類比的魅力：從橢圓到雙曲線

安徽省太湖中學(246400) 李昭平

從橢圓向雙曲線類比,往往融直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)于一體,能有效培養(yǎng)學生的直覺思維能力、合情推理能力和探究證明能力.下面分享幾個類比結論：從橢圓中的斜率乘積定值類比出雙曲線中的斜率乘積定值;從橢圓的離心率公式類比出雙曲線的離心率公式;從橢圓焦點三角形面積公式類比出雙曲線焦點三角形面積公式.讓我們從中體會類比的魅力.

1.斜率乘積定值的類比

例1 不經(jīng)過原點O,且不平行于坐標軸的直線l與橢圓=1(a＞b＞0)有兩個交點A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為M,則相減得所以即

由此得到結論1：對橢圓,直線l的斜率與直線OM的斜率乘積為定值類比上述過程,推導雙曲線的類似性質.

思路類比上述點差法,對雙曲線實施同樣的運算變形.

解析設雙曲線是=1(a＞0,b＞0),A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為M.由相減得所以即

由此得到結論2：對雙曲線,直線l的斜率與直線OM的斜率乘積為定值

例2 經(jīng)過原點O的橢圓b＞0)的弦是AB,P是橢圓上異于A,B的一點,且PA,PB的斜率都存在,設P(x0,y0),A(x,y),B(-x,-y),所以相減得于是

由此得到結論3：經(jīng)過原點O的橢圓1(a＞b＞0)的弦是AB,P是橢圓上異于A,B的一點,則類比上述過程,推導雙曲線的類似性質.

思路類比上述點差法,對雙曲線實施同樣的運算變形.

解 析設P(x0,y0),A(x,y),B(-x,-y),相減得于是kP A·kP B=

由此得到結論4：經(jīng)過原點O的雙曲線1(a＞0,b＞0)的弦是AB,P是雙曲線上異于A,B的一點,則kP A·kP B=

2.離心率公式的類比

圖1

例3 如圖1,設橢圓的方程為=1(a＞b＞0),F1.F2是左右焦點.點P是橢圓上除長軸上兩個頂點外的任意一點,且∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,則所以所以所以

由此得到結論5：e=(橢圓離心率公式).將其推廣到雙曲線,寫出推導的過程和結論.

思路從橢圓問題的證法出發(fā),結合雙曲線的定義,類比前行.

解析如圖2,設雙曲線的方程為0,b＞0),F1.F2是左右焦點.點P是雙曲線左支上除頂點外的任一點,且∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,則

所以

所以

所以

當點P是雙曲線右支上除頂點外的任一點時,同理可以得到

由此得到結論6：e=(雙曲線離心率公式).

圖2

圖3

例4 設點F是橢圓C的一個焦點,AB是過點F且不平行于對稱軸的焦點弦,AB的傾斜角是θ,-→AF=m--→FB.

那么有結論7：(1)當焦點F在x軸上時,離心率(2)當焦點F在y軸上時,離心率

證明設橢圓方程為=1(a＞b＞0),如圖3所示.不妨設F是右焦點,F(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),則由得y1=-my2,因為AB的斜率存在且不為零,設其為聯(lián)立方程組消去x得到(a2+k2b2)y2+2kb2cy-b4=0.于是

再消去y2得,-m·注意到則化簡整理得到

這是橢圓又一個離心率公式.可以將其推廣到雙曲線,得到同樣的結論7：

再消去y2,并注意到得 到,所以離心率若雙曲線焦點F在y軸上,則以θ±代替中的θ,得e=

3.焦點三角形面積公式的類比

例5 如圖1,設點P是橢圓=1(a＞b＞0)上除長軸端點外的任意一點,∠F1PF2=θ,|PF1|=m,|PF2|=n,則解得mn=于是

由此得到結論8：(橢圓焦點三角形面積公式).類比上述過程,推導雙曲線焦點三角形的類似面積公式.

思路類比解橢圓中的焦點三角形,結合雙曲線的定義運算變形.

解析結論：設|PF1|=m,|PF2|=n,則解得mn=于是

由此得到結論9：(雙曲線焦點三角形面積公式).