又一“點關于直線對稱”的公式

四川省綿陽第一中學(621000) 鄭中榮

高中課堂教學離不開解題教學.在解析幾何中,涉及到點關于直線對稱的習題很多,然許多同學在解相關題型時感覺計算繁瑣,且容易出錯.為了解決此困難,筆者對點關于直線的對稱問題進行了探索,給出了一個非常簡潔的計算公式,相信能對廣大讀者有所幫助.

問題求點N(x0,y0)關于直線l∶Ax+By+C=0 的對稱點M的坐標.

設M點的坐標(x1,y1),由一般做法：

文[1]給出了一個改進公式：

(v=d表示N到直線的距離.記作(公式二).

文[1]對(公式二)給出了一種證明,但筆者在研究時發(fā)現(xiàn)利用圓的知識證明更直觀易懂.證明如下：

證明(如圖1),M,N是圓C直徑上的兩個端點,且關于直線l∶Ax+By+C=0 對稱.v是與l垂直的單位向量即N到l的距離為d=R,則=-2Rv=-2dv(Ax0+By0+C＞0)或=2Rv=2dv(Ax0+By0+C＜0).從而得到(公式二).

圖1

圖2

公式(二)的形式較公式(一)簡化了許多,為計算帶來了一定簡便.但在解題時,計算步驟還是較多,不光要計算點到直線距離和與l垂直的單位向量,還需判斷Ax0+By0+C＞0(＜0).為此筆者對這個公式繼續(xù)探索,在研究的過程中,發(fā)現(xiàn)它與圓的知識聯(lián)系非常緊密.M,N兩點不僅可以看作圓C直徑上的兩個端點,甚至還可以看作關于直線l對稱的兩個圓的圓心(如圖2),再利用圓的相關知識推導出點關于直線對稱的另一非常好用的公式：其中：記為(公式三).

證明不難發(fā)現(xiàn),我們熟知的圓系方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ((D+λA)2+(E+λB)2-4(F+λC)＞0)其圖形表示圓心在過且 與l∶Ax+By+C=0垂直的直線上的圓.故不妨設以N(x0,y0)為圓心的圓的方程：x2+y2-2x0x-2x0y+K=0(x20+y20-K＞0),則圓M的方程可設為：x2+y2-2x0x-2y0y+K+λ(Ax+By+C)=0((2x0-λA)2+(2y0-λB)2-4(K+λC)＞0),從而得出M的坐標又因為MN的中點在直線l∶Ax+By+C=0 上,所以解得這樣得出M的坐標計算公式：其中：

顯然,公式(三)較上面兩個公式形式更簡潔,并且容易記憶,不需要判斷Ax0+By0+C的符號,計算非常方便.我們如果再將公式(三)改變一下,得到這樣的形式：

親愛的讀者朋友們,在這里你們是否發(fā)現(xiàn)t=與點到直線的距離公式很相似,是否覺得該公式很具幾何意義呢,你們是否發(fā)現(xiàn)它就是直線的參數(shù)方程形式呢? 這是否也體現(xiàn)了數(shù)學的和諧性呢? (?)式讓我們在計算點關于直線對稱問題上告別了復雜、繁冗的計算過程,讓數(shù)學運算變得簡單.

下面我們用幾道具體例子來體驗一下極速的感覺：

例題一束光線m從P(6,4)出發(fā),經(jīng)過l∶4x+3y=11反射后,通過點Q(-4,3),求反射光線的方程.[人教A 版必修2P101 改編]

解設M(x1,y1)是P關于l的對稱點,由(?)式得t=1,x1=-2,y1=-2,故M(-2,-2).又點M在反射光線上,從而得出反射光線得方程：5x+2y+14=0.

練習

1.求與圓C∶(x+2)2+(y-6)2=1 關于直線3x-4y+5=0 對稱的圓的方程.[人教A 版必修2P144]

2.△ABC的頂點A的坐標(5,1),∠B,∠C平分線的方程分別為x-2y=0 和x+y-1=0,求BC所在直線方程.[人教A 版必修2P110 改編]

答案1.由(?)式得t=-1,C關于直線的對稱點C1(x1,y1),則x1=4,y1=-2,故所求圓的方程：(x-4)2+(y+2)2=1.

2.由(?)式得點A關于直線x-2y=0 和x+y-1=0的對稱點分別是又對稱點均在直線BC上,所以得出直線BC的方程

結束語：著名數(shù)學家喬治·波利亞指出：“中學數(shù)學的首要任務就是加強解題訓練”.怎樣引導學生避免題海戰(zhàn)術,在數(shù)學知識海洋上探索是我們的重要任務.筆者在研究新課標時,注意到：“運用代數(shù)方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系,運用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學問題和實際問題,感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學思想.”[2]“能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.”[2]故本文這一公式顯得非常重要.

通過本文對公式的推導,讓我們認識到同一數(shù)學知識可以有多種不同的存在形式,而同一數(shù)學形式又可以從多個數(shù)學知識上去理解和認識.在解題的過程中,學生缺少的是對解決問題的探索.因此我們教師在教學中,要注重引導學生探索解題規(guī)律和技巧,讓數(shù)學的教與學變得更加有趣.