極點與極線視角下的高考圓錐曲線試題

廣東省東莞中學(523005) 于 濤

近年來,不少高考解析幾何試題以極點、極線為背景,堪稱出現(xiàn)頻率最高的背景知識.文[1]介紹了極點與極線的概念及基本性質,筆者進行了進一步研究,證明了若干與圓錐曲線極點、極線有關的性質,與讀者分享.

1.極點與極線的定義

定義1 (幾何定義)如圖1,P是不在圓錐曲線上的點,過點P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H,連接EH,FG交于點N,連接EG,FH交于點M,則直線MN為點P對應的極線.特別地,若P是圓錐曲線上的點,則過點P的切線即為極線.同理,直線PN為點M對應的極線,直線PM為點N對應的極線.MNP稱為自極三角形(參見[1]).

圖1

如圖1,由幾何定義可知：(1)若連接MN交圓錐曲線于點A,B,則PA,PB恰為圓錐曲線的切線;(2)若點P與直線MN為圓錐曲線的一對極點與極線,記過極點P的兩割線EF,GH與圓錐曲線的交點形成的四邊形為EFHG,則極線MN與兩對角線EH,FG三線共點.

定義2 (代數(shù)定義)已知圓錐曲線?！肁x2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,則稱點P(x0,y0)和直線l∶Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0 是圓錐曲線Γ 的一對極點與極線.[1]

具體地,明確曲線方程時,極點與對應的極線方程見下表：

曲線類型極點極線x2 a2+ y2 b2=1(x0,y0)x0x a2+ y0y b2=1(m,0)x= a2 m(m0)(0,t)y= b2 t (t0)x2 a2-y2 b2=1(x0,y0)x0x a2-y0y b2=1(m,0)x= a2 m(m0)(0,t)y=-b2 t (t0)y2=2px(x0,y0)y0y= p(x+x0)(m,0)x=-m

通過上表發(fā)現(xiàn)：特別地,當極點在圓錐曲線的對稱軸上時,對應的極線垂直于該對稱軸.

2.極點與極線的基本性質

性質1 如圖2,已知點Q、直線l和圓錐曲線Γ,過Q作任意一條割線交Γ 于點A,B,交l于點P.若點Q與直線l是Γ 的一對極點與極線,則點P,Q調和分割線段AB,即也稱點P,Q關于Γ 調和共軛.

圖2

圖3

證明如圖3,過極點Q作圓錐曲線Γ 的割線CD交極線l于點M,連接DA,BC交于點E,連接CA,BD交于點F,由極點與極線的幾何定義知直線EF是極點Q對應的極線,故E,P,F,M四點共線.在△EBF中,因為ED,CF,BP三線共點A,由賽瓦定理得因為直線CDM截△EBF,由梅涅勞斯定理得所以即點M,P調和分割線段FE.連接BM,以點B為射影點,由交比定理得M,Q調和分割線段DC.連接EQ,以點E為射影點,由交比定理得P,Q調和分割線段AB,即

性質2 如圖4,已知點P,Q和有心圓錐曲線Γ,直線PQ經過Γ 的中心O,與Γ 交于點R,R′(點R在P,Q之間).若P,Q關于Γ 調和共軛,則OP ·OQ=OR2.

性質3 如圖5,已知點P,Q和圓錐曲線Γ(Q在Γ 內,P在Γ 外),直線PQ與Γ 交于點A,B(點A在P,Q之間).若P,Q關于Γ 調和共軛,則有(1)

圖4

圖5

性質2、3 的證明可應用性質1.

3.極點與極線的衍生性質

性質4 如圖6、7,已知點P,Q在圓錐曲線Γ 的對稱軸l上,過Q作直線交Γ 于點M,N.若P,Q關于Γ 調和共軛,則直線PM,PN與對稱軸l所成的角相等.

