基于學(xué)科學(xué)習(xí)力的數(shù)學(xué)教學(xué)策略

朱哲 黃思婷

【摘?要】?人才發(fā)展模式的變革等背景，都彰顯了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)力的迫切性.學(xué)習(xí)力的具體價(jià)值主要包括能夠改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為和構(gòu)建基于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)方式等.學(xué)習(xí)力可構(gòu)建三層次六要素結(jié)構(gòu)模型，數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力由一般學(xué)習(xí)力和數(shù)學(xué)學(xué)科特有的學(xué)習(xí)力（由數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力等成分構(gòu)成）兩部分組成.進(jìn)一步整理提煉四條數(shù)學(xué)教學(xué)策略（問題驅(qū)動、思維引領(lǐng)、變式訓(xùn)練和文化浸潤），從內(nèi)涵、作用、教學(xué)、案例及簡析四方面進(jìn)行說明，最后分析四條教學(xué)策略在實(shí)施過程中對提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】?學(xué)習(xí)力;數(shù)學(xué)學(xué)科;教學(xué)策略

在全球信息社會背景下，學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)需求正在不斷豐富，然而現(xiàn)代公民是否具備足夠的素養(yǎng)來適應(yīng)瞬息萬變的社會發(fā)展呢？分析TIMSS2007數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，東亞地區(qū)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)習(xí)態(tài)度存在極大反差，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感、自信心、價(jià)值觀均低于世界平均水平[1].人才發(fā)展模式的變革、傳統(tǒng)教與學(xué)的困境及新課程改革的要求，都彰顯培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)力的迫切性.這對我們教育者提出新的要求，對于今天的數(shù)學(xué)教育，如何繼承和發(fā)揚(yáng)、改革與創(chuàng)新？如何在學(xué)校學(xué)科教育中提供合適的教學(xué)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力？教學(xué)有法，教無定法，貴在得法.整理提煉相關(guān)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力具有重要的作用與意義.

“學(xué)習(xí)力”一詞最早來源于管理學(xué)領(lǐng)域，多以“組織學(xué)習(xí)力”“學(xué)習(xí)型組織”出現(xiàn)，它反映組織作為一個(gè)整體對各種內(nèi)外信息的認(rèn)知與反應(yīng)能力.學(xué)術(shù)界普遍認(rèn)為學(xué)習(xí)力是一種綜合、復(fù)雜的能力，研究主要圍繞概念、內(nèi)涵、構(gòu)成要素、應(yīng)用（提升策略等）進(jìn)行.裴娣娜教授分析、提取出學(xué)習(xí)力六大要素，分別是知識與經(jīng)驗(yàn)、策略與反思、意志與進(jìn)取、實(shí)踐與活動、寫作與交往、批判與創(chuàng)新，并提出學(xué)習(xí)力的三層次六要素結(jié)構(gòu)模型[2].

筆者在《數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力的要素及模型構(gòu)建》[3]一文中初步構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力的模型.數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力的核心是思維、數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)習(xí)力即促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)力是由一般學(xué)習(xí)力和數(shù)學(xué)學(xué)科特有的學(xué)習(xí)力兩部分組成，其中數(shù)學(xué)學(xué)科特有的學(xué)習(xí)力又由數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力（經(jīng)驗(yàn)與舊知、問題與活動、思想與方法、觀念與態(tài)度、調(diào)控與反思等）、數(shù)學(xué)能力（抽象與概括、運(yùn)算與推理、作圖與想象、統(tǒng)計(jì)與分析、建模與解釋等）和數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力（質(zhì)疑與批判、推廣與引申、聯(lián)系與貫通等）三部分組成.又在《基于學(xué)科學(xué)習(xí)力的數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)》[4]一文中初步構(gòu)建數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)及其實(shí)踐應(yīng)用.兩篇文章分別被人大《復(fù)印報(bào)刊資料·高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2017年第10期和2018年第7期全文轉(zhuǎn)載.在此基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步提煉四條數(shù)學(xué)教學(xué)策略（問題驅(qū)動、思維引領(lǐng)、變式訓(xùn)練和文化浸潤），并結(jié)合教學(xué)實(shí)例進(jìn)行簡析.這里的“教學(xué)策略”主要指在特定教學(xué)情境中為完成教學(xué)目標(biāo)與適應(yīng)學(xué)生認(rèn)知需要而制定的教學(xué)程序計(jì)劃和采取的教學(xué)實(shí)施措施.

