Garfunkel—Bankoff 不等式的一個類似

陜西咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究課程中心 (郵編： 712000 )

文[1]-[4]多次研究了如下Garfunkel—Bankoff 不等式:

問題1 在△ABC中，

①

等號當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時成立.

通過探究，發(fā)現(xiàn)了不等式①的一個如下類似：

問題2 在△ABC中，R,r表示三角形外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有

②

等號當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時成立.

證明記△ABC的三邊長為a、b、c,則存在正數(shù)x、y、z，使得

a=y+z,b=z+x,c=x+y.

這時，可以求得(文[5])

(*)

注意到文[6]里的恒等式：

(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz.

立知(*)等價于

4(yz)2+4(zx)2+4(xy)2≤(x+y+z)2(xy+yz+zx)-5xyz(x+y+z),等價于

4(yz)2+4(zx)2+4(xy)2≤(x2+y2+z2)(xy+yz+zx)+2(xy+yz+zx)2-5xyz(x+y+z),等價于

2(yz)2+2(zx)2+2(xy)2≤(x2+y2+z2)(xy+yz+zx)-xyz(x+y+z),等價于

x3y+xy3+y3z+yz3+z3x+zx3≥2(xy)2+2(yz)2+2(zx)2,等價于

xy(x-y)2+yz(y-z)2+zx(z-x)2≥0,于是(*)獲證.