基于非線性MPC方法的車(chē)輛穩(wěn)定性控制

郝西祥，陳亞偉，邵毅明

(重慶交通大學(xué) a.交通運(yùn)輸學(xué)院; b.機(jī)電與車(chē)輛工程學(xué)院, 重慶 400074)

車(chē)輛的極限性能很大程度上是由輪胎的非線性力學(xué)特征決定的，因此基于模型預(yù)測(cè)控制(MPC)的車(chē)輛穩(wěn)定性控制的實(shí)現(xiàn)取決于預(yù)測(cè)模型中的非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果。同時(shí)由此產(chǎn)生的非線性優(yōu)化問(wèn)題給控制器的實(shí)時(shí)運(yùn)行帶來(lái)了很大的挑戰(zhàn)。

針對(duì)上述問(wèn)題，許多文獻(xiàn)中提出了各種替代NMPC的方法，如線性時(shí)變MPC、混合和切換MPC或近似NMPC[1-3]。本文采用顯式NMPC方法離線解決優(yōu)化問(wèn)題，獲得的顯式解是一個(gè)次優(yōu)的多變量反饋定律，可以方便地進(jìn)行實(shí)時(shí)評(píng)估。

本文在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的非線性車(chē)輛模型時(shí)，考慮了縱向和橫向輪胎力的相互作用以及車(chē)輛轉(zhuǎn)彎時(shí)軸荷轉(zhuǎn)移的影響，這對(duì)車(chē)輛的穩(wěn)定性控制具有極為重要的作用。此外，本文提出的NMPC代價(jià)函數(shù)公式具有一定的靈活性，可以較為便捷地在實(shí)際車(chē)輛上應(yīng)用。

1 車(chē)輛預(yù)測(cè)模型

1.1 車(chē)輛動(dòng)力學(xué)建模

圖1 車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)牛頓第二定律及力矩平衡公式，得到如下的方程：

(FsFL+FsFR)cos(δ-β)-

(FlRL+FlRR)sinβ+

(1)

(2)

其中：m為車(chē)輛質(zhì)量；Iz為車(chē)輛繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；lF和lR分別是車(chē)輛的前后軸距；d為車(chē)輛輪距；δ為前輪轉(zhuǎn)角；Flij和Fsij分別是輪胎的縱向力和橫向力；下標(biāo)i=F,R，表示前后軸；j=L,R，表示左右輪。

1.2 輪胎垂直力

垂直輪胎力Fzij的估計(jì)考慮了與側(cè)向加速度相關(guān)的載荷傳遞，計(jì)算基于式(3)和 (4)中定義的常數(shù)。

(3)

(4)

其中：hF和hR分別是前后懸架的側(cè)傾中心高度，h′是滾動(dòng)軸與車(chē)輛重心之間的距離；KF和KR是前后懸架的側(cè)傾剛度值。由式(3)和(4)可得，垂直載荷估計(jì)如下：

(5)

(6)

其中FzRj,stat是單個(gè)輪胎的靜態(tài)垂直載荷。式(5)和(6)中忽略了質(zhì)心側(cè)偏角速度的影響。

1.3 輪胎受力模型

采用簡(jiǎn)化的魔術(shù)輪胎公式對(duì)輪胎側(cè)向力的非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行建模，純側(cè)移工況下的側(cè)向力Fs0ij定義為輪胎側(cè)偏角αij的非線性函數(shù)[4]。

Fs0ij=Dsijsin(Csijtan-1(Bsijαij))

(7)

其中：Dsij為峰值因子；Csij是側(cè)向形狀因子；Bsij是剛度因子。當(dāng)Csij和Bsij為常數(shù)時(shí)，Dsij取決于Fs0ij。根據(jù)滑移工況下輪胎橫向力和縱向力之間的相互作用，得到輪胎力的線性近似為

(8)

由式(8)可知，組合滑移中的每個(gè)橫向輪胎力Fsij會(huì)減小一個(gè)系數(shù)，該系數(shù)取決于當(dāng)前估計(jì)的縱向輪胎力Flij(制動(dòng)時(shí)Flij≤0)除以其在純縱向滑動(dòng)條件下的最大值Dlij。Dlij的值可由縱向輪胎-路面摩擦系數(shù)μlpij和垂直輪胎負(fù)荷計(jì)算得到：

