論向量在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

■江蘇省宿遷中學(xué) 蔣 健

高中數(shù)學(xué)試題復(fù)雜多變，應(yīng)用向量的幾何、坐標(biāo)運(yùn)算以及相關(guān)性質(zhì)，對數(shù)學(xué)試題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可大大降低解題難度，使學(xué)生迅速找到解題突破口，提高解題正確性，幫助其樹立良好的解題自信，因此，授課中應(yīng)做好數(shù)學(xué)試題匯總，向?qū)W生展示向量在解題中的應(yīng)用，提高學(xué)生向量應(yīng)用意識，使其牢固掌握、靈活應(yīng)用這一重要的解題工具。

一、向量用于解答最值試題

求解最值是高中數(shù)學(xué)最為常見的一種題型，解題方法多種多樣，可應(yīng)用均值不等式、函數(shù)、向量法求解，其中向量可化抽象為具體，不僅有助于理解題意，而且還能簡化解題步驟，及時(shí)解出正確結(jié)果。

授課中為使學(xué)生認(rèn)識到向量法在解答最值問題中的妙用，掌握向量解題的技巧，應(yīng)優(yōu)選經(jīng)典例題，為其詳細(xì)板書解題過程，給其解答類似習(xí)題，提供良好指引。

例1，已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，則a2+4b2+9c2的最小值為______。

很多學(xué)生看到該題目采用不等式知識求解，但多數(shù)無功而返，部分學(xué)生雖然得出正確結(jié)果，但花費(fèi)時(shí)間較多，代價(jià)太大，在測試中是不可取的。授課中，可引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察已知條件以及要解決的問題，聯(lián)想所學(xué)的向量知識，應(yīng)用向量方法解答。

解題中可設(shè)m=（1，1，1），n=（a，2b，3c），根據(jù)向量 性 質(zhì)m · n≤|m| · |n|，可 得

該題從向量角度入手，巧妙運(yùn)用向量性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，經(jīng)過簡單計(jì)算便得出正確結(jié)果，解法新穎，使學(xué)生眼前一亮，使其掌握解答最值問題的又一重要思路，很好地鍛煉其解題思維，獲得預(yù)期教學(xué)效果。

二、向量用于解答三角形試題

解三角形是高考常考題型，占有較高分值，通常應(yīng)用正弦、余弦定理進(jìn)行求解。但部分試題應(yīng)用向量知識，可獲得事半功倍的良好效果，因此，授課中應(yīng)注重講解三角形相關(guān)知識的向量表示，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建三角形與向量之間的關(guān)系。另外，創(chuàng)設(shè)相關(guān)問題情境，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用向量法解答，并做好向量法解題的總結(jié)與反思，提高三角形試題解題效率。

例2，在△ABC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，若則△ABC 最小角的正弦值為：____。

觀察可知，因題干中給出有關(guān)向量的已知條件，因此，學(xué)生不難想到應(yīng)用向量法解答。解答該題目的關(guān)鍵在于靈活轉(zhuǎn)化給出的等式關(guān)系，確定三角形的最小角，而后運(yùn)用余弦定理進(jìn)行求解，具體解題過程如下：

在解答該題目中，部分學(xué)生盲目求解，未搞清楚最小角便急于計(jì)算，結(jié)果走不少彎路。通過該題目的解答，可使學(xué)生深刻地認(rèn)識到向量的工具性以及在解答三角形試題中的重要性，很好地提高其應(yīng)用向量解答三角形試題的意識，為其順利、高效解題奠定良好基礎(chǔ)。

三、向量用于解答立體幾何試題

立體幾何涉及的知識較多，對學(xué)生的空間想象能力要求較高。解答立體幾何試題有常規(guī)方法和向量方法，其中向量方法只要找到相關(guān)點(diǎn)的空間坐標(biāo)，借助空間向量知識求解即可，對空間想象能力不好的學(xué)生而言是一種重要解題方法。授課中為使學(xué)生牢固這一方法，應(yīng)注重相關(guān)例題的講解，提高學(xué)生空間向量的應(yīng)用方法與技巧，靈活用于解答各類立體幾何試題。

例3，如圖1，四棱錐P-ABCD 中，底面為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，點(diǎn)M 在PC 上，試確定點(diǎn)M的位置，使得BP⊥面ADM。

圖1

圖2

分析可知，該題目中存在三條邊垂直的情況，因此，可考慮采用向量法求解。以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB、AD、AP 三條邊為x、y、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示。則P（0，0，1），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），設(shè)M（a，b，c），∵M(jìn) 在PC 上，則令1），即，（a，b，c-1）=λ（2，1，-1），則M（2λ，λ，1-λ），要想滿足BP⊥面ADM，則，則，可知M在靠近點(diǎn)P，CP線段的五等分點(diǎn)上。

在立體幾何試題中確定點(diǎn)的坐標(biāo)難度較大，采用常規(guī)做法多數(shù)學(xué)生不知如何下手，而使用向量，將其轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的形式，問題便迎刃而解。

四、向量用于解答解析幾何試題

高中數(shù)學(xué)中解析幾何試題以計(jì)算煩瑣、難度大而著稱，是各類測試的重要失分題型，因此，授課中為提高解析幾何試題的正確性，除為學(xué)生講解常規(guī)解題方法，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生具備靈活應(yīng)用所學(xué)的意識，即用好向量這一重要解題工具。以經(jīng)典題型為例，與學(xué)生一起分析，采用向量知識尋找解題突破口，使學(xué)生認(rèn)識到向量在解答解析幾何試題中的便捷性。

例4，如圖3，橢圓的中點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，A1、A2、B1、B2為橢圓的頂點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，延長B1F2和A2B2交于點(diǎn)P，若∠B1PB2為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍為：______。

圖3

解答該題的關(guān)鍵在于怎樣正確運(yùn)用“∠B1PB2為鈍角”這一條件。根據(jù)所學(xué)知識不難想到運(yùn)用向量知識可表示出鈍角這一條件，即，借助對應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系便可求解。

由已知條件可知A2（a，0），B2（0，b），F(xiàn)2（c，0），B1

解答解析幾何試題時(shí)，能夠讀懂，正確利用已知條件是關(guān)鍵。通常將已知條件轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)求解。正如本題，使用向量之間的關(guān)系表示鈍角，很快找到解題突破口。

五、結(jié)語

向量與高中數(shù)學(xué)其他知識點(diǎn)聯(lián)系緊密，在解題中應(yīng)用廣泛，可顯著提高解題質(zhì)量與效率，因此，授課中應(yīng)做好高中數(shù)學(xué)試題總結(jié)，明確能應(yīng)用向量解題的題型，尤其針對不同題型優(yōu)選經(jīng)典習(xí)題，講解向量在解題中的具體應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)，反思解題過程，掌握向量解題的技巧，不斷提高解題水平與解題能力。