關(guān)于實變函數(shù)教學的幾點注記

摘 要：實變函數(shù)是高等院校數(shù)學類專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課，在本課程的教學過程中開展研究式教學，可以充分調(diào)動學生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的積極性和主動性，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和科研意識。本文對實變函數(shù)課程教學方法進行研究與探索。

關(guān)鍵詞：研究式教學;實變函數(shù);應(yīng)用

實變函數(shù)數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學，統(tǒng)計學專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課之一。一方面是數(shù)學分析理論的深化和延續(xù)，另一方面是泛函分析，F(xiàn)ourier分析，概率論，分形幾何，偏微分方程和調(diào)和分析等后繼專業(yè)課程的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學生數(shù)學思維、提升專業(yè)素質(zhì)的鑰匙，因此實變函數(shù)課程教學的成功與否對數(shù)學類專業(yè)學生的數(shù)學思維和數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)及提高有著非常重要的作用。[1-5]由于實變函數(shù)本身具有較高的理論性和抽象性，知識內(nèi)容偏難，傳統(tǒng)教學模式更加注重依照教材內(nèi)容和教學大綱完成既定的教學任務(wù)和計劃，偏重于課程本身的理論和知識的講授和解答，而忽略了知識的應(yīng)用以及不同知識之間的聯(lián)系，導(dǎo)致了學生對學習實變函數(shù)的恐懼，覺得怎么學也學不會的消極現(xiàn)象。

我們認為在實變函數(shù)教學上開展研究式教學是一種非常好的途徑，它不僅可以改變目前學生被動學習的方式，還可以充分調(diào)動學生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的積極性和主動性，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和科研意識。

1 實變函數(shù)教學過程中應(yīng)注意的幾點

下面我們結(jié)合教學實踐、實變函數(shù)課程教學過程中應(yīng)該注意的幾點進行討論。

1.1 講清楚集合概念的基本知識

實變函數(shù)可能是所有本科數(shù)學課程中介紹集合論最為詳細的課程，其他課程只介紹一些簡單的概念，實變函數(shù)則用了相當?shù)钠鶃斫榻B集合論的基本內(nèi)容，在詳細介紹集合論之前，講授者有必要對集合論的前世今生做一個簡單的介紹，因為集合論雖然成了現(xiàn)代數(shù)學的基石，但存在的問題迄今并未得到很好的解決。

對學生而言，集合論中出現(xiàn)的第一個陌生概念是集合序列的極限，有兩個問題常常是教師沒有交代清楚的：

（1）為什么要定義集合序列的極限？

（2）為什么要如此這般定義集合序列的極限？

要說清楚第一個問題，教師自己需要清楚實變函數(shù)的思維特征以及學習實變函數(shù)的關(guān)鍵是什么？從可測函數(shù)的定義可以看出，我們常常是把函數(shù)的某種性質(zhì)用集合的語言表達出來，有時也需要反過來做。而分析學的靈魂則是極限，如何將函數(shù)序列的極限概念轉(zhuǎn)換為集合的語言顯然是個需要考慮的問題，于是集合序列的極限概念應(yīng)運而生。

1.2 講清楚測度概念的本質(zhì)

作為實變函數(shù)的準備知識，集合概念介紹完了以后開始講實變函數(shù)的重要內(nèi)容測度論。實變函數(shù)的主要研究對象是可測函數(shù)，而函數(shù)的可測性定義在集合的可測性之上，因此集合的測度概念至關(guān)重要。

測度概念可以追溯到面積問題。而面積概念的最早推廣是關(guān)于集合的“容量”，研究“容量”的代表性人物包括Jordon（若當）以及Borel（博雷爾），然而Lebesgue（勒貝革）測度的出現(xiàn)取代了十九世紀幾乎所有的工作，其中也包括他的導(dǎo)師Borel的工作。不過Lebesgue測度并非測度論的終極，還有很多測度。事實上，如果沒有更一般意義上的公理化測度，我們就很難把概率論與測度論相聯(lián)系，概率論也就難以在數(shù)學上找到強大的理論基礎(chǔ)。

老師講課的時候不要從概念到概念，而更多注重概念的來龍去脈的闡述以及如何啟發(fā)學生學會探索從而建立一個新的概念。測度作為區(qū)間“長度”、區(qū)域“面積”、立體“體積”概念的推廣，當然不能脫離了這些原型去講，否則學生學到的也只是具體的知識，而不學到發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造能力。鑒于在課程的引言中老師已經(jīng)交代清楚了為什么要定義一般集合的“長度”，所以老師在測度這一章節(jié)無需在這個問題上過多糾纏。

1.3 恰當運用類比教學法

介紹外測度定義的時候，外測度定義方法跟曲邊梯形面積的定義方法進行比較。定義曲邊梯形的面積的時候，分別用若干小矩形從外面包住曲邊梯形，同時用另一些小的矩形從里面盡量填滿曲邊梯形，隨著分割的加細，如果內(nèi)外小矩形面積之和趨于同一個值，就把這個極限稱為對應(yīng)函數(shù)的定積分（曲邊梯形的面積）。這種想法推廣到一般的集合，用“矩形”從外面包住一個集合并不難，難的是集合的“內(nèi)部”未必包含任何“矩形”。由此可見，我們第一步只能考慮從外部逼近，即用一些小“開矩形”的并包住一個給定的集合。取包住一個給定集合的小“開矩形”之并的面積的最小就得到外測度定義。

介紹Lebesgue積分的時候，Lebesgue積分思想跟Riemann積分思想進行比較。Riemann定積分是怎么定義的，那里是將函數(shù)的定義域作分割，而Lebesgue積分是將函數(shù)的值域作分割的。

函數(shù)列的一致收斂性的重要性是不言而喻的，一個函數(shù)列一旦一致收斂，積分與極限的交換順序問題、求導(dǎo)與極限的交換順序問題以及級數(shù)的求和問題都變得簡單了。解決從處處收斂得到一致收斂的定理就是葉果洛夫定理。講解葉果洛夫定理的條件時，讓學生回顧函數(shù)列xn在開區(qū)間（0，1）內(nèi)非一致收斂，而挖掉很小數(shù)δ>0后的區(qū)間（0，1-δ]上一致收斂。

還要讓學生明白如何用集合的語言描述函數(shù)或函數(shù)列的性質(zhì)，讓學生掌握好在集合的語言與分析的語言之間相互轉(zhuǎn)換。

2 結(jié)語

許多人眼里實變函數(shù)課程是一門高度抽象，很難學，很難教的一門課程，然而我們應(yīng)該正確地認識，對待數(shù)學的這種抽象性。作為講課老師，我們要用通俗易懂的語言來解釋那些抽象的概念，幫助學生克服害怕抽象的心理。

參考文獻：

[1]曹廣福.實變函數(shù)與泛函分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]江澤堅，吳志泉.實變函數(shù)論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]周民強.實變函數(shù)論[M].北京：北京大學出版社，2001.

[4]張曉嵐.實變函數(shù)與泛函分析簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]鄧東皋，常心怡.實變函數(shù)簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2005.

基金項目：本文由喀什大學教研教改項目（KJDY1802）資助

作者簡介：買買提艾力·喀迪爾（1984-），男，新疆疏附縣人，博士，講師，研究方向：Fourier分析、分形幾何和譜測度理論。