一類(lèi)邊界耦合波方程的穩(wěn)定性

梁琦琦，馮紅銀萍

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 太原 030006)

在工程和物理學(xué)中，系統(tǒng)的耦合是普遍存在的。 在文獻(xiàn)[1]中，作者討論了ODE-熱方程的耦合系統(tǒng),證明了該耦合系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。文獻(xiàn)[2]研究了Euler-Bernoulli梁方程與熱方程在邊界耦合的系統(tǒng),熱方程作為整個(gè)耦合系統(tǒng)的控制器，使得耦合系統(tǒng)的解是指數(shù)穩(wěn)定的。在文獻(xiàn)[3-5]中，Zhang和Zuazua分別討論了熱方程和波方程在兩類(lèi)不同邊界條件下的耦合，并證明了兩種情況下的耦合系統(tǒng)是多項(xiàng)式穩(wěn)定的。文獻(xiàn)[6-7]研究了兩個(gè)波方程的主方程耦合的系統(tǒng)，并且證明了在不同的假設(shè)條件下系統(tǒng)為指數(shù)穩(wěn)定或一般穩(wěn)定、本文研究了一類(lèi)新的邊界耦合的波方程系統(tǒng)，并證明了耦合系統(tǒng)是適定的、漸近穩(wěn)定的但不是指數(shù)穩(wěn)定的。

本文討論如下的耦合波方程:

(1)

其中:k,c為正常數(shù)；wx或w′表示w對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，wt表示w對(duì)t的導(dǎo)數(shù)。令:

φ(x,t)=u(1+x,t), 00

則上述系統(tǒng)等價(jià)于如下的耦合系統(tǒng):

(2)

因此，只需考慮耦合系統(tǒng)(2)的適定性和穩(wěn)定性。定義系統(tǒng)(2)的能量函數(shù)為:

對(duì)E(t)求導(dǎo)，并結(jié)合(2)得到:

因此E(t)是單調(diào)遞減的。

將在如下?tīng)顟B(tài)空間上考慮系統(tǒng)(2)的適定性和穩(wěn)定性：

(3)

?Xi=(fi,gi,hi,mi)∈H,i=1,2

定義算子Α:D(Α)(?H)→H為:

(4)

則系統(tǒng)(2)可以寫(xiě)成如下發(fā)展方程:

其中：X(x,t)=(w(·,t),wt(·,t),φ(·,t),φt(·,t))，X0(x)=(w0,w1,φ0,φ1)。

定理1 對(duì)任意初值(w0,w1,φ0,φ1)∈H，系統(tǒng)(2)有唯一的解使得(w(·,t),wt(·,t),φ(·,t),φt(·,t))∈C([0,∞);H)。此外，系統(tǒng)(2)的解是漸近穩(wěn)定的，即:

(5)

證明算子Α由式(4)定義，則對(duì)任意的(f,g,h,m)∈D(Α)，簡(jiǎn)單計(jì)算可得:

Re〈Α(f,g,h,m),(f,g,h,m)〉=

cm(0)h(0)=-kg2(1)≤0

(6)

因此Α在H中耗散。對(duì)任意的(p,q,r,s)∈H，解方程Α(f,g,h,m)=(p,q,r,s)可得:

(7)

因此Α-1存在。根據(jù)Sobolev嵌入定理[8]，Α-1在H中是緊的。由Lumer-phillips定理[9]得：Α在H上生成C0-壓縮半群。

接下來(lái)證明系統(tǒng)(2)是漸近穩(wěn)定的。根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知：只要證明算子Α在虛軸上無(wú)特征值即可。事實(shí)上，假設(shè)

Α(f,g,h,m)=iz(f,g,h,m),(f,g,h,m)∈D(Α)

其中z∈R，可以得到(f,g,h,m)滿(mǎn)足如下的方程組:

(8)

如果z=0,則f=g=h=m=0?，F(xiàn)在假設(shè)z≠0,在式(8)前兩個(gè)等式兩邊分別與f,h做內(nèi)積,可得:

(9)

另一方面，利用分部積分公式，有:

(10)

比較式(9)和(10)可知:

(11)

化簡(jiǎn)可得:

(12)

比較式(12)等號(hào)兩邊的虛部可知-izk|f(1)|2=0,由于k≠0,z≠0，故f(1)=0。由式(8)得(f,h)的解:

(13)

其中系數(shù)c1、c2、c3、c4滿(mǎn)足如下的齊次線(xiàn)性方程組:

(14)

要使得方程組(13)只有零解，當(dāng)且僅當(dāng)方程組(14)的系數(shù)矩陣的秩為4， 即系數(shù)矩陣中有一個(gè)四級(jí)子式不為0。上述方程組的系數(shù)矩陣為:

它的四級(jí)子式分別為：

4isinz(zsinz-ccosz)

4isinz

4sinz(csinz+zcosz)

4cosz(zsinz-ccosz)

4(zsinz-ccosz)

若sinz≠0，則|A2|≠0,結(jié)論成立；若sinz=0，則cosz≠0，于是|A4|≠0，故方程組只有零解。表明Α在虛軸上沒(méi)有譜，所以eΑt是漸近穩(wěn)定的。

注記1 若Α為由式(4)定義的算子，則eΑt不是指數(shù)穩(wěn)定。

事實(shí)上，對(duì)任意的λ∈σ(Α)，解Sturm-Liouville問(wèn)題:

Α(f,g,h,m)=λ(f,g,h,m),(f,g,h,m)∈D(Α)

(15)

與定理1的第二部分證明類(lèi)似，f,h式中的系數(shù)滿(mǎn)足如下條件：

(16)

如果上述方程組有非零解，當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式值為零，即:

(c+λ)(k+2)e2λ+(2-k)(c-λ)e-2λ-2kλ=0

這就等價(jià)于:

(17)

只考慮下面1種情況:

(18)

根據(jù)Rouche定理[11]，得到如下的漸近表達(dá):

λ=λn=nπi+O(n-1),n→∞

(19)

將式(19)代入式(18)，可以得到O(n-1)所滿(mǎn)足的條件為:

(20)

結(jié)合式(19)，可得:

(21)

這里n是整數(shù)。由此可得系統(tǒng)(2)不是指數(shù)穩(wěn)定的。