1?問題驅(qū)動

1.1?問題驅(qū)動的內(nèi)涵

著名數(shù)學(xué)家P.r.Halmos指出“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，不管是對數(shù)學(xué)發(fā)展還是教學(xué)，問題都有著重要的地位.注重“問題驅(qū)動”的數(shù)學(xué)教學(xué)，以問題為教學(xué)活動的主線，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，激發(fā)學(xué)生內(nèi)驅(qū)力，在傳授基礎(chǔ)知識的同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生自主探索.

1.2?問題驅(qū)動的作用

當(dāng)外部刺激（問題）與學(xué)生內(nèi)部條件（已有的知識與技能）形成落差，學(xué)生會主動進(jìn)行思維，通過“思而知之”，獲得新的知識與技能、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.3?問題驅(qū)動的教學(xué)

由問題提出的可能主體不同，筆者主要從創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題與問題鏈教學(xué)兩個(gè)層面進(jìn)行“問題驅(qū)動”的數(shù)學(xué)教學(xué)策略分析.

1.3.1?創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題

問題情境，問題呈現(xiàn)的形態(tài)和組織方式，學(xué)生解決問題有一定困難但通過分析、探索能實(shí)現(xiàn)的學(xué)習(xí)情境.在教學(xué)活動中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題[5].

為達(dá)到目標(biāo)即未知的東西，教師創(chuàng)設(shè)情境是前提，創(chuàng)設(shè)問題情境可彌補(bǔ)學(xué)生間學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與舊知的差異，一般借助數(shù)學(xué)活動、現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)知識等.在數(shù)學(xué)活動中鼓勵(lì)學(xué)生主動探索新知以解決與認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生矛盾落差的問題，提高分析、解決問題的能力;借助現(xiàn)實(shí)生活，打破學(xué)科純形式化的邏輯結(jié)構(gòu)與概念命題系統(tǒng)，學(xué)生感受知識的建構(gòu)與真實(shí)情景的關(guān)聯(lián)性;借助數(shù)學(xué)知識，體現(xiàn)知識的螺旋式上升，同時(shí)幫助學(xué)生認(rèn)識知識本質(zhì).基于情境，學(xué)生產(chǎn)生思維動機(jī)，教師引導(dǎo)學(xué)生提出問題是關(guān)鍵.開發(fā)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，共同探索解決問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是目的.

1.3.2?問題鏈教學(xué)

數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)，在課堂上呈現(xiàn)有序的主干問題串，既提供引導(dǎo)學(xué)生在內(nèi)容上獲得深入的數(shù)學(xué)思考問題，又借助問題間的跨度為學(xué)生提供多樣思維和探索的可能性[6].在構(gòu)建問題鏈過程中，遵循“看整體結(jié)構(gòu)、看內(nèi)容本身、看學(xué)生學(xué)情”，先尋找該數(shù)學(xué)主題與其他主題間的關(guān)聯(lián)（包括知識內(nèi)容、思想方法、研究視角等），再結(jié)合本節(jié)課需要解決的核心問題及順序，構(gòu)思內(nèi)部的教學(xué)聯(lián)結(jié)點(diǎn)，最后關(guān)注學(xué)生學(xué)情，構(gòu)建主干問題鏈.好的問題鏈教學(xué)，在重視“知識聯(lián)結(jié)”的同時(shí)應(yīng)更多地倡導(dǎo)“方法聯(lián)結(jié)”，既關(guān)注知識間的邏輯順序，又重視學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)方法的體會和領(lǐng)悟.

1.4?問題驅(qū)動的案例及簡析

案例1?問題驅(qū)動下的定理教學(xué)

本案例選自《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》2016年第7期中《“平面向量基本定理”教學(xué)的理論分析與教學(xué)設(shè)計(jì)》[7]一文，該文被人大《復(fù)印報(bào)刊資料·高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2016年第12期全文轉(zhuǎn)載.其中教學(xué)重點(diǎn)環(huán)節(jié)問題鏈的部分內(nèi)容如下：

案例簡析?復(fù)習(xí)舊知（共線向量定理），使新知擁有生長點(diǎn)，提出問題與原有認(rèn)知產(chǎn)生沖突，引發(fā)學(xué)生主動思考;結(jié)合物理知識（矢量分解與合成），使新知具有實(shí)際背景意義，同時(shí)滲透類比聯(lián)想的思想方法，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試.設(shè)置問題鏈，一步步引導(dǎo)學(xué)生得到核心知識——平面向量基本定理.