Dlij=μlpijFzij

(9)

假設(shè)輪胎側(cè)偏角較小，忽略車(chē)輛的輪距，得到如下的側(cè)偏角計(jì)算式：

(10)

(11)

1.4 模型參數(shù)

表1是根據(jù)某一輛運(yùn)動(dòng)型多功能車(chē)(SUV)選擇的預(yù)測(cè)模型參數(shù)。

表1 預(yù)測(cè)模型主要參數(shù)

符號(hào)含義數(shù)值m車(chē)輛質(zhì)量/kg1 962IZ橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量/(kg·m2)3 382lF質(zhì)心到前軸的距離/m1.10lR質(zhì)心到后軸的距離/m1.57d輪距/ m1.62KF前懸架側(cè)傾剛度/(kN·m·rad-1)60KR后懸架側(cè)傾剛度/(kN·m·rad-1)50

2 車(chē)輛穩(wěn)定性控制器

NMPC車(chē)輛穩(wěn)定性控制器的設(shè)計(jì)是根據(jù)第2節(jié)中的車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型，由代價(jià)函數(shù)和約束條件構(gòu)成的最優(yōu)控制問(wèn)題。

2.1 代價(jià)函數(shù)

代價(jià)函數(shù)V被定義為預(yù)測(cè)范圍內(nèi)的最優(yōu)性標(biāo)準(zhǔn)的積分。具體來(lái)說(shuō)，由穩(wěn)定性控制器施加的縱向輪胎力分布應(yīng)使得與以下參考目標(biāo)的加權(quán)偏差最?。?/p>

1) 車(chē)輛的牽引力或者制動(dòng)力Fx,ref；

2) 車(chē)輛的直接橫擺力矩Mz,ref，即車(chē)輛左側(cè)和右側(cè)之間的縱向輪胎力差產(chǎn)生的參考橫擺力矩；

3) 制動(dòng)比bref，即車(chē)輛的前縱向輪胎力和總縱向輪胎力之間的比值；

預(yù)測(cè)范圍是當(dāng)前時(shí)間tk和末端時(shí)間tf=tk+tsNp之間的間隔，由預(yù)測(cè)步長(zhǎng)Np和離散采樣時(shí)間ts定義?？v向輪胎力是預(yù)測(cè)模型的控制輸入，可以在預(yù)測(cè)范圍內(nèi)變化Nc次，其中Nc是控制步長(zhǎng)，上述變量從tk+ts(Nc-1)保持不變直到tf，有如下公式：

(12)

2.2 參考目標(biāo)生成

Fx,ref可由車(chē)輛的期望減速度αx,ref獲得，αx,ref根據(jù)油門(mén)和制動(dòng)踏板上的駕駛員輸入以及車(chē)輛的運(yùn)動(dòng)狀況計(jì)算得到，則有如下公式：

Fx,ref=mαx,ref

(13)

參考橫擺力矩的計(jì)算式如下：

(14)

對(duì)于受控車(chē)輛的期望操縱，假設(shè)車(chē)輛速度和轉(zhuǎn)向角在預(yù)測(cè)范圍內(nèi)是恒定的，考慮具有與重力相關(guān)梯度Kus的線性不足轉(zhuǎn)向特性，可得式(15)。

(15)

(16)

為了在線性和最大橫擺角速度之間實(shí)現(xiàn)平滑過(guò)渡，使用具有調(diào)節(jié)參數(shù)Cm和Ck的S形函數(shù)來(lái)產(chǎn)生參考橫擺角速度，如式(17)所示。

(17)

2.3 約束條件

(18)

-αR,max-NαR(t)≤αR≤αR,max+NαR(t)

(19)

(20)

NαR(t)≥0

(21)

2.4 最優(yōu)控制設(shè)置

表2為本文最優(yōu)控制問(wèn)題的參數(shù)設(shè)置。

表2 最優(yōu)控制的參數(shù)設(shè)置

符號(hào)含義數(shù)值ts采樣時(shí)間/ms20Np預(yù)測(cè)步長(zhǎng) 3Nc控制步長(zhǎng) 1eφ·,max橫擺角速度誤差限值/ ((°)·s-1)6αR,max后軸側(cè)偏角誤差限值/m1.62

