鄭大明
[摘 要]數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)進入人們的研究視野以來,幾何直觀和空間想象力就成為主要關(guān)注對象。以北師大版教材為例,通過特征、關(guān)系、結(jié)構(gòu),以及表示數(shù)學(xué)過程、規(guī)律等內(nèi)容,論述幾何直觀在教材中的表現(xiàn)形式,幫助教師找出相關(guān)的內(nèi)容來幫助學(xué)生發(fā)展幾何直觀和空間想象力。
[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)素養(yǎng);幾何直觀;教材示例
[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068(2019)08-0012-04
幾何直觀,是一種重要的形象思維方式,也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“空間想象力”的重要組成部分。數(shù)學(xué)教材采取了多種方式滲透這樣的思維方式。為了幫助教師更好地把握教材中的這一特點,現(xiàn)以北師大版新世紀(jì)《數(shù)學(xué)》教科書為例予以說明。
一、概念及意義
在弄清楚幾何直觀之前,先說說什么是幾何。
幾何,是一個外來詞。希臘語“geo”,英文為“Geometry”,原指古埃及人丈量土地的學(xué)問。明代徐光啟與意大利傳教士利瑪竇翻譯西方的關(guān)于形的刻畫的數(shù)學(xué)時,使用了近音譯的“幾何”一詞。英文詞匯“Geometry”有“幾何”與“多少”的疊加意思,把希臘語本來指刻畫物體的形狀方面的意思加入了數(shù)量的意義,與中國古代的“象形學(xué)”和越南的“形學(xué)”一詞非常接近。因此,幾何學(xué)就是指研究事物的空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科。
綜上,幾何學(xué),就是指以點、線、面、體等符號化的形符刻畫事物的位置與距離的學(xué)問。就像“數(shù)”是數(shù)出來的一樣,“形”就是畫出來的。由此可知,代數(shù)學(xué)就是用1、2、3、4、a、b、c、d等符號化的聲符表示事物或者現(xiàn)象的大小與多少的學(xué)問。
直觀,通常是指一種看得見、摸得著的感知方式。幾何直觀,就是指人們用點、線、面、體等看得見的符號或者模型刻畫一些非可視化的現(xiàn)象或者事物之間的關(guān)系、規(guī)律等的思維方式。它的更上位的思維方式就是數(shù)形結(jié)合思想。由數(shù)到形的思考,叫幾何直觀;由形到數(shù)的思考,叫數(shù)感意識。
二、實例與解讀
無論哪一種版本的教材,都會或多或少地使用幾何直觀的思維方式,引導(dǎo)學(xué)生思考事物的特征、事物之間的數(shù)量關(guān)系以及變化的規(guī)律等。
1.表示特征
所謂特征,是指事物本來的、獨有的樣子或狀態(tài)。比如下雨和起霧,雨和霧雖然與水有關(guān),但是特征就不完全一樣。這很像長方形和正方形的概念。
在數(shù)學(xué)上,事物的量的變化特征非常隱晦,學(xué)生不容易體會到,但借助幾何直觀,就比較利于學(xué)生觀察與發(fā)現(xiàn)。
北師大版教材六年級下冊 “正比例和反比例”的第一節(jié)課“變化的量”(如圖1),就通過曲線圖反映了妙想6歲前的年齡與體重變化的特征和駱駝兩天內(nèi)的體溫變化特征。將一種不好琢磨的數(shù)據(jù)變化特征轉(zhuǎn)化為形態(tài)變化特征,利于學(xué)生觀察、比較、發(fā)現(xiàn)、判斷和預(yù)測。
2.表示關(guān)系
所謂關(guān)系,是指人或事物之間的相互聯(lián)系,反映它們之間的相互作用、相互影響的狀態(tài)。但數(shù)量關(guān)系本身就比較抽象,特別是低年級學(xué)生的想象力不夠,往往很難理解數(shù)與數(shù)之間、量與量之間的關(guān)系。而恰當(dāng)使用幾何直觀,就能非常巧妙地化解這一難題。
北師大版教材六年級上冊 “比的認(rèn)識”的第一節(jié)課“生活中的比”(如圖2),就是利用圖片中長方形“長與寬”的變化對比,引導(dǎo)學(xué)生理解長與寬的對應(yīng)變化關(guān)系。
北師大版教材二年級上冊 “除法”的第五節(jié)課“快樂的動物”(如圖3),就是利用畫圓圈組合的方式,引導(dǎo)學(xué)生用圈圖法理解小鴨、小猴等動物只數(shù)之間對應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系。
小猴有3只,用3個○表示;圈在一起,作為一個計數(shù)單位,即單位“1”。
小鴨有6只,用6個○表示;與小猴的只數(shù)對應(yīng)相比,有兩個計數(shù)單位,即兩個單位“1”,于是就可以說:“小鴨只數(shù)是小猴只數(shù)的2倍”,算式:6÷3=2。其余的動物只數(shù)之間的關(guān)系以此類推得出相應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系。
3.表示結(jié)構(gòu)
所謂結(jié)構(gòu),是指事物的組成中,整體的各部分的搭配和安排的方式或狀態(tài)。小學(xué)數(shù)學(xué)中包含了大量的知識結(jié)構(gòu)與數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu),但都比較抽象,學(xué)生很難認(rèn)知和感受。因此,教材借助幾何直觀的思維方式,可以大大解決學(xué)生對于抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的認(rèn)知困難。