2?思維引領(lǐng)

2.1?思維引領(lǐng)的內(nèi)涵

注重“思維引領(lǐng)”的數(shù)學(xué)教學(xué)，倡導(dǎo)自主探究結(jié)合教師引導(dǎo)，學(xué)生能動地進(jìn)行高效思維活動.教師以思維方法和思想方法的分析帶動、促進(jìn)具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)，真正做到把數(shù)學(xué)課講活、講懂和講深，學(xué)生既能掌握具體的數(shù)學(xué)知識，也能領(lǐng)會內(nèi)在的思想方法.當(dāng)學(xué)生處于“欲知未知、欲言不能”時(shí)，適當(dāng)點(diǎn)撥，起到“啟”“發(fā)”的作用，體現(xiàn)“以人為本、學(xué)生主體”的教學(xué)理念.

2.2?思維引領(lǐng)的作用

數(shù)學(xué)知識具有暫時(shí)性記憶，教師僅通過講、灌知識，先行組織者對學(xué)生已有認(rèn)知的激活沒有到位，未與學(xué)生已有知識等建立實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，學(xué)生無法體會知識的本質(zhì)，內(nèi)部學(xué)習(xí)動機(jī)沒得到調(diào)動，學(xué)習(xí)便缺乏積極主動性[8].數(shù)學(xué)家米山國藏曾寫道：學(xué)生在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，一段時(shí)間不用很快會忘掉.然而不管他們從事什么工作，銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等卻隨時(shí)發(fā)生作用，使其終身受益[9].數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會學(xué)習(xí)重在學(xué)會思維，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維.

2.3?思維引領(lǐng)的教學(xué)

教師教學(xué)應(yīng)克服教材在一定程度上掩蓋數(shù)學(xué)對象的抽象過程與數(shù)學(xué)思維的活動過程等不利因素，注重?cái)?shù)學(xué)思維活動的過程與結(jié)果，避免學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的表面化[10].教師精講基礎(chǔ)，確保學(xué)生能準(zhǔn)確掌握基礎(chǔ)知識與基本思想方法;把時(shí)間還給學(xué)生，讓學(xué)生有時(shí)間進(jìn)行自主思考、主動探索、合作交流，教師適時(shí)地進(jìn)行點(diǎn)撥;教師恰當(dāng)?shù)貧w納總結(jié)，幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)知識和思想方法，明晰算理，學(xué)會舉一反三，融會貫通.

2.4?思維引領(lǐng)的案例及簡析

案例2?思維引領(lǐng)下的探究教學(xué)

本案例選自《教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)）》2010年第11期中《數(shù)學(xué)探究：數(shù)學(xué)思想是靈魂——“對f（x）=ax+bx（ab≠0）型函數(shù)性質(zhì)的探究”一課評析》[11]一文，該文被人大《復(fù)印報(bào)刊資料·高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2011年第3期全文轉(zhuǎn)載.其中探究內(nèi)容如下：

今天我們一起來研究形如f（x）=ax+bx（ab≠0）函數(shù)的性質(zhì).

初步探究（策略分析）：

（1）當(dāng)我們研究一類函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，采用的是什么思路？經(jīng)歷了哪些步驟？

（2）要研究一類函數(shù)的性質(zhì)，往往先研究一些具體的函數(shù)，再歸納、概括此類函數(shù)的性質(zhì).那在課堂有限的時(shí)間內(nèi)，我們?nèi)绾螌?shí)現(xiàn)這一目標(biāo)呢？

進(jìn)一步探究（小組探究與匯報(bào)）：

小組探究（結(jié)合學(xué)案探究這類函數(shù)的性質(zhì)，繪制函數(shù)圖象）→匯報(bào)交流（說明探究過程并證明相關(guān)性質(zhì)）→探究結(jié)果匯總展示.

歸納探究：

（3）有了小組展示，我們能否歸納出函數(shù)f（x）=ax+bx（ab≠0）的性質(zhì)呢？

（通過類比轉(zhuǎn)化、歸納總結(jié)，得到四類函數(shù)的性質(zhì)）

（4）我們是否研究過含有兩個(gè)參數(shù)的函數(shù)呢？研究其意義時(shí)采用什么樣的方法呢？

案例簡析?教師激活學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，探究問題從方法論角度得到“概略性解決”，隱含數(shù)學(xué)思想方法，指向?qū)W生內(nèi)部的數(shù)學(xué)思維活動;設(shè)置探究任務(wù)，小組類比轉(zhuǎn)化、合作探究，集大眾智慧獲得函數(shù)性質(zhì);引領(lǐng)學(xué)生由具體到抽象，進(jìn)行一般的概括歸納，最后延伸擴(kuò)展探究a，b的意義.在整個(gè)教學(xué)中，滲透特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、類比和轉(zhuǎn)化的思想.