2.5 多參數(shù)非線性問(wèn)題

通過(guò)對(duì)連續(xù)代價(jià)函數(shù)和約束條件進(jìn)行有限參數(shù)化和離散化，得到如下的優(yōu)化問(wèn)題：

(22)

約束條件為

G(z,xp(tk))≤0

(23)

其中:參數(shù)矢量xp(tk)包含預(yù)測(cè)模型的初始狀態(tài)x(tk)和緩慢變化的參數(shù)p(tk)，即xp(tk)=[β(tk),φ(tk),v(tk),δ(tk)]；優(yōu)化變量Z包括輸入軌跡參數(shù)U、松弛變量N和狀態(tài)參數(shù)X,即有Z=[U,N,X]。

假設(shè)在tk時(shí)刻，MPC控制策略的最優(yōu)解存在，記為Z*，表示預(yù)測(cè)范圍內(nèi)的最優(yōu)開(kāi)環(huán)軌跡。在電液制動(dòng)系統(tǒng)中，縱向輪胎力Flij(tk)轉(zhuǎn)化為參考液壓壓力。在下一時(shí)刻，利用更新后的參數(shù)向量解決優(yōu)化問(wèn)題，使MPC策略成為一種閉環(huán)方法。

3 顯式NMPC

由于式(22)～(23)的在線解具有非線性特征，計(jì)算負(fù)載較大，很難保證實(shí)時(shí)性，因此本文提出了多參數(shù)問(wèn)題的顯式解。對(duì)于多參數(shù)非線性規(guī)劃(mp-NLP)問(wèn)題，通常不可能得到精確形式的顯式解。因此，采用多參數(shù)二次規(guī)劃(mp-QP)逼近mp-NLP的顯式NMPC算法，得到保證次最優(yōu)水平的次最優(yōu)解。

3.1 MP-QP算法逼近求解

本文提出的算法是將近似mp-NLP算法與全局優(yōu)化工具以及多參數(shù)二次逼近(mp-QA)算法相結(jié)合來(lái)進(jìn)行求解[5-7]。

將多參數(shù)非線性規(guī)劃與多參數(shù)二次規(guī)劃局部逼近，得到了基于正交分區(qū)的局部mp-QP子問(wèn)題的近似解。通過(guò)參數(shù)空間的迭代遞歸劃分來(lái)控制近似精度。為了提高局部mp-QP近似的精度，并在代價(jià)、解決方法和超過(guò)最大約束的次優(yōu)界方面滿足誤差和精度要求，采用基于參數(shù)空間部分的啟發(fā)式分割規(guī)則對(duì)分區(qū)進(jìn)行了細(xì)化。

對(duì)于具有mp-QP問(wèn)題的mp-NLP的局部逼近是由式(22)中的代價(jià)函數(shù)V的2階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)和式(23)中約束函數(shù)G的1階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)得到的。

由此可以得到mp-NLP(22)-(23)的顯式近似解，包括每個(gè)正交分區(qū)上mp-QP子問(wèn)題的解。mp-QP子問(wèn)題的解由分段仿射函數(shù)和相應(yīng)的多面體臨界區(qū)域組成。因此，主要的計(jì)算工作是離線進(jìn)行的。在線計(jì)算簡(jiǎn)化了對(duì)給定參數(shù)向量xp的多面體區(qū)域的識(shí)別和相關(guān)的多變量仿射反饋律的計(jì)算[8]。

3.2 在線評(píng)估

實(shí)際評(píng)估過(guò)程主要分為3個(gè)階段：

1) 對(duì)于給定的參數(shù)xp(tk)，第1層通過(guò)遍歷內(nèi)存優(yōu)化的二叉搜索樹(shù)來(lái)標(biāo)識(shí)相應(yīng)的正交分區(qū)和相關(guān)的局部mp-QP子問(wèn)題。

2) 在確定正交分區(qū)后，第2層通過(guò)遍歷二叉搜索樹(shù)或順序搜索數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，確定仿射狀態(tài)反饋律的相應(yīng)多面體臨界區(qū)域。該層評(píng)估反饋律，并返回值。