圖6

圖7

圖8

證明當MN與l垂直時,命題顯然成立; 當MN與l不垂直時,如圖8,因為Γ 關于直線l對稱,所以Γ 上存在M,N關于l的對稱點M′,N′,易知MN.M′N′與l交于點Q,設MN′.M′N與l交于點P′,由幾何定義知點P′,Q關于Γ 調和共軛,因為P,Q關于Γ 調和共軛,且點P在l上,所以P′與P重合,故直線PM,PN與對稱軸l所成的角相等.

性質4 的逆命題也成立,證明過程略.

性質5 如圖9、10,已知點Q在圓錐曲線Γ 的對稱軸上,直線l垂直于該對稱軸,過Q作直線交Γ 于點M,N,P為l上任意一點.若點Q與直線l是Γ 的一對極點與極線：

(1)如圖9,當對稱軸是x軸或平行于x軸時,kP M+kP N=2kP Q;

(2)如圖10,當對稱軸是y軸或平行于y軸時,

圖9

圖10

圖11

圖12

證明(1)如圖11、12,分別過點M,N作l的垂線,垂足為點D,F,記l與對稱軸的垂足為E.當MN與l平行時,如圖11,kP M=易知MD=NF=QE,PD+PF=2PE,所以kP M+kP N=2kP Q;當MN與l不平行時,如圖12,延長NM交直線l于點R,設直線NM的傾斜角為α,則所以由性質3 得2kP Q=連接EM,EN,由性質4 得△EMD～△ENF,所以又由MD//NF得兩式相除得即整理得所以kP M+kP N=2kP Q.

(2)如圖10,設PM,PQ,PN的傾斜角分別為β,γ,θ,則kP M=tanβ,kP Q=tanγ,kP N=tanθ,順時針旋轉90°,由性質5(1)得tan(β-90°)+tan(θ+90°)=2 tan(γ+90°),化簡得所以

性質6 如圖13、14,已知點Q、直線l和圓錐曲線Γ,過Q作直線交Γ 于點M,N,在直線l上任取一點P,連接PQ,分別過M,N作PQ的平行線交l于點S,T.若點Q與直線l是Γ 的一對極點與極線,則S2△MP N=4S△MP SS△NP T,或S2△SQT=4S△MQSS△NQT.

圖13

圖14

圖15

證明如圖15,延長NM交直線l于點R,設直線NM與直線PQ所成的角為α,則S△MP S=MS ·MQsinα,由性質3 得兩式相乘得由 性質1 得MR · NQ=NR · MQ,所 以即

又因為MS//QP//NT,所以代入(?)式 得NM2· QP2=4MS · NT · MQ · NQ,所以S2△MP N=4S△MP SS△NP T.由S△SQT=S△MP N,S△MQS=S△MP S,S△NQT=S△NP T,得S2△SQT=4S△MQSS△NQT.

性質4、5、6 的證明只證明了一種情形,其它情形證明過程類似,不再贅述.

4.極點與極線知識的應用

例1 (2016年全國I卷文科第20題)在直角坐標系xOy中,直線l∶y=t(0)交y軸于點M,交拋物線C∶y2=2px(p＞0)于點P,M關于點P的對稱點為N,連結ON并延長交C于點H.

圖16

簡析(I)略; (II)如圖16,由(I)得,M(0,t),lON∶y=即ty=px,由代數(shù)定義知點M與直線lON是拋物線C的一對極點與極線,又因為lON與曲線C交于點O,H,由幾何定義得MO,MH均為拋物線C的切線,所以除H以外,直線MH與C沒有其它公共點.

例2 (2012年高考北京卷理科第19 題)已知曲線C∶(5-m)x2+(m-2)y2=8(m ∈R).

圖17

(I)若曲線C是焦點在x軸上的橢圓,求m的取值范圍;

(II)設m=4,曲線C與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方),直線y=kx+4 與曲線C交于不同的兩點M,N,直線y=1 與直線BM交于點G.求證：A,G,N三點共線.