3?變式訓(xùn)練

3.1?變式訓(xùn)練的內(nèi)涵

注重“變式訓(xùn)練”的數(shù)學(xué)教學(xué)，通過改變數(shù)學(xué)內(nèi)容的維度，學(xué)生通過有限的數(shù)學(xué)變式成功體驗(yàn)和辨別各種變異.一定的變式教學(xué)策略可促成學(xué)生形成看待原有問題的全新視角，可幫助學(xué)生系統(tǒng)、有效地理解和掌握學(xué)科知識.

3.2?變式訓(xùn)練的作用

變式分為概念性變式和過程性變式.概念性變式訓(xùn)練借助概念變式之間、概念變式與非概念變式間的差異與聯(lián)系引導(dǎo)學(xué)生識別概念的內(nèi)涵和外延，幫助學(xué)生多方面理解概念，并不是 “被動灌輸”.過程性變式訓(xùn)練通過有層次地推進(jìn)教學(xué)活動，使學(xué)生形成概念或解決問題，從而積累多層次的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，并不是“機(jī)械訓(xùn)練”[12].

3.3?變式訓(xùn)練的教學(xué)

變式訓(xùn)練的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)從數(shù)學(xué)情境、數(shù)學(xué)知識、學(xué)生認(rèn)知三個(gè)維度去構(gòu)造學(xué)習(xí)空間，選擇形式、內(nèi)容、數(shù)量上合理、變化豐富而不重復(fù)的問題，充分利用和開發(fā)教材中例題和習(xí)題的價(jià)值功能，促進(jìn)學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，避免被動灌輸和機(jī)械訓(xùn)練.

概念性變式訓(xùn)練，可構(gòu)建一個(gè)聚焦知識對象關(guān)鍵（如條件、適用范圍等）的變異空間，學(xué)生從中把握和理解概念的本質(zhì);過程性變式訓(xùn)練，可建立適合的教學(xué)腳手架，幫助學(xué)生建立新舊知識內(nèi)在的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”的發(fā)展[13].

3.4?變式訓(xùn)練的案例及簡析

案例3?變式訓(xùn)練下的定理教學(xué)

本案例選自《中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版）》2008年第1期中《“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)》[14]一文，該文被人大《復(fù)印報(bào)刊資料·高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2008年第4期全文轉(zhuǎn)載.其中“零點(diǎn)存在性定理”的變式內(nèi)容如下：

零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的根.

變1?“加強(qiáng)結(jié)論”：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，滿足f（a）·f（b）<0，是否意味著函數(shù)y=f（x）在[a，b]上恰有一個(gè)零點(diǎn)？

變2?“加強(qiáng)條件”：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，滿足f（a）·f（b）<0，且，則函數(shù)y=f（x）在[a，b]上恰有一個(gè)零點(diǎn)？

變3?“改變條件”：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且滿足f（a）·f（b）>0，則函數(shù)y=f（x）在[a，b]上有零點(diǎn)嗎？

變4?“反過來”：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，在[a，b]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，是否一定有f（a）·f（b）<0？

案例簡析?案例中變式屬于概念性變式，改變定理的某個(gè)條件得到變式，引導(dǎo)學(xué)生感知定理、借助圖象、舉出反例.教師改變定理?xiàng)l件的空間，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和思辨性，幫助學(xué)生多角度地理解定理，更全面地掌握概念的本質(zhì).

