疫苗作用具有階段性和環(huán)境傳播的傳染病模型的全局漸近穩(wěn)定性

靖曉潔，趙愛民，劉桂榮

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 太原 030006)

近年來，許多關(guān)于傳染病動力學(xué)的研究工作考慮了接種疫苗，并取得了一些較好的研究成果，見文獻(xiàn)[1-4]。在這些研究成果中，很少考慮注射疫苗的階段性[5]。對于一些傳染病，如麻疹病毒，注射疫苗分為兩個階段：第1次接種后，被接種者仍會被感染，但比未接種者感染概率會降低；第2次接種完成后，由于抗體可以持續(xù)很長時間，可以認(rèn)為接種者不會被感染。此外，由于一些傳染病病毒在空氣中和在被染病者接觸過的物品、食物等的表體上存活時間較長，進(jìn)而促進(jìn)傳染病的暴發(fā)，因此環(huán)境[6]也是傳染病傳播的重要因素。為此，本文考慮疫苗作用的階段性特征和環(huán)境傳播的SVEIR傳染病模型，通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，證明了模型平衡點的全局漸近穩(wěn)定性。

1 傳染病模型

將個體分為6類：易感者S、第1次接種疫苗者V1、第2次接種疫苗者V2、潛伏者E、染病者I和恢復(fù)者R。忽略因病死亡，并加入環(huán)境因素，用S(t)、V1(t)、V2(t)、E(t)、I(t)、R(t)和B(t)表示t時刻易感者、第1次接種疫苗者、第2次接種疫苗者、潛伏者、染病者、恢復(fù)者和環(huán)境中傳染病病毒的數(shù)量，建立如下數(shù)學(xué)模型:

(1)

其中：A為總?cè)丝诘某?shù)輸入；μ為自然死亡率；β為人與人的感染率；α為人與環(huán)境的感染率；ν為第1次疫苗接種率；δ為第2次疫苗接種率；ε為降低感染率的比例；p為潛伏者進(jìn)入染病者的比例；γ為染病者的恢復(fù)率；k為染病者排放到環(huán)境中的病毒的速率；τ為環(huán)境中病毒的失效率。顯然模型(1)的子系統(tǒng)：

(2)

封閉。故本文只分析模型(2)。

事實上，由模型(2)的前4個方程有

于是可得

進(jìn)而

是模型(2)的正不變集。以下在Ω上研究模型(2)的動力學(xué)行為。

2 基本再生數(shù)和平衡點的存在性

下面考慮模型(2)的地方病平衡點的存在性。

考慮下列代數(shù)方程組

(3)

由方程組(3)的第4、5個方程可得

(4)

3 平衡點的全局漸近穩(wěn)定性

定理1 當(dāng)R0<1時，模型(2)的無病平衡點P0(S0,V10,0,0,0)在Ω上是全局漸近穩(wěn)定的。

證明根據(jù)模型(2)的無病平衡點P0(S0,V10,0,0,0)，模型(2)可改寫為

(5)

定義Lyapunov函數(shù)L1∶Ω→[0,∞)為

函數(shù)L1沿著模型(5)的全導(dǎo)數(shù)為

(βI+αB)[(S-S0)+ε(V1-V10)+(S0+εV10)]-(μ+p)E+

證明根據(jù)方程組(3)，模型(2)可改寫為：

(6)

再定義Lyapunov函數(shù)L2∶Ω→[0,∞)為

函數(shù)L2沿著模型(6)的全導(dǎo)數(shù)為

由方程組(3)可知

進(jìn)而有，

4 數(shù)值仿真

為了驗證以上的理論分析，進(jìn)行了數(shù)值模擬。選取參數(shù)β=0.000 25，α=0.000 05，μ=0.000 01，ε=0.018，ν=0.85，δ=0.75，p=0.6，k=2，τ=4，γ=0.9。

令A(yù)=100，進(jìn)而R0≈0.052 1<1。因此，模型(1)的無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。圖1驗證了該結(jié)果的合理性。

令A(yù)=10 000，進(jìn)而R0≈5.217 9>1。因此，模型(1)存在唯一的地方病平衡點，且是全局漸近穩(wěn)定的。圖2驗證了此結(jié)論的正確性。

圖1 R0<1時，E(t)+I(t)的時間序列圖

另取參數(shù)A=10 000，β=0.000 25，α=0.000 05，μ=0.000 01，ε=0.018，p=0.6，k=2，τ=4，γ=0.9。圖3中δ=0.5，取3組不同的ν的值。可明顯地觀察到：隨著ν的增大，E(t)+I(t)有顯著下降，最后趨于穩(wěn)定(即地方病平衡點)。圖4中ν=0.5，取3組不同的δ值可以看到：當(dāng)δ增大時，E(t)+I(t)隨之減少并趨于穩(wěn)定(即地方病平衡點)。對比發(fā)現(xiàn)，第1次疫苗接種率ν的增加可明顯地減少潛伏者和染病者的數(shù)量；第2次疫苗接種率δ的增加也能減少潛伏者和染病者的數(shù)量，但減少量沒有第1次疫苗接種率ν明顯。由此可見，潛伏者和染病者對第1次疫苗接種率更敏感。

圖3 ν變化時，E(t)+I(t)的時間序列圖

5 結(jié)束語

本文把疫苗分為兩個階段V1和V2，結(jié)合帶有環(huán)境傳播和潛伏期特征的傳染病，在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，更細(xì)致地研究了一類傳染病的全局性態(tài)，得到了傳染病的基本再生數(shù)R0。證明了：當(dāng)R0<1時，無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時，地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。通過數(shù)值模擬驗證了本文研究結(jié)果的正確性，同時還模擬了第1次疫苗接種率ν和第2次疫苗接種率δ對潛伏者和染病者的影響。通過模擬發(fā)現(xiàn)：加大第1次疫苗接種率可大幅度減少潛伏者和染病者的數(shù)量。本文的研究有利于流行病學(xué)家們有的放矢地采取相應(yīng)的干預(yù)措施，對防止傳染病的暴發(fā)、流行具有重要的理論價值和實際意義。