楊秀芳,孫有朝,趙大旭,楊自棟,姚立健,張培培
(1.南京航空航天大學, 南京 211106; 2.浙江省竹資源與高效利用協(xié)同創(chuàng)新中心, 杭州 311300;3.浙江農林大學, 杭州 311300)
“3D打印(3D printing )”形象地描述了增材制造(additive manufacturing,AM)的工藝特點,這種“自下而上”的制造方法已經(jīng)伴隨著材料領域的發(fā)展從工業(yè)領域擴展到了家用領域。熔融沉積造型(FDM-fused deposition modeling)是一種擠壓成型的3D打印技術,適合打印低熔點材料,尤其是無毒環(huán)保、可降解的材料,目前應用最廣泛。針對FDM工藝的特點,目前研究主要集中于開發(fā)新材料和提高打印精度和質量[1]。其中,機械結構本體,即打印機構問題是提高打印精度和質量的關鍵。
串聯(lián)構型的3D打印機發(fā)展比較成熟,若要繼續(xù)提高潛力,需要從機構學角度研究更加適合FDM工藝的打印執(zhí)行機構。基于上述思路,并聯(lián)機構在3D打印中的應用逐漸引起重視。李江濱[2]以3D打印機機械本體—3-P[2-SS]并聯(lián)機構為研究對象,對該機構進行了運動學分析、運動學標定、誤差建模,并設計制作樣機進行了實驗研究。曲興田等[3]設計出一種工作平臺可翻轉的3D打印機,完成無支撐結構的曲面結構打印。周輝等[4]提出一種完全解耦五自由度混聯(lián)機構作為3D打印的執(zhí)行機構。薛國芳[5]提出了一種基于 3-PUU 型三自由度 3D 打印并聯(lián)機器人,該并聯(lián)機構具有較好的運動學和動力學性能。
本文基于Delta機構設計了一種3-PUU構型并聯(lián)3D打印機,在RecurDyn環(huán)境下進行了軌跡優(yōu)化和仿真試驗,驗證了設計的合理性。
并聯(lián)機構結構緊湊、剛度大、承載能力強,而且運動慣性小、驅動誤差小、位置精度高和各向同性好[2]。隨著相關理論研究的不斷深入以及工程應用實踐探索,并聯(lián)機構先后被成功應用于諸多領域,如并聯(lián)運動學機床、并聯(lián)機器人、定位裝置、測量裝置、飛行模擬器、醫(yī)療、娛樂等。雖然并聯(lián)機構存在其特有的缺點,比如工作空間小、存在奇異問題等,但是其能更好地滿足微細加工工藝對精度的需求,與打印機構功能需求吻合[6-7]。
由于FDM工藝中,噴頭噴出后冷卻的固化層面與噴嘴垂直,當完成一層的噴涂時打印頭繼續(xù)按設定的零件截面輪廓和填充軌跡運動,同時將熔融狀態(tài)下的材料擠出,前一層的材料粘結并固化。因此,噴頭的主運動是三維空間中的平動,如圖1所示。
圖1 噴頭工作原理圖
典型并聯(lián)機構,如Stewart平臺及其變型,大都具有6個自由度,運動控制復雜度較高,而對于多數(shù)3D打印機,少自由度并聯(lián)機構則更適合。相比而言,少自由度并聯(lián)機構有下列優(yōu)點:① 驅動件減少,構件少;② 工作空間大;③ 運動耦合較弱,容易解耦;④ 控制簡單方便;⑤ 制造容易,價格低廉;⑥ 正向求解簡單[8-9]。
目前,大多數(shù)并聯(lián)打印機構都選擇了較為成熟的Delta并聯(lián)機構及其演化機構。Delta機構剛度大、響應靈敏,具有優(yōu)異的綜合性能,并且無誤差積累,適合用于打印機構,國內外研究相對豐富。國內一些高校在并聯(lián)機構應用于3D打印機的研究中取得了若干成果,燕山大學則研究了用于3D打印的3-CUR 解耦并聯(lián)機構[10],北京交通大學潘英基于3T1R和3T2R構型設計了打印機,并分析了其運動學性能[11]。本文在前期用于3D打印的竹塑復合材料研究基礎上[12],基于Delta構型設計了打印機構,分析了機構運動學性能,對典型打印過程進行了運動學分析。
提取旋轉關節(jié)的中心點,將Delta并聯(lián)機構簡化為靜平臺、動平臺以及連接它們的3條對稱分布的運動支鏈。