4?文化浸潤

4.1?文化浸潤的內(nèi)涵

注重“文化浸潤”的數(shù)學(xué)教學(xué)，一是挖掘蘊(yùn)含在顯性數(shù)學(xué)知識、教材資源中的文化（思想方法等），提煉并進(jìn)行體現(xiàn)，與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，學(xué)生經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”過程;二是對教材進(jìn)行改編與設(shè)計(jì)，與相關(guān)的數(shù)學(xué)史料進(jìn)行串聯(lián)，介紹一定的數(shù)學(xué)史，學(xué)生了解知識的發(fā)生、發(fā)展過程，感受數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新理念等，滲透數(shù)學(xué)文化;三是挖掘生活中有關(guān)數(shù)學(xué)文化的素材，欣賞數(shù)學(xué)文化中的“數(shù)學(xué)美”，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用價(jià)值與美學(xué)價(jià)值.4.2?文化浸潤的作用

數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng);引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，開闊學(xué)生視野，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.3?文化浸潤的教學(xué)

文化浸潤的教學(xué)，可在數(shù)學(xué)知識、技能與思維深處中滲透數(shù)學(xué)文化，在教學(xué)中詮釋知識的文化意義，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué);揭示數(shù)學(xué)對其他文化發(fā)展的影響，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價(jià)值;揭示其他文化對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，提高學(xué)生的創(chuàng)造性;揭示數(shù)學(xué)的精神智慧，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[15].4.4?文化浸潤的案例及簡析

案例4?文化浸潤下的概念教學(xué)

本案例選自《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中版）》2007年第6期中《復(fù)數(shù)概念的HPM教學(xué)案例》[16]一文，該文被人大《復(fù)印報(bào)刊資料·高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2007年第9期全文轉(zhuǎn)載.虛數(shù)的產(chǎn)生源自三次方程求根，考慮到卡丹公式的復(fù)雜性及教學(xué)時(shí)間限制，選用萊布尼茨對復(fù)數(shù)的研究作為材料，揭示虛數(shù)引入的必要性.虛數(shù)引入的部分內(nèi)容如下：

數(shù)的概念從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來，一種新數(shù)的引入往往需要數(shù)學(xué)家們付出艱辛的努力.數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形對角線的長度不能用有理數(shù)表示！為解決這個(gè)問題，引進(jìn)無理數(shù).迄今為止，我們一直在實(shí)數(shù)中遨游.但實(shí)數(shù)外還有沒有數(shù)呢？請大家探究以下問題：

問題1?已知x2+y2=2，xy=2，求（1）x+y=？;（2）x及y的值.

問題2?還原x和y，將x+y=?6代入xy=2得x和y是一個(gè)一元二次方程的根.但在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程無解，看來x和y存在，但都不是實(shí)數(shù).要解決這個(gè)問題，須引入新數(shù).問題的關(guān)鍵：當(dāng)判別式小于零時(shí)，方程的根該如何表示？請同學(xué)們閱讀課本的內(nèi)容，并思考：

（1）什么叫虛數(shù)單位？它的四則運(yùn)算是如何規(guī)定的？

（2）什么是虛數(shù)和復(fù)數(shù)？復(fù)數(shù)集和實(shí)數(shù)集的關(guān)系如何？

（3）復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？已知x2=-3，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求x.

（4）若a<0，則a的平方根是什么？

（5）利用求根公式，求出問題1中的x和y.

（6）當(dāng)Δ<0時(shí)，方程ax2+bx+c=0的根是什么？

問題3?閱讀課后印發(fā)的材料《邦貝利與復(fù)數(shù)》以及《大數(shù)學(xué)家們眼中的虛數(shù)》，談?wù)勛约簩μ摂?shù)的理解.

案例簡析?結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)史與例題引導(dǎo)學(xué)生意識到引入復(fù)數(shù)的必要性，通過自習(xí)課本內(nèi)容獲得復(fù)數(shù)知識并解決相應(yīng)問題.閱讀課外材料，了解知識的產(chǎn)生與發(fā)展，促進(jìn)對數(shù)學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化理解，感受數(shù)學(xué)家的探索精神，滲透數(shù)學(xué)文化.

5?教學(xué)策略提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的學(xué)與教，唯有教師講活、講懂、講深，并引導(dǎo)高效思維，學(xué)生才能學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，享受數(shù)學(xué)思考的樂趣[17].基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力為基礎(chǔ)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力為目標(biāo)，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力.四個(gè)教學(xué)策略在實(shí)施過程中對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力各有側(cè)重.

