汪本旺 姚文建
【摘要】本文以2018年浙江高考17題為例,從三種思路淺談解析幾何中含參問題教學,思路一函數(shù)與方程,即利用消元法得到二次函數(shù)最值問題;思路二利用參數(shù)方程,即參數(shù)法解決本題最值問題;思路三利用仿射變換將橢圓化為圓,結合圓的性質和有關定理得到了結論。
【關鍵詞】題意理解 解法賞析 引申拓展 反思突破 教學價值
【中圖分類號】G633.63 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089(2019)02-0124-03
四、反思突破
1.關注基礎與通法
高中數(shù)學試題經(jīng)常以教材為背景,關注高中數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗。全面考查基礎知識,主干知識,重點知識,強調基礎落實,注重問題解決的通法,例如,本題考查橢圓中參數(shù)的取值范圍,本質上屬于直線與橢圓的位置關系問題,涉及直線方程、平面向量的運算、對勾函數(shù)和二次函數(shù)的性質等知識點,考查函數(shù)與方程的思想、轉化與劃歸的思想,屬于難題。
思路一函數(shù)方程思想:法1,韋達定理。根據(jù)題意可以分析,直線的斜率必然存在且不為零,于是可以設出直線的方程,然后代入橢圓的方程,整理得到韋達定理;根據(jù)平面向量的坐標運算得到坐標關系,由韋達定理轉化,并求出最值;最后根據(jù)最值求得參數(shù)的值。這種操作我們在教學中已經(jīng)討論了很多了,可見這便是圓錐曲線中的通法;法2,設點法。設出焦點坐標,并代入橢圓方程,得到相應關系,然后利用平面向量得出兩坐標的關系,再代入橢圓方程,與前面方程聯(lián)立得到目標函數(shù);最后對目標函數(shù)求最值,進而求得參數(shù)的值;法3,點差法。以坐標為切入點,向量問題轉化為坐標問題,利用消元法,得到關于參數(shù)的二次函數(shù)最值問題.值得說明的是,無論是韋達定理還是設點法或點差法,三者皆體現(xiàn)了設而不求、整體代換的思想,這是解析幾何的通性通法。
2.關注問題與轉化
轉化是數(shù)學問題解決的關鍵,問題的合理轉化體現(xiàn)了數(shù)學能力.化未知為已知,化復雜為簡單是基本轉化路徑,例如如何轉化本題中最值問題。我們知道,最值問題的求解形式主要有兩種:一是從幾何角度,利用圖形的幾何性質直接判斷;二是構建目標函數(shù),利用求函數(shù)最值的方法(如導數(shù)、基本不等式或配方)解決。其關鍵在于選擇一個便于表達目標的變量(如斜率、點坐標、參數(shù)等),難點是根據(jù)具體情境選擇適當方法求解最值問題。
3.關注變化與確定
數(shù)學中有些量是確定的,有些量是變化的,確定與變化是相對的,可以互相轉化。有些問題需要在變化中尋找不變量,也有些問題需要在不變中發(fā)現(xiàn)變化的軌跡,這樣才能抓住問題的本質,才能合理的解決問題。
4.關注思考與角度
數(shù)學問題千變萬化,不同的理解和認識會制定出不同的解決方案。所以,學習中要善于觀察、善于思考,這樣才能幫助我們找到合理的解決問題的途徑,拓寬我們的思路,培養(yǎng)我們分析問題和解決問題的能力。
五、教學價值
縱觀近幾年高考解析幾何試題,形式多變,但基本都是在運動變化過程中探究某些不變的性質與規(guī)律。對于這類運動變化問題,解題時要從已知出發(fā)深入探究產(chǎn)生運動變化的根源,從而確定從直線方程入手還是從點的坐標入手。只要我們抓住解析幾何的知識本質,遵循解題的基本規(guī)律,認真探究已知、結論的本質聯(lián)系,解題定會“柳暗花明”。
參考文獻:
[1]張星曄.解析幾何中參數(shù)取值范圍的常見求解策略[J].才智,2010(33):47-48.
作者簡介:
汪本旺(1985.10-),男,安徽東至人,中教一級教師,致力于高中數(shù)學教育教學。