簡析(I)略; (II)m=4 時,曲線C為橢圓1,如圖17,因為直線y=kx+4 恒過定點P(0,4),由代數(shù)定義知點P與直線y=1 是橢圓C的一對極點與極線,直線MN和AB為過極點P的兩割線,由幾何定義知極線y=1與四邊形ABNM的對角線三線共點,因為極線y=1 與對角線BM交于點G,所以點G在另一條對角線AN上,即A,G,N三點共線.

例3 (2007年高考福建卷理科第20 題)已知點F(1,0),直線l∶x=-1,P為平面上的動點,過P作直線l的垂線,垂足為點Q,且

圖18

(I)求動點P的軌跡C的方程;

(II)過點F的直線交軌跡C于A,B兩點,交直線l于點M,已知求λ1+λ2的值.

簡析(I)C∶y2=4x; (II)如圖18,由(I)知點F與直線l是拋物線C的一對極點與極線,由性質1得則故λ1=λ,λ2=-λ,所以λ1+λ2=0.

圖19

例4 (2015年高考北京卷理科第19 題)已知橢圓C∶的離心率為點P(0,1)和 點A(m,n)(0)都在橢圓C上,直線PA交x軸于點M.

(I)求橢圓C的方程,并求點M的坐標(用m,n表示);

(II)設O為原點,點B與點A關于x軸對稱,直線PB交x軸于點N.問：y軸上是否存在點Q,使得∠OQM=∠ONQ? 若存在,求出點Q的坐標;若不存在,說明理由.

簡析(I)C∶(II)如圖19,由∠OQM=∠ONQ,∠QOM=∠NOQ,得△OQM～△ONQ,故|OQ|2=|ON|·|OM|.由幾何定義知點N是點M對應極線上的一點,即點M,N關于橢圓C調和共軛,又因為橢圓C的中心O在直線MN上,記橢圓C的右頂點為D,由性質2 得|ON|·|OM|=|OD|2=2,故|OQ|2=2,所以Q的坐標為

例5 (2015年全國I 卷理科第20 題)在直角坐標系xOy中,曲線C∶y=與直線l∶y=kx+a(a＞0)交于M,N兩點.

(I)當k=0 時,分別求C在點M和N處的切線方程;

圖20

(II)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN? 說明理由.

簡析(I)略; (II)如圖20,由題得拋物線C的對稱軸為y軸,直線l恒過y軸上點Q(0,a),因為∠OPM=∠OPN,且點P在y軸上,由性質4 的逆命題得P,Q關于拋物線C調和共軛,由代數(shù)定義得點P的坐標為(0,-a).

例6 (2013年高考江西卷文科第20 題)橢圓C∶=1(a＞b＞0)的離心率e=a+b=3.

(I)求橢圓C的方程;

圖21

(II)如 圖21,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明：2m-k為定值.

簡析(I)(II)如圖21,連接AP,BD交于點Q,連接MQ,由幾何定義知點N與直線MQ是橢圓C的一對極點與極線,由性質5 得kMP+kMD=2kMN,即k+kMD=2m,因為kMD=kAD=所以k-2m=

例7 (2009年高考湖北卷理科第21題)過拋物線y2=2px(p＞0)的對稱軸上一點A(a,0)(a＞0)的直線與拋物線相交于M,N兩點,自M,N向直線l∶x=-a作垂線,垂足分別為M1,N1.

圖22

(II)記△AMM1,△AM1N1,△ANN1的面積分別為S1,S2,S3,是否存在λ,使得對任意的a＞0,都有S22=λS1S3成立? 若存在,求出λ的值,否則說明理由.

簡析(I)略; (II)如圖22,由代數(shù)定義知點A與直線l是拋物線y2=2px(p＞0)的一對極點與極線,由性質6 得S22=4S1S3,故λ=4.

以極點、極線為背景的高考解析幾何試題還有很多,例如,2018年全國I 卷文、理解析幾何解答題就是以性質4 為背景的試題.通過列舉的7 道真題,不難體會極點與極線知識內容的豐富性,雖然極點與極線的知識不屬于高考考查內容,但是了解極點與極線的相關知識,能幫助教師和學生打開思維視角,培養(yǎng)學生探究數(shù)學問題的能力.