基于EMD和小波包能量法的信號去噪

趙 超，楊慶東

(北京信息科技大學 機電工程學院，北京 100192)

0 引言

在機械設備復雜的工況環(huán)境中，噪聲對機械信號特征提取造成了嚴重障礙，信號去噪成為信號分析中的關鍵一步。Huang等[1]提出的經(jīng)驗模態(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)方法能對非平穩(wěn)信號進行自適應分解及平穩(wěn)化處理。該方法將信號分解成單分量成分，通過Hilbert變換揭示信號局部瞬時變化規(guī)律，具備自適應性強、多分辨率的特點，在地震信號、語音識別、軸承故障診斷[2]等方面得到廣泛應用。小波包分析是小波變換進一步細化的信號處理方法，具有多尺度分解的特性[3]，可有效克服小波分解在高頻段頻率分辨率及低頻段時間分辨率方面的局限性，且隨著小波包變換尺度增加，白噪聲能量急劇降低，小波包變換對白噪聲具備較強的抑制作用。小波包能量法用于信號降噪[4-7]，在水聲信號識別、礦山爆破等領域得到廣泛應用。

本文結合了EMD和小波包能量法的各自優(yōu)勢，提出了一種基于EMD和小波包能量法的信號去噪方法，并通過仿真實驗驗證了方法的有效性。

1 EMD理論

EMD信號分解算法根據(jù)信號自身的特點,自主地抽取信號內(nèi)在的固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function，IMF),是一種適用于分析非線性、非平穩(wěn)信號的方法[8]。在該算法中，抽取合格的IMF分量必須滿足2個條件:

1)IMF函數(shù)在整個時間范圍內(nèi)，局部極值點和過零點數(shù)目必須相等或者相差不超過1個;

2)在任意時刻點，局部上包絡線和下包絡線的平均值為零。

運用EMD方法對原始信號s(t)進行分解，具體步驟如下：

1)首先找出信號s(t)所有局部極大值點和極小值點；

2)通過三次樣條插值法分別將局部極大值點擬合形成數(shù)據(jù)的上包絡線，局部極小值點擬合形成數(shù)據(jù)的下包絡線；

3)將上一步得出的上包絡線和下包絡線進行求均值運算，得到m1(t)；

4)用信號s(t)減去平均包絡m1(t)得到新信號h10(t)。判斷h10(t)是否滿足合格IMF分量的2個條件，如果滿足，則h10(t)就是原始信號的一階IMF分量;若不滿足，則把h10(t)當作新的原始信號s(t)，重復上述4步，直到第k次后得到滿足條件的IMF 分量h1k(t)，則h1k(t)就是原始信號的一階IMF分量。將其定義為c1(t)=h1k(t)；

5)原始信號s(t)減去一階IMF分量c1(t)得到一個新信號r1(t)；

6)對r1(t)重復以上5步得到c2(t)和r2(t)，按照步驟對原始信號進行n次，得到n個IMF分量和一個殘余分量(res)rn(t)。當?shù)趎階IMF分量cn(t)或其殘余分量rn(t)小于預設值，或當殘余分量rn(t)是單調函數(shù)或常量時,信號分解過程停止。經(jīng)過分解后，原始信號可表示為

(1)

式中ci(t)為第i個IMF分量。

根據(jù)以上步驟可以看出，EMD分解方法能對非平穩(wěn)、非線性信號進行分解，具有自適應性。在“篩分”的過程中，消除了模態(tài)波形的疊加，使波形更加對稱，其本質是對信號進行平穩(wěn)化處理。

2 小波包能量法

小波包分解是比小波分解更精細的分解方法，不僅可分解信號高頻部分，也可分解信號低頻部分，克服了小波僅能對信號的低頻部分進一步分解的缺點，提高了時頻分辨率。圖1為經(jīng)過3層小波包分解的信號結構圖,圖2為白噪聲分量的能量圖。

圖1 小波包分解

圖2 白噪聲能量圖

從圖1和圖2可看出，隨著小波包變換層數(shù)的增加，白噪聲的能量會逐漸減小。運用小波包能量法對信號進行去噪[5]時，首先選定小波基和分解層數(shù)n，將信號進行n次小波包分解，在第n層得到2n個小波包，然后對其進行能量計算。能量定義為

(2)

式中：E(n,i)為在分解層數(shù)n上第i個節(jié)點的能量值；ps(j,n,k)為小波包變換系數(shù)。

信號經(jīng)過小波包n層分解后，求出第n層所有節(jié)點的能量值，選取能量值大的N個節(jié)點進行信號重構，得到重構信號s′(t)，當重構信號s′(t)和原始信號s(t)之間的均方誤差(MSE)數(shù)值最小時，實現(xiàn)最優(yōu)去噪。均方誤差定義為

(3)

綜上分析，小波包變換對信號的分析能力更強，具有比小波變換更精細的時頻局部化和多尺度分辨能力。小波包能量法對白噪聲具有抑制作用，在小波包分解過程中，小波包變換層數(shù)的增加使白噪聲能量迅速減小，能夠提高去噪效率。

3 EMD-小波包能量法去噪

結合EMD和小波包能量法的各自特點，本文提出了一種EMD-小波包能量法去噪方法。因為噪聲信號往往分布在高頻分量中，而低頻分量為信號的有效成分；因此，首先對信號進行EMD分解，得到從高頻到低頻排列的IMF分量和殘余分量rn(t)，之后，依據(jù)相關分析法判別前幾項高頻IMF分量是否存在噪聲[9]。其相關分析過程如下：