北師大版教材四年級上冊 “生活中的大數(shù)”的第一節(jié)課“數(shù)一數(shù)”(如圖4)中,為了讓學(xué)生建立大數(shù)的計數(shù)單位(數(shù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn))以及各計數(shù)單位之間的進率關(guān)系,教材采用三維圖形及小正方體堆積的圖形,讓學(xué)生直觀體會“個”“十”“百”“千”“萬”“十萬”“百萬”的含義,同時理解這些單位的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和相互之間的關(guān)系,從而記住這些計數(shù)單位及其相鄰單位之間、相隔單位之間的進率。
北師大版教材五年級上冊 “分?jǐn)?shù)”的第二節(jié)課“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(二)”(如圖5)中,關(guān)于一個非常抽象的概念“分?jǐn)?shù)單位”,教材借助“分?jǐn)?shù)墻”,采用同樣長的長方形格子,以“1”、2個“二分之一”、3個“三分之一”等值的直條,顯示出二分之一、三分之一等分?jǐn)?shù)單位與“1”的組成關(guān)系,將分?jǐn)?shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)規(guī)律直觀地表示出來,非常利于學(xué)生的認(rèn)識和理解。
4.表示過程
所謂過程,是指事物發(fā)展所經(jīng)過的程序,在質(zhì)量管理學(xué)中定義為“將輸入轉(zhuǎn)化為輸出的一組活動”。對于小學(xué)數(shù)學(xué)的很多程序性知識,只是使用概念和命題的形式來陳述的話,非常不利于學(xué)生理解,特別是低年級學(xué)生。因此,教材借助幾何直觀,大大減輕了學(xué)生的記憶和理解負(fù)擔(dān)。
北師大版教材一年級下冊 “加與減(一)”的第二節(jié)課“捉迷藏”中(如圖6),為了讓學(xué)生體會“13-8”的過程,教材除了安排用數(shù)小棒來體會計算過程以外,還特地使用數(shù)線圖,利用“數(shù)格子”和“反向標(biāo)箭頭”等方式,讓學(xué)生體會比數(shù)小棒更抽象的數(shù)線段上的“13-8”的過程。這樣,學(xué)生更能直觀地記住退位減法的計算過程。
北師大版教材五年級下冊 “分?jǐn)?shù)除法”的第一節(jié)課“分?jǐn)?shù)除法(一)”中(如圖7),為了說明清楚“七分之四除以二”和“七分之四除以三”的特殊性,教材除了讓學(xué)生采用折紙法、涂色法體會其計算過程的特殊性和普遍性外,還借助長方形圖中的條形與方格等形式,顯示計算過程。這樣,學(xué)生不僅把握了兩個算式計算結(jié)果的正確性,還能直觀地理解除法轉(zhuǎn)化為乘法計算的算理。從中可以看出,要把4個“七分之一”平均分成兩份,既可以直接數(shù)出來,也可以利用計算法則計算。但是,需要把4個“七分之一”平均分成三份時,再用原有的方法就遇到了困難。于是,就得借助圖形,先豎著平均分成七等份以后,再橫著平均分成三等份,然后在總份數(shù)3×7=21份中尋找結(jié)果。只有通過比較復(fù)雜的認(rèn)識和思考過程,才能真正得出“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的計算方法。
5.表示規(guī)律
所謂規(guī)律,即事物之間的內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系。這種聯(lián)系不斷重復(fù)出現(xiàn),在一定條件下決定著事物必然向著某種趨向發(fā)展。要讓幾歲的小學(xué)生去體會和運用規(guī)律,是非常困難的,因此,教材除了利用比較合適的素材來體現(xiàn)以外,也借助幾何直觀來呈現(xiàn)。
北師大版教材二年級上冊 “2-5的乘法口訣”的第六節(jié)課“回家路上”的習(xí)題中,為了讓學(xué)生按照2、3的口訣表示的規(guī)律數(shù)數(shù)和寫算式計算,第二小題(如圖8)采用數(shù)線圖部分標(biāo)注和部分讓學(xué)生自己類推標(biāo)注的方式,引導(dǎo)學(xué)生體會有規(guī)律的數(shù)數(shù)和計算的過程。
北師大版教材四年級上冊 “數(shù)學(xué)好玩”的第三節(jié)課“數(shù)圖形的學(xué)問”(如圖9)中,為了顯示鼴鼠鉆洞的規(guī)律,教材提示學(xué)生先用線段圖表示題意,然后找規(guī)律,類推出洞數(shù)較多的鉆法數(shù)量,力求找到一個解決此類問題的通法。
6.表述算理
所謂算理,就是為什么可以這樣算。當(dāng)然,說理的方式很多,比如數(shù)實物、數(shù)學(xué)具等,但數(shù)據(jù)比較大或者說理比較復(fù)雜時,采用幾何直觀的方式往往比較方便。
北師大版教材三年級下冊 “乘法”的第二節(jié)課“隊列表演”(如圖10)中,為了說明“12×14=168”,教材采用多種方式,從不同角度引導(dǎo)學(xué)生從點子圖上尋求答案。通過“拆數(shù)法”,在圖上直觀地將兩位數(shù)拆成“整十?dāng)?shù)”和“一位數(shù)”,或者兩個“一位數(shù)”,然后列式計算出答案。通過直觀分點子圖然后列式計算,能充分證明所思和所做的正確性。
幾何直觀,是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“空間想象力”的重要組成部分。因此,從低年級起教師就要給予充分的重視。教材中類似的例子還很多,按照這樣思路進行研究和實踐,即借助實物直觀、情境直觀等直觀方式予以輔助,自然就能使學(xué)生的幾何直觀的形成更順暢。
(責(zé)編 金 鈴)