC時(shí)，求出其面積即可。

2.從函數(shù)圖像與幾何圖形的綜合圖形中分離出基本圖形

例2 如圖7，已知直線[y=ax+k]經(jīng)過(guò)拋物線[y=ax2-4ax]的頂點(diǎn)A，且與x軸的交點(diǎn)為B。

（1）求k與a的關(guān)系式;

（2）∠OAB有沒(méi)有可能為銳角？如果有，求出a的取值范圍。若沒(méi)有，說(shuō)明理由。

分析：求出頂點(diǎn)A（2，-4a），則直線的關(guān)系可表示為[y=ax-6a]，則B（6，0）。去掉坐標(biāo)系，去掉拋物線和直線，分離出△OAB即可（如圖8）。“∠OAB有沒(méi)有可能為銳角”轉(zhuǎn)化為“∠OAB有沒(méi)有可能為直角”的問(wèn)題，在“直角三角形斜邊上的高”這一基本圖形中求AC即可。

三、構(gòu)造基本圖形，突破問(wèn)題關(guān)鍵

1.添加輔助線，將基本圖形補(bǔ)充完整

例3 如圖9，在△ABC中，AB=12，AC=18，E是BC的中點(diǎn)，AD平分△ABC的外角∠FAB，且BD⊥AD，垂足為D，連接DE，求DE的長(zhǎng)。

分析：抓住圖9中“AD平分∠FAB，AD⊥BD”這一條件，聯(lián)想到基本圖形“一個(gè)三角形的角平分線與對(duì)邊上的高互相重合”，于是延長(zhǎng)BD交AF于G，就構(gòu)造了“等腰三角形ABG”（如圖10），實(shí)際上就是將等腰三角形ABG補(bǔ)充完整，即可得出D是BG的中點(diǎn)，DE則是△GBC的中位線，這樣就可求出DE的長(zhǎng)。

2.添加輔助線，構(gòu)造基本圖形

例4 如圖11，BD是□ABCD的對(duì)角線，AE⊥CD于E，交BD于F，BF=2AD，∠ADE=75°，求∠AFB的度數(shù)。

分析：由條件“BF=2AD”，和“∠BAE=90°”，可聯(lián)想到“直角三角形斜邊上的中線”這一基本圖形，于是作△ABF斜邊BF上的中線（如圖12），即構(gòu)造了基本圖形“△ABF的斜邊BF上的中線AG”（如圖13），問(wèn)題會(huì)迎刃而解。

總之，在平時(shí)的教學(xué)中，要立足基本圖形，夯實(shí)圖形基礎(chǔ)，熟練掌握各個(gè)概念型基本圖形的性質(zhì)與判定，熟練掌握各個(gè)定理型基本圖形的題設(shè)與結(jié)論，熟練運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)型基本圖形，使學(xué)生依托于基本圖形，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單思考，簡(jiǎn)單分析，實(shí)現(xiàn)圖形的題設(shè)與結(jié)論的相互轉(zhuǎn)化，把學(xué)生的合情推理和演繹推理能力的培養(yǎng)放在問(wèn)題探究過(guò)程中的重要位置。