“合一”何須“分二”—例談數(shù)學(xué)解題中的“整體”策略

江蘇省姜堰第二中學(xué)(225500) 張新志 周春霞

數(shù)學(xué)解題重在兩大能力,一是審題能力,學(xué)會(huì)審題,即要知道問(wèn)題給出哪些信息—關(guān)鍵詞與數(shù)量關(guān)系,還需要把握問(wèn)題的結(jié)構(gòu)(算法結(jié)構(gòu)、聯(lián)系結(jié)構(gòu)、空間結(jié)構(gòu)、策略結(jié)構(gòu)等),為解題制定策略打下基礎(chǔ);一是運(yùn)算能力,學(xué)會(huì)觀察運(yùn)算方向、運(yùn)算簡(jiǎn)化途徑等,還需要從整體上認(rèn)識(shí)問(wèn)題、把握問(wèn)題本質(zhì).

整體思想是指在數(shù)學(xué)解題時(shí),站在整體的立場(chǎng)上心懷全局,注重對(duì)局部研究的同時(shí),通過(guò)研究整體的結(jié)構(gòu)和形式,把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),尋找解決問(wèn)題的途徑.在高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中,整體思想可以讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,突破學(xué)生的思維障礙,提高數(shù)學(xué)解題的速度,現(xiàn)從審題、解析、解讀三個(gè)角度體驗(yàn)整體思想在高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)(數(shù)列、函數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何)的應(yīng)用.

1.在數(shù)列中的應(yīng)用—整體變形與運(yùn)算

等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d(q),n,Sn,知道部分量求其它未知量,就體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用,用兩個(gè)基本量表示已知和未知是常用方法,如果整體看待式子,整體變形和運(yùn)算,解題將會(huì)收到奇效.

例1 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=4,a21+a22+a23+a24+a25=3,則a1-a2+a3-a4+a5=____.

審題可以設(shè)數(shù)列的公比為q,數(shù)列{a2n}也是等比數(shù)列,利用等比數(shù)列求和公式寫(xiě)出前兩個(gè)等式,所求也為等比數(shù)列,利用整體思想即可快速求解.

解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由已知得到則所以4S=3,S=即a1-a2+a3-a4+a5

解讀乍眼一看,此題是等比數(shù)列問(wèn)題,運(yùn)用基本量就可以解決,正所謂“一葉障目”,沒(méi)有從整體上看問(wèn)題,許多學(xué)生都是設(shè)基本量,利用解方程組的方法進(jìn)行求解,致使無(wú)數(shù)考生“誤入歧途”,所以從結(jié)構(gòu)上認(rèn)識(shí)變量間聯(lián)系,整體上處理是一種數(shù)學(xué)智慧.

例2 在等比數(shù)列{an}中,若a1+a2+a3+a4=8,則a1a2a3a4=____.

審題利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式寫(xiě)出兩個(gè)等式,兩式相除,再進(jìn)行平方即可求出值.

解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由已知得到兩式相除得到a21q3=4,a1a2a3a4=a41q6=16.

解讀本題采用化“二”為“一”的整體思想,兩式相除是關(guān)鍵,再接下來(lái)觀察所求式子的形式為相除所得等式的平方.

2.在函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用—整體把握函數(shù)結(jié)構(gòu)

“雙層”最值函數(shù)問(wèn)題一直是各種考試的熱點(diǎn),因?yàn)槠渚哂幸欢ǖ木C合性,對(duì)學(xué)生的能力要求比較高,所以深受命題者的青睞.解決此類(lèi)問(wèn)題的策略大多是引入變量,建立函數(shù)關(guān)系,從里到外、循序漸進(jìn)、逐層突破.筆者采用整體研究的解題策略,從整體研究?jī)?nèi)層函數(shù),結(jié)合不等式再研究外層最值函數(shù).

例3a＞0,b＞0,c＞0,記M的最小值是____.

審題本題要求兩個(gè)表達(dá)式的較大者的最小值,解題策略是把相加,再利用基本不等式求出M的最小值.

解析由題意知所以2M≥所以M≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1 時(shí)等號(hào)成立,故M的最小值為2.

解讀本題涉及“雙層”最值問(wèn)題,內(nèi)層兩個(gè)表達(dá)式都涉及三個(gè)變量,單獨(dú)的求某一個(gè)表達(dá)式最值則無(wú)從下手,根據(jù)max{x,y}的含義把兩個(gè)表達(dá)式整體相加,再利用基本不等式求出M的最小值.

