粘性液體在毛細(xì)管中的流速與溫度特性研究

李明慧，高晶敏，劉仲馨

(北京信息科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192)

0 引言

水平均勻直圓管中粘性液體作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)體積流量與管子兩端的壓強(qiáng)差、管內(nèi)半徑、長(zhǎng)度以及液體動(dòng)力粘度存在一定的定量關(guān)系，該定量關(guān)系被稱(chēng)為泊肅葉定律[1-3]。液體運(yùn)動(dòng)粘度和密度決定液體動(dòng)力粘度。將管子兩端的壓強(qiáng)差看作廣義壓強(qiáng)差，泊肅葉定律在非水平均勻直圓管中同樣成立[3]。毛細(xì)管作為均勻直圓管的一種，在工程中有著十分廣泛的應(yīng)用[4-6]。在醫(yī)療輸液系統(tǒng)中，通過(guò)精確控制流經(jīng)毛細(xì)管粘性液體的流速可以提高輸液流速的精度。在毛細(xì)管流速控制的過(guò)程中，泊肅葉定律對(duì)毛細(xì)管的尺寸和流經(jīng)的粘性液體提出了一定的限制條件[7]。

在實(shí)際的毛細(xì)管流速控制系統(tǒng)中，分析流速與溫度的關(guān)系至關(guān)重要。溫度引起粘性液體的運(yùn)動(dòng)粘度和密度變化，從而改變液體的動(dòng)力粘度，改變液體的流速。因此，首先需要確定液體運(yùn)動(dòng)粘度和密度與溫度的關(guān)系，進(jìn)而建立液體動(dòng)力粘度與溫度的關(guān)系，為毛細(xì)管粘性液體的流速控制提供準(zhǔn)確的流速溫度關(guān)系模型。路陽(yáng)[7]研究了粘性液體在毛細(xì)管中運(yùn)動(dòng)時(shí)流速與管子結(jié)構(gòu)和動(dòng)力粘度的關(guān)系，但未探索溫度對(duì)流速的具體影響；周宏志[8]通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出原油的動(dòng)力粘度與溫度的數(shù)據(jù)，采用計(jì)算機(jī)技術(shù)擬合出粘溫系數(shù)，從而得出更加準(zhǔn)確的粘溫模型；李興虎等[9]研究了溫度和壓力對(duì)潤(rùn)滑油運(yùn)動(dòng)粘度的影響，給出了運(yùn)動(dòng)粘度與溫度的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式，并且表明常壓下，壓強(qiáng)對(duì)潤(rùn)滑油的運(yùn)動(dòng)粘度的影響可以忽略不計(jì)；董德浩等[10]研究了推土機(jī)箱用潤(rùn)滑油在40～100 ℃時(shí)運(yùn)動(dòng)粘度的變化，采用數(shù)值分析方法，提高了粘溫模型精度，為在線監(jiān)測(cè)實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)粘度提供理論依據(jù)。目前，只是研究了粘性液體的粘溫特性，不同溫度下粘性液體經(jīng)過(guò)毛細(xì)管時(shí)的流速特性還沒(méi)有定量關(guān)系式。

針對(duì)毛細(xì)管中的流速溫度特性，本文分析了粘性液體經(jīng)過(guò)毛細(xì)管時(shí)流速的多個(gè)影響因素。以低溫潤(rùn)滑油為粘性液體的樣品，研究了其在常壓下，溫度在0～40 ℃變化范圍時(shí)，潤(rùn)滑油運(yùn)動(dòng)粘度、密度和動(dòng)力粘度與溫度的關(guān)聯(lián)表達(dá)式，確立了液體經(jīng)過(guò)特定毛細(xì)管時(shí)流速與溫度的數(shù)學(xué)模型。結(jié)果表明，用Walther(b)方程描述低溫潤(rùn)滑油的運(yùn)動(dòng)粘度與溫度的關(guān)系更加精確，密度與溫度符合線性關(guān)系，動(dòng)力粘度與溫度成類(lèi)指數(shù)關(guān)系，低溫潤(rùn)滑油流速與溫度成一種非線性關(guān)系。研究結(jié)果為毛細(xì)管粘液流速控制進(jìn)行溫度補(bǔ)償提供了依據(jù)。

