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    等間隔灰色GM(1,1r)模型病態(tài)性再研究

    2019-04-10 13:54:04范獻(xiàn)勝
    時(shí)代金融 2019年6期
    關(guān)鍵詞:灰色模型

    摘要:在文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,繼續(xù)研究等間隔灰色模型病態(tài)性問(wèn)題,結(jié)合文獻(xiàn)[9]的思想,結(jié)合反向累積法、向量的數(shù)乘變換和旋轉(zhuǎn)變換從系數(shù)矩陣條件數(shù)和模型預(yù)測(cè)精度兩方面來(lái)改善灰色模型的病態(tài)性。實(shí)例表明對(duì)原始序列在反向累積法下做數(shù)乘變換和旋轉(zhuǎn)變換可以更有效地降低模型參數(shù)矩陣的條件數(shù),使其達(dá)到良態(tài),且模型精度也比傳統(tǒng)模型要高。本方法為其他灰色模型的病態(tài)性研究提供了一種參考。

    關(guān)鍵詞:灰色模型 反向累積法 數(shù)乘變換 旋轉(zhuǎn)變換

    灰色模型的病態(tài)性問(wèn)題主要是由累加法和最小二乘法數(shù)乘法產(chǎn)生,初期主要采用數(shù)乘變換和仿射變換來(lái)解決病態(tài)性問(wèn)題,該方法可從減小模型參數(shù)矩陣條件數(shù)方面來(lái)改善模型的病態(tài)性,但對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度沒(méi)有改變。后期,累積法和反向累計(jì)法(一種曲線擬合技術(shù))被引入到GM模型的參數(shù)估計(jì)中,較好的改善了模型的病態(tài)性。近期,向量的數(shù)乘和旋轉(zhuǎn)變換被用于解決離散GM模型的病態(tài)性問(wèn)題,通過(guò)齊次指數(shù)序列的實(shí)例驗(yàn)證,得出較好的結(jié)論。

    灰色模型是含有時(shí)滯項(xiàng)目的模型,對(duì)陡變數(shù)據(jù)建模效果非常好,但有時(shí)候也會(huì)存在精度波動(dòng)較大的病態(tài)性問(wèn)題,目前關(guān)于該模型病態(tài)性的改善方法主要是通過(guò)對(duì)原始數(shù)乘變換和反向累積法來(lái)修正,雖能對(duì)病態(tài)性有一定程度改善,但模型系數(shù)矩陣仍存在輕微病態(tài)性。目前對(duì)這一具體模型病態(tài)性的研究較少,本文基于文獻(xiàn)和的思想,結(jié)合反向累積法、向量的數(shù)乘變換和旋轉(zhuǎn)變換從系數(shù)矩陣條件數(shù)和模型預(yù)測(cè)精度兩方面來(lái)改善灰色模型的病態(tài)性,得出結(jié)論:(1)對(duì)原始序列數(shù)乘變換后進(jìn)行反向累積法一般可使得矩陣條件數(shù)小于10;(2)若(1)中矩陣條件數(shù)大于10,再通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可進(jìn)一步降低參數(shù)矩陣條件數(shù),使其變?yōu)榱紤B(tài)。

    一、模型的定義與矩陣條件數(shù)

    (一)定義

    定義1令為原始序列,,則稱 (1)

    為模型的定義型。其中表示系統(tǒng)的延遲時(shí)間,為具有時(shí)間變化灰輸入的次數(shù)。顯然,當(dāng)時(shí)模型即為經(jīng)典模型[10],故規(guī)定;因此模型為模型的進(jìn)一步推廣。模型的參數(shù)列記為,可表示為如下:

    其中

    (二)矩陣條件數(shù)

    定義2在線性方程組中,設(shè),為非奇異矩陣,為定義在上的矩陣,稱

    為關(guān)于范數(shù)的條件數(shù)。

    若矩陣的條件數(shù)大,則稱對(duì)于求解的線性方程組而言是病態(tài)的,反之為良態(tài)。實(shí)踐中一般認(rèn)為:若,則矩陣為良態(tài);若,則矩陣為輕度病態(tài);若,則矩陣為中等程度或較強(qiáng)病態(tài);若,則矩陣為嚴(yán)重的病態(tài);為分析便利,本文采用最常見(jiàn)的譜條件數(shù),即為譜范數(shù),即