例4 已知a＞0,b＞0,且其中min{a,b}表示數(shù)a,b中較小的數(shù),則h的最大值為_(kāi)___.

審題根據(jù)min{a,b}的含義,將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為再結(jié)合基本不等式求出h的最大值.

解析由題意知,0＜h≤a,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.

解讀審題發(fā)現(xiàn)題目條件不足,思維遇到障礙,切忌糾結(jié)單個(gè)表達(dá)式,分層構(gòu)建不等關(guān)系是本題的關(guān)鍵,再利用基本不等式求出最大值,解題策略是抓住整體特點(diǎn),巧妙構(gòu)思,局部量有著整體上的聯(lián)系,直接從整體出發(fā)去解決問(wèn)題.

3.在三角函數(shù)中的應(yīng)用—整體代換或配置

三角函數(shù)是高考必考內(nèi)容,命題規(guī)律為通過(guò)拆角湊角等方法,利用兩角和與差的正余弦公式直接求值.分析所求角和已知角的關(guān)系,用整體代換的思想,建立已知和未知的橋梁,巧妙的求出三角函數(shù)的值.

例5 已知cos求cos(α+β)的值.

審題觀察已知角和所求角α+β的關(guān)系,得出利用兩角差的余弦公式求出的值,由倍角公式求出cos(α+β)的值.

解析因?yàn)樗运詓in又所以

所以cos(α+β)=

解讀利用“拆角”的方法對(duì)α+β進(jìn)行分拆,再由整體代換的思想進(jìn)行求值.由角的范圍求其三角函數(shù)值采用“兩步”策略,第一步確定角的范圍,第二步由已知的三角函數(shù)值,利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求其它三角函數(shù)值.

例6 求cos 20°cos 40°cos 80°的值.

審題三個(gè)余弦函數(shù)值,一般都是從角度間的聯(lián)系入手解決問(wèn)題.換一個(gè)視角,從三角函數(shù)配對(duì)是否可以有新的突破呢?

解析設(shè)x=cos 20°cos 40°cos 80°,y=sin 20°sin 40°sin 80°,則

0,所以

解讀觀察所求式子的特點(diǎn),三個(gè)角成等差數(shù)列,采用整體策略,設(shè)出三個(gè)角的正弦的乘積,再利用倍角公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行求值.

4.在立體幾何中的應(yīng)用—整體處置或補(bǔ)形

立體幾何是高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)之一,表面積和體積常被考察的知識(shí)點(diǎn),考查類(lèi)型往往是定型和定性,往往通過(guò)三視圖和折疊與其它幾何體相結(jié)合的組合體的樣式呈現(xiàn),這類(lèi)題目對(duì)空間想象要求較高.通過(guò)兩例談?wù)動(dòng)醚a(bǔ)形的方法,完善幾何體,利用整體思想使問(wèn)題簡(jiǎn)便求解.

例7 (2018年高考新課標(biāo)I 卷理科第10 題)圖1來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為III,在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自I,II,III 的概率分別記為p1,p2,p3,則()

A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

圖1

審題首先設(shè)出直角三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,根據(jù)其為直角三角形得到三邊的關(guān)系,求出各個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的面積,再根據(jù)面積的大小根據(jù)幾何概型的概率公式確定p1,p2,p3的關(guān)系,從而得到關(guān)系.

解析設(shè)AC=b,BC=a,AB=c,則有a2=b2+c2,△ABC的面積為黑色部分的面積為S2=其余部分的面積為所以p1=p2,選A.

解讀結(jié)合數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)的題目很耀眼,黑白對(duì)比強(qiáng)烈,陰影部分為對(duì)應(yīng)的半圓面積減去對(duì)應(yīng)弓形面積,而單獨(dú)求每個(gè)弓形的面積又比較困難,若把整個(gè)弓形看作為一個(gè)整體,把整個(gè)陰影部分看作為一個(gè)整體,則弓形的面積為以BC為直徑的半圓的面積減去△ABC的面積,陰影的面積為以AB,AC為直徑的半圓的面積和減去弓形的面積,即可得到選項(xiàng).

例8 已知正四面體的棱長(zhǎng)為四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,求此球的表面積.