1 毛細(xì)管流速

在流體力學(xué)中，液體經(jīng)過(guò)毛細(xì)管的體積流量(又稱(chēng)流速)可以通過(guò)泊肅葉定律來(lái)反映，流速大小不僅與毛細(xì)管自身的結(jié)構(gòu)有關(guān)系，同樣與液體的性質(zhì)有關(guān)。粘性液體通過(guò)毛細(xì)管的流速為

(1)

式中：r為管內(nèi)半徑；L為管長(zhǎng)度；η為液體動(dòng)力粘度；ΔP為毛細(xì)管兩端的廣義壓強(qiáng)差。

式(1)成立需要滿足以下條件：①液體為不可壓縮的粘性流體；②液體的運(yùn)動(dòng)形式為層流，且各流層為勻速運(yùn)動(dòng)。層流條件使推導(dǎo)時(shí)可以應(yīng)用牛頓粘滯定律，各流層勻速運(yùn)動(dòng)滿足了流層受力平衡和粗細(xì)均勻流管中連續(xù)性原理的要求；③流管為無(wú)限長(zhǎng)圓管。無(wú)限長(zhǎng)假設(shè)就是管的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于管的內(nèi)徑，該假設(shè)可使流量計(jì)算中忽略邊緣效應(yīng)，直圓管假設(shè)保證流層形狀為圓管形。

動(dòng)力粘度η與運(yùn)動(dòng)粘度μ的關(guān)系為

η=μ×ρ

(2)

式中ρ為液體密度。

由式(1)知道，當(dāng)毛細(xì)管的管內(nèi)半徑、長(zhǎng)度和管兩端的廣義壓強(qiáng)差確定時(shí)，流量大小僅與液體的動(dòng)力粘度有關(guān)；由式(2)看出，動(dòng)力粘度與潤(rùn)滑油的運(yùn)動(dòng)粘度和密度存在密切關(guān)系。分析溫度對(duì)毛細(xì)管流速影響，首先需要確立潤(rùn)滑油運(yùn)動(dòng)粘度和密度與溫度的相互關(guān)系，進(jìn)而確定動(dòng)力粘度與溫度的表達(dá)式，最后計(jì)算出潤(rùn)滑油經(jīng)過(guò)毛細(xì)管時(shí)流速溫度模型，從而進(jìn)行流量控制。

2 潤(rùn)滑油運(yùn)動(dòng)粘度與溫度模型

目前，對(duì)于潤(rùn)滑油運(yùn)動(dòng)粘度與溫度的關(guān)系已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究，并且提出了許多粘溫模型。由于不同潤(rùn)滑油粘溫特性存在較大差別，建立本文使用的潤(rùn)滑油粘溫模型還是有著非常強(qiáng)的實(shí)際意義。目前，應(yīng)用最廣泛的粘溫關(guān)系式主要為Andrade方程[11]、Walther方程[12]、Vogel方程[13]3類(lèi)。

Andrade方程為

lnμ=A+BT-1+CT-2

(3)

式中：μ為油品運(yùn)動(dòng)粘度；T為溫度；A、B、C為油品相關(guān)系數(shù)。

該類(lèi)粘溫模型較為簡(jiǎn)單，計(jì)算精度略低。

Walther方程為

lglg(μ+0.8)=A+Blg(T+273.15)

(4a)

lglg(μ+C)=A+Blg(T+273.15)

(4b)