假設靜平臺和動平臺鉸接點的外接圓半徑分別為RS和RT,在靜平臺中心點O建立全局坐標系O-x、y、z,靜平臺3個鉸接點Am0(m=1,2,3)向中心點O平移1個動平臺外接圓半徑,將動平臺簡化為一點P,建立工具坐標系P-xp、yp、zp,如圖2所示。用Am(m=1,2,3)標記靜平臺頂點,OAm=l1=RS-RT,與OX的夾角為αm,主動臂與靜平臺的夾角為βm,連桿相對主動臂的夾角為γm,AmBm=l2,PBm=l3分別為主動臂和連桿的長度。
運動學逆解是根據(jù)已知的末端執(zhí)行器P的位置矢量r,求解節(jié)變量β=[β1,β2,β3]T及其對時間的1階和2階導數(shù)。由圖2中位置關系可知:
r=[x,y,z]T=l1im+l2jm+l3km
(1)
式中im,,jm,km分別表示OAm、AmBm與PBm的單位矢量,其中im=[cosαm, sinαm,0]T,jm=[cosαmcosβm, sinαmcosβm,-sinβm]T,km待定。由式(1)得:
l3km=r-l1im-l2jm→(l3km)(l3km)T=
(r-l1im-l2jm)(r-l1im-l2jm)T→
(2)
從而消去km,式(2)展開并整理,可得位置反解βm:
(3)
系數(shù)Mm、Nm與Qm分別為:
(4)
(5)
(6)
式(6)描述了主動臂關節(jié)速度與動平臺速度之間的映射關系,定義間接Jacobi矩陣JI與直接Jacobi矩陣JD[14]:
(7)
則可將式(6)表示為矩陣形式:
(8)
顯然,Jacobi矩陣J反映了末端執(zhí)行器的速度與主動關節(jié)速度之間的映射關系。加速度推導過程和速度逆解類似,式(8)對時間求導可得加速度逆解:
(9)
運動學正解是給定主動臂關節(jié)變量β,求解末端執(zhí)行器P的位置矢量r,根據(jù)構型可知,Bm點在以P為圓心、l3為半徑的球面上。式(2)在消去km時給出了各運動支鏈對應的球面方程:
(10)
上述3個方程求解可得到2個位置正解,舍去存在機構干涉的解,得到P點位置矢量r。
(11)
Delta機構的工作空間,是該機構動平臺能伸展的最大空間,即動平臺的軌跡能達到的最大范圍。工作空間的大小某種程度上決定了機構的性能,從而決定該3D打印機的性能。另外,工作空間也對機構的尺寸具有一定的約束,在尺寸的優(yōu)化上起到關鍵性的作用。
工作空間可采用Monte Carlo數(shù)值積分法和幾何法求得。本文選用幾何分析法,通過兩兩圓弧相交可以獲得具體的幾何形狀,再通過求解幾何算式來求得工作空間[15]。
主動臂處于極限位置(βm=βmin和βm=βmax)時,連桿l3擺動至極限位置,生成可達空間的邊界,如圖3所示,而工作空間(靈活空間)是一個包含在邊界內的半徑R、高H的圓柱體,該圓柱體上端面距離驅動臂βm=0時高度為h,長度為2R。通過幾何分析[16],獲得以下方程:
(12)
圖3 Delta機構工作空間平面簡圖
末端執(zhí)行器的位置坐標約束在圓柱體內的工作空間中,z軸上的高度滿足條件h≤z≤h+H。為了使打印機在作業(yè)時能夠充分獲取工作空間的每一點并利用,可以使半徑R的實際值Rn在一定范圍內浮動,即R≤Rn≤1.1R,最后要求解出半徑R與機構的幾何尺寸的關系。根據(jù)并聯(lián)機構與作業(yè)工作空間的幾何關系得:
(l2cosβmax+l2)
(13)
本設計思路是在給出該并聯(lián)機構工作空間的這些參數(shù)即高度H、距離h、半徑R的情況下,進行機構本體幾何尺寸參數(shù)l1(RS-RT),l2,l3,αm以及主動臂擺角βmin和βmax的確定。
1) 直接Jacobi矩陣JD中任意2個及以上分量km(m=1,2,3)線性相關,即2個及以上連桿平行或共面;
2) 間接Jacobi矩陣JI中出現(xiàn)jm×km=0(m=1,2,3)時,即同一個運動支鏈中,主動臂與連桿平行。
為了讓機構極大程度地避免出現(xiàn)奇異位形的情況,主動臂擺角βmin和βmax需要限定范圍,βmax根據(jù)幾何尺寸確定,而βmin≥arcsin(l2-h/l1)。初步確定尺寸參數(shù)如表1所示。
表2 尺寸參數(shù)