3) 在最后一層中，進(jìn)行可行性檢查，在不可行的情況下，提供前一個(gè)時(shí)間步驟中的控制措施。

4 仿真結(jié)果

4.1 受控和非受控車(chē)輛比較

采用顯式的基于NMPC的穩(wěn)定性控制器，對(duì)車(chē)輛的性能進(jìn)行了仿真，測(cè)試運(yùn)行根據(jù)UN/ECE-R13H規(guī)則完成[9]。通過(guò)對(duì)某款運(yùn)動(dòng)型多功能車(chē)的仿真試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證控制器的有效性。

圖2顯示了基于NMPC的顯式穩(wěn)定性控制器(用實(shí)線表示)與被動(dòng)車(chē)輛的響應(yīng)，即無(wú)穩(wěn)定控制器的車(chē)輛(用虛線表示)。被動(dòng)車(chē)輛后軸側(cè)偏角在仿真結(jié)束時(shí)增長(zhǎng)到大約30°(在圖的標(biāo)尺之外)，表明被動(dòng)車(chē)輛可控性受到損害。

與被動(dòng)車(chē)輛相比，受控車(chē)輛的后軸側(cè)偏角和橫擺角速度具有合適的數(shù)值，后軸側(cè)偏角處于約束范圍內(nèi)，避免了車(chē)輛因后軸側(cè)滑而發(fā)生甩尾，并且車(chē)速的最終值高于被動(dòng)車(chē)輛，表明所提出的控制器可以改善車(chē)輛穩(wěn)定性。

4.2 代價(jià)函數(shù)中權(quán)重的影響

代價(jià)函數(shù)中權(quán)重的選擇會(huì)對(duì)橫擺角速度誤差和后軸側(cè)偏角誤差產(chǎn)生較大的影響，為了進(jìn)行深入分析，本文設(shè)定了3種不同的權(quán)重方案。

方案1 優(yōu)先考慮后軸側(cè)偏角的影響，對(duì)橫擺角速度權(quán)值選取一定的數(shù)值。

方案2 將后軸側(cè)偏角設(shè)為0，橫擺角速度的數(shù)值與方案1保持一致。

圖2 顯式NMPC和被動(dòng)車(chē)輛的響應(yīng)

方案3 后軸滑移率設(shè)為0，橫擺角速度的權(quán)值相對(duì)于 1)增加3倍。

引入性能指標(biāo)式(24)～(27)，通過(guò)控制器來(lái)量化權(quán)值對(duì)車(chē)輛穩(wěn)定性的影響。

(24)

(25)

(26)

(27)

指標(biāo)I1和I2分別為在仿真區(qū)間[0,T]上的直接橫擺力矩MZ絕對(duì)值的最大值和平均值。指標(biāo)I3和I4是由各自的松弛變量所描述的后軸側(cè)偏角和橫擺角速度誤差的絕對(duì)值的平均值。

圖3表示的是根據(jù)文獻(xiàn)[11]定義的19次試運(yùn)行的性能指標(biāo)結(jié)果，以最大方向盤(pán)角度δsw,max=38.7°開(kāi)始，增加到最終測(cè)試運(yùn)行的δsw,max=270.9°。

盡管具有相同的橫擺角速度誤差，但是與方案1相比，方案2產(chǎn)生的橫擺角速度誤差的平均值更大，并且由于后軸側(cè)偏角權(quán)值為零，I3的數(shù)值也變得更高。

由此可以看出，在最優(yōu)控制問(wèn)題公式中加入相對(duì)較大權(quán)值的后軸側(cè)偏角約束，會(huì)導(dǎo)致直接橫擺力矩的最大值較小，同時(shí)，橫擺角速度跟蹤性能不受影響。

圖3 不同權(quán)重對(duì)性能指標(biāo)的影響

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)車(chē)輛的穩(wěn)定性控制問(wèn)題，提出了一種用于電動(dòng)液壓制動(dòng)系統(tǒng)車(chē)輛橫擺和橫向穩(wěn)定控制的顯式NMPC算法，并進(jìn)行了仿真試驗(yàn)和權(quán)重影響分析。仿真結(jié)果表明，顯式NMPC方法可以顯著改善車(chē)輛的穩(wěn)定性。通過(guò)對(duì)不同權(quán)重設(shè)置的分析，說(shuō)明了后軸側(cè)偏角約束的引入對(duì)控制器性能的影響及重要性。