該方程根據(jù)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)得出，式(4a)的常數(shù)C直接取經(jīng)驗(yàn)值，式(4b)是通過(guò)回歸分析得出。從式(4a)可看出，測(cè)得2個(gè)溫度下的粘度值可以計(jì)算相關(guān)系數(shù)A和B，模型精度較低。本文采用多組溫度下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合相關(guān)系數(shù)A、B和C，從而提高模型精度。

Vogel方程為

lnμ=A+B/(T+C)

(5)

3 模型參數(shù)確定

3.1 低溫潤(rùn)滑油運(yùn)動(dòng)粘度與密度測(cè)定

潤(rùn)滑油的運(yùn)動(dòng)粘度測(cè)定采用毛細(xì)管法。在某恒定的溫度下，測(cè)定一定體積的液體在重力作用下流過(guò)一個(gè)經(jīng)標(biāo)定的玻璃毛細(xì)管粘度計(jì)的時(shí)間。這個(gè)時(shí)間與毛細(xì)管粘度計(jì)標(biāo)定常數(shù)的乘積即為該溫度下測(cè)試液體的運(yùn)動(dòng)粘度[14]。在運(yùn)動(dòng)粘度測(cè)定過(guò)程中，首先需要保證潤(rùn)滑油的溫度精度控制在±0.05 ℃；其次，確保潤(rùn)滑油在毛細(xì)管粘度計(jì)的流動(dòng)時(shí)間在200～500 s之間。

潤(rùn)滑油運(yùn)動(dòng)粘度的測(cè)定按國(guó)家規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。溫度控制儀器選擇恒溫恒濕試驗(yàn)箱。根據(jù)油品特性選擇3種規(guī)格的毛細(xì)管粘度計(jì)。本文作者分別測(cè)量了低溫潤(rùn)滑油在0、5、10、15、20、25、30、35、40 ℃下的運(yùn)動(dòng)粘度，如表1所示。

表1 不同溫度下低溫潤(rùn)滑油的運(yùn)動(dòng)粘度和密度

表2 粘溫模型擬合參數(shù)A、B、C及其擬合結(jié)果

目前，密度的測(cè)量方法主要有密度計(jì)法、比重瓶法及U型振動(dòng)管法[15]，在溫度0～40 ℃范圍內(nèi)變化時(shí)，潤(rùn)滑油的密度會(huì)發(fā)生變化。本文作者采用密度計(jì)法測(cè)量出0、5、10、15、20、25、30、35、40 ℃下低溫潤(rùn)滑油的密度大小，如表1所示。

3.2 低溫潤(rùn)滑油運(yùn)動(dòng)粘度與溫度模型參數(shù)確定

為了得到低溫潤(rùn)滑油精確的粘溫模型，采用Andrade方程、Walther方程和Vogel方程對(duì)表1數(shù)據(jù)用數(shù)值分析方法進(jìn)行擬合處理，擬合關(guān)系曲線如圖1所示。

粘溫模型的相關(guān)系數(shù)通過(guò)MATLAB采用最小二乘法進(jìn)行回歸分析。模型優(yōu)劣的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)分別為模型計(jì)算得到的運(yùn)動(dòng)粘度與實(shí)驗(yàn)粘度的平均偏差r、擬合后的標(biāo)準(zhǔn)差δ和曲線擬合度R2。上述3類(lèi)粘溫模型的擬合參數(shù)及擬合結(jié)果如表2所示。

從表2中可以看出，Walther(b)方程的擬合度最好，為0.999 3；Walther(b)方程的平均偏差和擬合后標(biāo)準(zhǔn)偏差均為最小。Walther(b)粘溫方程適合表征低溫潤(rùn)滑油的粘溫特性，計(jì)算精度更高。

3.3 低溫潤(rùn)滑油密度與溫度模型參數(shù)確定

潤(rùn)滑油密度與溫度的關(guān)系為

ρ=m+nT

(6)