1)互相關分析

原始信號的白噪聲在分解前與原始信號的互相關為0，但在分解過程中白噪聲也隨之產(chǎn)生了變化，使IMF分量中的白噪聲與原始信號的互相關不再是0，但是相關性很小。根據(jù)互相關系數(shù)小于最大互相關系數(shù)的1/10來判斷IMF分量為噪聲分量[10]?；ハ嚓P系數(shù)為

Rs,ci(τ)=E[s(t)ci(t+τ)]

(4)

2)自相關分析

原始信號的白噪聲在零點處存在最大自相關，在其余點自相關為0。在EMD分解之后，IMF分量中的白噪聲在零點處仍存在最大自相關，其余點的自相關系數(shù)迅速衰減接近為0。IMF分量中一般信號的自相關系數(shù)在零點處取最大值,在非零點處并不一定為0,而是隨時間差τ的變化而變化，衰減速度慢，據(jù)此判斷IMF分量是否為噪聲分量。自相關系數(shù)為

Rci(τ)=E[ci(t)ci(t+τ)]

(5)

為了準確表現(xiàn)IMF分量在不同時刻取值的相關程度,使用歸一化自相關系數(shù),即

(6)

通過對前幾項高頻IMF分量進行相關分析，判別并去除噪聲分量，將剩余的IMF分量利用小波包能量法去噪，然后對去噪后的IMF分量進行信號重構，實現(xiàn)信號去噪。

EMD-小波包能量法去噪的具體步驟如下：

1)對帶有噪聲的原始信號s(t)進行EMD分解，得到從高頻到低頻依序排列的IMF分量和1個殘余分量rn(t)；

2)對IMF分量進行相關分析，根據(jù)相關系數(shù)大小，判定前幾個高頻分量是否為噪聲分量；

3)將確定為噪聲的IMF分量去掉，并將剩余的IMF分量分別進行小波包分解(最后一個IMF分量和殘余分量rn(t)就不需要進行小波包分解)。

4)對IMF分量小波包分解后的節(jié)點求其能量值，并求每個節(jié)點能量在分量總能量的占比。

6)將經(jīng)過小波包能量法去噪得到的IMF分量與最后未作處理的殘余分量rn(t)進行信號重構，得到去噪后的信號s′(t)。

4 仿真實驗

為了驗證EMD-小波包能量法的有效性，本文采用bumps作為原始信號，在此基礎上加入白噪聲，構成含躁信號，如圖3所示。

圖3 原始信號與含躁信號

圖4 信號EMD分解的IMF分量及殘余分量c1～c10、r10

對含躁信號進行EMD自適應分解，得到10個頻率從高到低的模態(tài)分量c1～c10和1個殘余分量r10，如圖4所示。對前3個高頻IMF分量進行相關分析，根據(jù)式(4)求其互相關系數(shù)如表1所示，根據(jù)式(5)、(6)求其歸一化自相關圖形如圖5所示。

表1 互相關系數(shù)

圖5 c1～c3分量的歸一化自相關系數(shù)圖

由表1看出IMF分量中的白噪聲與原始信號的互相關系數(shù)較小，c1、c2分量的互相關系數(shù)小于最大互相關系數(shù)的1/10，c3分量的互相關系數(shù)則大于最大互相關系數(shù)的1/10；由圖5看出，在零點處存在最大自相關，其余點的歸一化自相關系數(shù)迅速衰減接近0。c1和c2分量比c3分量的衰減速度快，綜上判斷c1和c2分量為噪聲分量。

對去掉噪聲分量后的IMF分量c1～c9進行小波包分解。本文采用db1小波基進行4層小波包分解，然后求出分解后每個節(jié)點的能量，并進行歸一化處理，如圖6所示。

圖6 IMF分量及其能量分布

根據(jù)能量圖，不同節(jié)點按照能量百分比進行排列，選取能量比重大的幾個節(jié)點進行信號重構，使重構信號與原始信號s(t)的均方誤差最小，因此選取前4個節(jié)點進行重構。

為了驗證EMD-小波包能量法去噪效果，我們分別用小波包能量、EMD和EMD-小波包能量法在同等條件下對原始信號s(t)進行去噪處理，結果如圖7所示。

圖7 3種去噪后的信號

可以看出，EMD-小波包能量法的去噪效果最好。一般評價去噪效果采用信號的信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)作為標準。

信噪比為

sSNR=10lg{∑x(t)2/∑[x(t)-s′(t)]2}

(7)

均方根誤差為

(8)

式中：x(t)為原始純凈信號；s′(t)為去噪后的信號；n為數(shù)據(jù)的長度。

分別對以上3種方法求其信噪比和均方根誤差，計算結果如表2所示。從表2可以看出，經(jīng)過EMD-小波包能量法去噪的信號，在信噪比和均方根誤差上都優(yōu)于其他2種去噪方法。

表2 去噪結果對比

5 結束語

為了去除信號中的白噪聲，本文提出了一種將EMD和小波包能量兩者結合的去噪方法。利用EMD將信號分解為IMF分量，去除噪聲分量，然后將剩余的IMF分量進行小波包能量去噪。本文提出的去噪方法可以有效去除白噪聲，便于信號特征提取。仿真結果表明，EMD-小波包能量法相較于EMD和小波包能量法，在信噪比和均方根誤差值方面均得到改善，能夠有效改善去噪效果，為機械信號特征提取提供了新的技術參考。由于本文的仿真實驗僅加入了高斯白噪聲，未涉及其他類型的噪聲，對其他類型噪聲的去噪效果需要進一步研究驗證。