已知RS=120 mm,RT=60 mm,l2=200 mm,l3=550 mm, 給定動平臺P的3組坐標,用Matlab程序求機構運動學反解的解。給出的3組坐標分別為(-300,300,500) (300,-300,500) (0,300,500)。
表3 運動學反解結果
將上述3組解代入Matlab的運動學正解計算公式中,可以求得P的3組坐標(300.010 7, 299.968 9, -500.016 5)(299.992 7, -299.992 1, -500.014 6)(-0,300.019 8, -499.985 4)。將z坐標的數(shù)正數(shù)化,圓整3組坐標后可以發(fā)現(xiàn)與給定的坐標是相符合的。
綜上可知,該機構的運動學正反解分析驗證成功。
影響3D打印精度的因素主要是機械本體結構與打印工藝的誤差,其中前者尤為關鍵。Delta并聯(lián)機構只有3個平移自由度,因此只有位置誤差是可以通過控制策略進行補償?shù)?,而姿態(tài)誤差只能通過提高制造和裝配的精度來減小。
忽略各驅動臂和各連桿的尺寸差異,將動平臺參考點P的位置(x,y,z)定義為3個主動臂關節(jié)變量β=[β1,β2,β3]T和l1、l2、l3的函數(shù)[8]:
(14)
將式(14)的全微分分解為控制參數(shù)與結構參數(shù)誤差兩部分,得到正解誤差模型:
(15)
將式(15)簡寫為:
dr=TAdβ+TCdL
(16)
其中:dr為動平臺輸出誤差;TA與TC分別為驅動參數(shù)誤差與構件制造誤差的傳遞矩陣; dβ與dL分別為驅動參數(shù)誤差與機構參數(shù)誤差。位置的逆解誤差模型可由式(16)變形得到:
(17)
在RecurDyn中導入各構件的X_T模型,通過約束“裝配”運動模型,利用Cmotion(G)定義打印機噴頭運動,由于打印機構只存在3個平動自由度,所以忽略關于姿態(tài)的定義RX、RY、RZ,只需設置X、Y、Z軸方向運動。課題組根據(jù)前期材料性能試驗,做了各種軌跡和參數(shù)的仿真,為直觀描述打印機構運動學性能,定義螺旋運動:
(18)
即:噴頭在初始位置(0, 0,z0)首先沿X軸方向以速度vx移動t0,然后以vxt0為半徑做空間螺旋運動,λ為螺旋運動的導程,軌跡如圖4所示。
圖4 打印軌跡
式(18)各參數(shù)可根據(jù)實際工藝過程定義。仿真時長和步數(shù)確定后,運行仿真就可以輸出相應結果。
選擇初始參數(shù)如表4所示。
表4 初始參數(shù)
利用RecurDyn中的IF函數(shù)描述式(18),在直線運動與螺旋運動轉換時,出現(xiàn)加速度突變,為避免出現(xiàn)剛性沖擊,改用STEP5函數(shù)描述式(18),仿真120 s,1 200步。圖5~7分別是動平臺的位移、速度、加速度曲線,可見無剛性沖擊出現(xiàn)。
由動平臺運動參數(shù)可以解算出驅動副,即3個主動臂的主動關節(jié)運動參數(shù),這些參數(shù)作為實現(xiàn)期望打印軌跡的控制變量。圖8所示為主動臂關節(jié)角變化曲線。
圖5 動平臺位置
圖6 動平臺速度
圖7 動平臺加速度
圖8 主動臂關節(jié)角
圖9則是主動臂關節(jié)角速度變化曲線,同樣是光滑無剛性沖擊,反映了與動平臺之間的映射關系。
圖9 主動臂關節(jié)角速度
圖10為主動臂關節(jié)角加速度變化曲線,在整個打印過程中,可以平滑無突變地過渡,與期望的基本一致。
圖10 主動臂關節(jié)角加速度
由仿真情況可知,在打印過程中噴頭的運動能夠無突變地過渡,在合理范圍內。
1) 針對基于Delta并聯(lián)機構的3D打印機,構建了基于向量運算的具有簡潔直觀形式的運動學模型,分析了動平臺與主動臂之間的位置、速度和加速度映射關系,并進行了正反運動學的驗證。
2) 利用虛擬樣機技術,對所設計3-PUU構型并聯(lián)3D打印機進行了規(guī)劃路徑運動學分析,直接得到分析結果,與繁瑣的符號運算實現(xiàn)了互補,為樣機開發(fā)提供了一種有效方便的分析方法。
3) 優(yōu)化了構型尺寸參數(shù),利用5次多項式插值方法優(yōu)化了打印軌跡,避免了出現(xiàn)剛性沖擊。