導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的常見錯誤

郭倩

摘 要：導(dǎo)數(shù)是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的知識點(diǎn)，通過對導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，不僅能夠強(qiáng)化我們的函數(shù)學(xué)習(xí)，而且能夠讓我們對于數(shù)學(xué)知識更加融會貫通，能夠讓我們的數(shù)學(xué)邏輯能力得以夯實(shí)提升。但是，我們在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)過程中也常會出現(xiàn)錯誤，避免這些錯誤出現(xiàn)，并探索更好的解題策略，才能夠讓我們的學(xué)習(xí)質(zhì)量得以提升?；诖?，本文就導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的常見錯誤進(jìn)行分析，希望可以為大家的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)提供借鑒。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 常見錯誤 分析研究

中圖分類號：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9082（2019）01-0-01

前言

導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)綜合知識分析的重要路徑，是我們進(jìn)行函數(shù)學(xué)習(xí)的重要條件，只有強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的掌握和應(yīng)用，才能夠讓我們的數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)能力得以提升。導(dǎo)數(shù)因?yàn)槠涮刭|(zhì)，我們在做題過程中極易出現(xiàn)錯誤，做好常見錯誤分析，是學(xué)好導(dǎo)數(shù)的重要策略。

一、導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)重要性

導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個(gè)基礎(chǔ)概念，也是函數(shù)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率，如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)函數(shù)所代表的曲線在這一切點(diǎn)上的切線斜率，不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，一個(gè)函數(shù)也不一定在所有的點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù)，如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)上存在導(dǎo)數(shù)，那么就稱其為函數(shù)可導(dǎo)，如果不存在則為不可導(dǎo)函數(shù)，但是可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的，不連續(xù)的函數(shù)一定是不可導(dǎo)的。簡單點(diǎn)說，導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的斜率。導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程中非常重要的知識，我們可以通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義去求函數(shù)的切線方程，然后我們再通過導(dǎo)數(shù)的計(jì)算求出函數(shù)的極限。除此之外，還可以通過導(dǎo)數(shù)的結(jié)果來判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)課程中是非常重要的。

二、例題分析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的常見錯誤

導(dǎo)數(shù)作為一種函數(shù)的求導(dǎo)工具，在解決實(shí)際數(shù)學(xué)的問題上非常方便，尤其是當(dāng)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值和切線的方程式時(shí)。雖然導(dǎo)數(shù)很實(shí)用，但是我們在現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用還存在著許多常見的錯誤，那么接下來我們就通過以下實(shí)例分析學(xué)習(xí)中的常見錯誤。

1.對函數(shù)的定義理解不清導(dǎo)致錯誤

例題1：已知函數(shù)，則

通常情況下，當(dāng)我們遇到這種問題的時(shí)候，我們常會采用的計(jì)算方式就是通過得出原式=或者，其實(shí)這樣想是錯誤的，這道題的關(guān)鍵就是要認(rèn)清導(dǎo)數(shù)定義中的△x和△y的變化多樣性，正確的解答方式應(yīng)該是：

這個(gè)式子中，函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)，也就是在這一點(diǎn)上函數(shù)值的增量和自變量的增量的比值在自變量的增量接近0的時(shí)候的極限值，分子分母中的自變量的增量△x一定要保持相應(yīng)的一致，所以它一定要是非0的變量。在導(dǎo)數(shù)的函數(shù)中，我們一定要特別注意△x和△y對應(yīng)性變化，必須保持他們變化一致多樣性，但是無論在哪種函數(shù)變化過程中，我們都要突現(xiàn)出他們之間的一致性。

2.對連續(xù)和可導(dǎo)的定義理解不清導(dǎo)致錯誤

例題2：函數(shù)在處，可導(dǎo)式函數(shù)是處連續(xù)的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

在這道題中，我們經(jīng)常會覺得連續(xù)和可導(dǎo)是同一個(gè)概念，大部分學(xué)生就會選擇C選項(xiàng)，還有一種錯誤的想法就是對充分條件和必要條件兩個(gè)概念混淆不清，導(dǎo)致也有一部分學(xué)生會選擇B選項(xiàng)，若想避開這道選題的錯誤，首先要理清充分條件和必要條件的概念，函數(shù)在處雖然連續(xù)但不一定可導(dǎo)。

3.對為極值的充要條件理解不清楚而導(dǎo)致錯誤

例題3：函數(shù)在處有極值10，求a、b的值。

在這道例題中，根據(jù)題意我們會覺得x=1處的時(shí)候有極值，=0并且=10，求解可以得出a=4，b=-11或者a=-3，b=3，這種解法就是錯誤的將為極值的必要條件當(dāng)成了充要條件，為極值的充要條件就是=0并且在附近兩處的符號相反。所以在這道題目中，我們一定要加上這句話，將得出的結(jié)果帶入原式中，當(dāng)a=4，b=-11時(shí)恰好符號相反，符合該題的條件，將a=-3，b=3帶入到原式中的符號相同，所以應(yīng)當(dāng)舍棄該答案，最終的結(jié)果只有a=4，b=-11。

4.對函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考慮不全而導(dǎo)致錯誤

例題4：求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。

在這道選題中，我們多會根據(jù)題意得出，所以x?-2x+1>0，求得x≠1，又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是（0，+∞），所以需要求的是單調(diào)遞增區(qū)間就是（0，1）和（1，+∞）。這樣解決的錯誤之處就是忽略了x=1處的函數(shù)是否連續(xù)，在這里顯然是連續(xù)的，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間應(yīng)該是（0，+∞），以后遇到這類問題，應(yīng)該就大于0和小于0之間的斷開點(diǎn)的連續(xù)性多做研究，確定之后再下結(jié)論。

5.沒有考慮到函數(shù)在某一點(diǎn)不可導(dǎo)而導(dǎo)致的錯誤

例題5：求在[-1，3]上的最大值和最小值。

在這道題目中我們經(jīng)常會忽略掉函數(shù)在某一點(diǎn)不可導(dǎo)的知識點(diǎn)，其實(shí)函數(shù)的最值不是只在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)求得，而在不可導(dǎo)點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)處也可以獲得，所以一定要在求得的結(jié)果后邊加上一句話，那就是在定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點(diǎn)為x1=0，x2=2。

結(jié)語

通過以上例題的分析可以發(fā)現(xiàn)，我們在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)應(yīng)用過程中常發(fā)生的一些錯誤，一部分是因?yàn)閷忣}不明，一部分是因?yàn)樗紤]不周，還有一部分是因?yàn)槲覀儗τ趯?dǎo)數(shù)的理解不夠深刻。這就要求我們在學(xué)習(xí)中要不斷強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，通過習(xí)題的練習(xí)，多渠道的強(qiáng)化，達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果，為我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及綜合能力的提升和發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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