審題一個(gè)特殊的幾何體—正四面體,有許多特殊的位置關(guān)系與度量關(guān)系,與正四面體相關(guān)聯(lián)的幾何體是正方體,是否可以從整體上突破呢?

解析如圖2將四面體補(bǔ)成正方體,則正方體的棱長(zhǎng)是1,正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為則球的表面積為

圖2

解讀本題的解題策略是把四面體補(bǔ)成正方體,二者的外接球是同一個(gè),正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng),就是球的直徑,利用整體思想,求出球的表面積.

5.在解析幾何中的應(yīng)用—合二為一整體處置

解析幾何不僅涉及幾何知識(shí),更多的涉及代數(shù)知識(shí),因?yàn)槠渚C合性較強(qiáng),能力要求較高,是各級(jí)各類(lèi)考試的必考題.解法無(wú)非是幾何法和代數(shù)法,然而學(xué)生在解決這類(lèi)題目往往會(huì)受阻,終究是解題方法和思維的受阻,從這個(gè)角度而言就需要合“二”為“一”的整體教學(xué)策略的養(yǎng)育.

例9 已知圓C∶x2+y2-2x+4y-4=0,直線l的的斜率為1,且l被圓C截得弦AB,若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),求直線l的方程.

審題設(shè)出過(guò)點(diǎn)A,B的圓系方程,再由圓以直線l與圓C的相交弦AB為直徑,得到所求圓的半徑最小,即2λ2-(4b+12)λ+36 的值最小,半徑最小時(shí)λ=b+3,再由圓過(guò)原點(diǎn)得到λb=4,解方程求出直線方程.

解析設(shè)直線l的方程為y=x+b,設(shè)過(guò)點(diǎn)A,B的圓的方程為x2+y2-2x+4y-4+λ(x-y+b)=0,整理得到圓的方程為x2+y2+(λ-2)x+(4-λ)y+λb-4=0,又圓以AB為直徑,所以(λ-2)2+(4-λ)2-4(λb-4)=2λ2-(4b+12)λ+36的值最小,由二次函數(shù)的單調(diào)性知λ=b+3 時(shí)最小,又因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn),所以λb=4,即(b+3)b=4,所以b=-4 或1,當(dāng)b=-4 時(shí),圓心到直線的距離b=1 時(shí),圓心到直線的距離所以直線l的方程為x-y+1=0 或x-y-4=0.

解讀遵循常規(guī)思路,首先設(shè)出直線方程,再把直線和圓聯(lián)立方程組進(jìn)行消元,再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)A(x1,y1),B(x2,y2),再利用=x1x2+y1y2=0,利用韋達(dá)定理求出直線方程.這種方法運(yùn)算量偏大,對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高,設(shè)出圓系方程,利用整體思想,簡(jiǎn)化運(yùn)算.

例10 (2018年高考新課標(biāo)I 卷理科第19 題)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明：∠OMA=∠OMB.

審題首先對(duì)直線的傾斜角進(jìn)行討論,再設(shè)直線的方程,采用設(shè)而不求的方法,考慮到kMA+kMB=0,再由x1x2,x1+x2的整體性,利用韋達(dá)定理整體代入證明.

解析(1)略; (2)當(dāng)直線l與x軸垂直或重合時(shí),∠OMA=∠OMB,當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),直線MA,MB的斜率之和為kMA+kMB=將直線代入得,(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=代入2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0,所 以∠OMA=∠OMB.

解讀常規(guī)方法是設(shè)出直線方程,再把直線和橢圓聯(lián)立方程消元后,用直線的斜率表示出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再利用kMA+kMB=0 證明∠OMA=∠OMB,此種做法運(yùn)算量大.巧妙的采用設(shè)而不求的整體策略,首先確定證明的突破口,再由結(jié)構(gòu)的整體性?xún)?yōu)化解題思路.

從上述各問(wèn)題的審題—解析—解讀可見(jiàn),整體性教學(xué)要求教師在教學(xué)中灌輸“整體”到“局部”再到“整體”的教學(xué)整體思想,先對(duì)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和形式進(jìn)行審題,縱觀全局研究問(wèn)題,把握“題眼”,正所謂見(jiàn)了樹(shù)木又見(jiàn)森林.采取化“二”為“一”的解題策略,反其道而行之,化難為易簡(jiǎn)化運(yùn)算,注重視角調(diào)整力促問(wèn)題解決.