    當(dāng)為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),有

    其中和分別為矩陣的模最大和最小特征根。

    二、數(shù)乘變換下反向累積法建模機(jī)理

    根據(jù)反向累積法和數(shù)乘變換,此處給出數(shù)乘變換下基于反向累積法模型的參數(shù)如下:

    對(duì)反向累積法模型的原始序列進(jìn)行數(shù)乘變換得到變換后序列,即可知,

    其中由可得

    基于反向累積法和數(shù)乘變換的等間隔模型的一級(jí)參數(shù)包矩陣計(jì)算公式如下

    其中。

    定理2.1[1]當(dāng)時(shí),

    數(shù)乘變換序列的模型的參數(shù)矩陣條件數(shù)達(dá)到最小,且條件數(shù)最小值為

    (7)

    三、向量旋轉(zhuǎn)變換的建模機(jī)理

    若為非零向量,模型的參數(shù)矩陣文獻(xiàn)指出,矩陣的條件數(shù)由列向量和長(zhǎng)度比值和夾角確定。當(dāng)且僅當(dāng)向量和的夾角,數(shù)乘變換才可將矩陣降為良態(tài)矩陣。若夾角不屬于上述范圍,可以借助向量的旋轉(zhuǎn)變換來(lái)將矩陣降為良態(tài)。

    引理3.1[9]已知為非零向量,矩陣,,,為向量和的夾角,則有:

    1)當(dāng)向量夾角時(shí),即且,

    取常數(shù),則,矩陣的列向量與的長(zhǎng)度相等,夾角。為良態(tài)矩陣,條件數(shù),其中。

    2)當(dāng)向量夾角時(shí),即且,

    取常數(shù),則,矩陣的列向量與的長(zhǎng)度相等,夾角,為良態(tài)矩陣,條件數(shù),其中。

    四、模型病態(tài)性的處理步驟

    (1)通過(guò)數(shù)乘變換數(shù)乘變換和反向累積法建立模型,其中若參數(shù)矩陣的條件數(shù)小于10,則為良態(tài),由(6)計(jì)算出參數(shù),為簡(jiǎn)化計(jì)算,取模型中的參數(shù),回代模型可以得出解。如果條件數(shù)大于10,那么可以繼續(xù)第(2)步,對(duì)變換后的進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換。

    (2)通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可得系數(shù)矩陣,其

    中常數(shù),的條件數(shù)小于10,為良態(tài)矩陣

    由(6)計(jì)算出參數(shù),取模型中的參數(shù),回代模型可以得出解。

    五、實(shí)例分析

    選取文獻(xiàn)[7]中的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬比較,即某省SO2排放量的時(shí)間序列為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析。

    采用文獻(xiàn)[8]中的反向累積法建立為模型一,采用數(shù)乘變換下的反向累積法建立為模型二,采用數(shù)乘變換和旋轉(zhuǎn)變換下的反向累積法建立為模型三,取模型中的參數(shù),最終得出三種模型的時(shí)間響應(yīng)序列如下

    三種模型條件數(shù)及精度比較見(jiàn)表1所示

    從表1可知,模型二和模型三的參數(shù)矩陣的條件數(shù)有所降低。針對(duì)本案例,雖在精度上三個(gè)模型沒(méi)變化,但通過(guò)數(shù)乘變換和旋轉(zhuǎn)變換下的反向累積法建立的模型三的效果最好,將矩陣直接降到了良態(tài),根據(jù)模型病態(tài)性理論,此方法有效地改善了模型的病態(tài)性。

    六、結(jié)論

    運(yùn)用數(shù)乘變換、旋轉(zhuǎn)變換和反向累積法研究模型的病態(tài)性問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)病態(tài)性與序列夾角有關(guān),運(yùn)用反向累積法和數(shù)乘變換下的反向累積法均可在一定程度上降低參數(shù)矩陣條件數(shù),若有需要,同時(shí)使用反向累積法、數(shù)乘變換、旋轉(zhuǎn)變換效果會(huì)更好。

    參考文獻(xiàn):

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    [11]任玉杰.數(shù)值分析及其MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].北京:高等教育出版社,2007.

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