對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與舊知是基礎(chǔ)和起點(diǎn)，觀念與態(tài)度涉及數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與動機(jī)等，四條教學(xué)策略的實(shí)施均應(yīng)以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與舊知、觀念與態(tài)度為前提.問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的起始與載體，活動幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題，任何教學(xué)策略都應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流，擁有內(nèi)在的思維活動.教師不僅要傳授知識，也要滲透數(shù)學(xué)思想方法，強(qiáng)調(diào)核心思想，學(xué)生能在練習(xí)等形式中體驗(yàn)、感悟思想與方法.教學(xué)策略的開展幫助學(xué)生補(bǔ)充、修正原有的經(jīng)驗(yàn)與舊知、觀念與態(tài)度，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行反思、歸因等元認(rèn)知過程，而提升調(diào)控與反思能力保證學(xué)習(xí)的有效進(jìn)行.教學(xué)策略與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力相互作用如圖1所示.此外，就單個(gè)策略來講，問題驅(qū)動與“問題與活動”緊密關(guān)聯(lián)，思維引領(lǐng)與“思想與方法”“調(diào)控與反思”緊密關(guān)聯(lián)，變式訓(xùn)練與“問題與活動”“思想與方法”緊密關(guān)聯(lián)，文化浸潤與“觀念與態(tài)度”緊密關(guān)聯(lián).當(dāng)然，四條策略與五大能力均關(guān)聯(lián)，這里的“緊密”是相對而言.具體關(guān)聯(lián)如圖2所示（細(xì)線表示關(guān)聯(lián)，粗線表示緊密關(guān)聯(lián)，下同）.

對于數(shù)學(xué)能力，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的終極目標(biāo)是會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)思維思考世界、會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.高中數(shù)學(xué)課程突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動四條主線，運(yùn)用不同教學(xué)策略針對不同類型、不同主題內(nèi)容的教學(xué)，在一定程度上能提升五大數(shù)學(xué)能力中的一個(gè)或多個(gè).問題驅(qū)動以問題與活動為主線，滲透思想與方法，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題過程中能提升抽象與概括、運(yùn)算與推理、作圖與想象、統(tǒng)計(jì)與分析、建模與解釋能力;思維引領(lǐng)重在思維方法和思想方法的引導(dǎo)，重“啟”重“發(fā)”，在思想方法的點(diǎn)撥中主要提升抽象與概括、運(yùn)算與推理、作圖與想象能力，建模與解釋、統(tǒng)計(jì)與分析能力次之;變式訓(xùn)練通過有限變式，講解核心概念與核心思想方法，學(xué)生抓住本質(zhì)從變中找不變，主要提升運(yùn)算與推理能力，其余四大數(shù)學(xué)能力次之;文化浸潤，學(xué)生經(jīng)歷知識的再創(chuàng)造過程，感受數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，主要提升運(yùn)算與推理、建模與解釋能力，其余能力次之.當(dāng)然，應(yīng)用四條策略教學(xué)均能提升五大數(shù)學(xué)能力，這里的“主次”是相對而言的.具體關(guān)系如圖3所示.

對于數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，樹立敢于質(zhì)疑的科學(xué)精神、提高實(shí)踐能力、提升創(chuàng)新意識.基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)能力，運(yùn)用不同教學(xué)策略進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力.問題驅(qū)動通過設(shè)置問題情境、問題鏈，主要培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系與貫通、推廣與引申能力，因在特定情境中設(shè)問或教師呈現(xiàn)主干問題串，故質(zhì)疑與批判能力培養(yǎng)次之;思維引領(lǐng)在學(xué)生“憤悱”處點(diǎn)撥、注重?cái)?shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生質(zhì)疑與批判、聯(lián)系與貫通、推廣與引申能力;變式訓(xùn)練在有限變式中培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系與貫通、推廣與引申能力，學(xué)生在變式訓(xùn)練中多角度地理解概念、積累活動經(jīng)驗(yàn)，跟著教師的設(shè)問與引導(dǎo)，則質(zhì)疑與批判能力培養(yǎng)次之;文化浸潤對知識再創(chuàng)造，滲透數(shù)學(xué)文化等，主要提升學(xué)生質(zhì)疑與批判能力，聯(lián)系與貫通、推廣與引申能力次之.當(dāng)然，運(yùn)用四條策略均能培養(yǎng)三大數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，這里的“主次”是相對而言的.具體關(guān)系如圖4所示.

數(shù)學(xué)是一種思維方式、思維體操，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以知識為載體、以思維為主線、以探究為手段、發(fā)展學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新精神[18].基于學(xué)科學(xué)習(xí)力的數(shù)學(xué)教學(xué)超越知識教學(xué)和解題技能訓(xùn)練，采用適合的教學(xué)策略、多元的教學(xué)方式等，促進(jìn)學(xué)生知識、思維和品性的和諧發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

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