式中：m、n為潤(rùn)滑油擬合系數(shù)。 采用MATLAB利用最小二乘法擬合表1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合度為R2為0.999 3，平均偏差d為0.080 6，求得低溫潤(rùn)滑油密度與溫度關(guān)系式(6)中的系數(shù)m為905.2 2，系數(shù)n為-0.61，擬合曲線如圖2所示。

圖1 四種粘溫方程的擬合曲線

圖2 密度與溫度擬合曲線

將所求出的m、n的值代入式(6)計(jì)算出，低溫潤(rùn)滑油密度與溫度方程為

ρ=905.22-0.61T

(7)

3.4 低溫潤(rùn)滑油動(dòng)力粘度與溫度關(guān)系確定

將表2中的擬合參數(shù)代入式(4b)計(jì)算出，運(yùn)動(dòng)粘度與溫度模型為

lglg(μ-5.9717)=8.5355-3.3015lg(T+273.15)

(8)

由式(7)計(jì)算出式(2)中的變量ρ，由式(8)計(jì)算出式(2)中的變量μ，將變量μ和ρ代入式(2)計(jì)算出低溫潤(rùn)滑油動(dòng)力粘度為

η=

(9)

選取溫度變化范圍為0～40 ℃，利用式(9)通過(guò)MATLAB擬合出動(dòng)力粘度與溫度的關(guān)系曲線如圖3所示。

圖3 動(dòng)力粘度與溫度的關(guān)系曲線

從圖3可以看出，溫度在0～15 ℃區(qū)間內(nèi)動(dòng)力粘度隨溫度變化較快，15～40 ℃區(qū)間內(nèi)動(dòng)力粘度隨溫度變化平穩(wěn)。

4 毛細(xì)管流速控制溫度實(shí)時(shí)補(bǔ)償

4.1 毛細(xì)管流速溫度模型建立

由式(1)可知，毛細(xì)管管內(nèi)半徑、管長(zhǎng)度和管兩端壓強(qiáng)差一定時(shí)，潤(rùn)滑油通過(guò)毛細(xì)管的流速與潤(rùn)滑油動(dòng)力粘度成反比；由式(9)可知，潤(rùn)滑油動(dòng)力粘度與溫度成類(lèi)指數(shù)關(guān)系。通過(guò)式(9)計(jì)算出式(1)中的變量η，設(shè)毛細(xì)管管長(zhǎng)L=10 cm，管內(nèi)半徑r=1 mm，將變量η、L和r代入式(1)計(jì)算出，低溫潤(rùn)滑油通過(guò)毛細(xì)管的流速為

Q=

(10)

4.2 毛細(xì)管流速溫度實(shí)時(shí)補(bǔ)償

由式(10)可知，當(dāng)毛細(xì)管的幾何尺寸確定時(shí)，低溫潤(rùn)滑油通過(guò)毛細(xì)管的流速可以寫(xiě)為

Q=f(K，ΔP，T)

(11)

式中：T為溫度；ΔP為壓強(qiáng)。

5 結(jié)束語(yǔ)

為提高粘性液體在毛細(xì)管中的流速控制精度，本文分析了低溫潤(rùn)滑油經(jīng)過(guò)毛細(xì)管的流速與溫度特性。首先確定了低溫潤(rùn)滑油運(yùn)動(dòng)粘度與溫度的Walther(b)模型，建立了密度與溫度的線性關(guān)系，進(jìn)而建立了低溫潤(rùn)滑油動(dòng)力粘度與溫度的類(lèi)指數(shù)模型。通過(guò)0～40 ℃的溫度試驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合得到低溫潤(rùn)滑油動(dòng)力粘度與溫度的模型中的參數(shù)，進(jìn)而確立了低溫潤(rùn)滑油通過(guò)毛細(xì)管時(shí)流速與溫度的非線性關(guān)系。采用流速溫度模型，對(duì)毛細(xì)管流速控制進(jìn)行溫度實(shí)時(shí)補(bǔ)償。