賀明
摘 要:數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是有效將直觀圖形與數(shù)學(xué)語言相結(jié)合,令形象思維與抽象思維相融合,從而通過數(shù)形轉(zhuǎn)化以及圖形認(rèn)識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的形象性思維,進(jìn)而使得復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變的簡單化,抽象的數(shù)學(xué)問題趨向于具體化??梢哉f,數(shù)形結(jié)合能揚(yáng)數(shù)之長,取形之優(yōu),使得數(shù)形珠聯(lián)璧合、相映生輝。因此初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師要適時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想,從而使得學(xué)生有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。
關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);課堂教學(xué)
數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)科目中一種極其重要的科學(xué)方法,其既能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神,又能夠發(fā)散學(xué)生的思維,還能夠提升學(xué)生的解題能力。因此,教師不妨巧用數(shù)形結(jié)合思想,優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)過程,提升教學(xué)質(zhì)量。
一、引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方式有效解決幾何問題
用代數(shù)方式有效解決幾何問題,就是用數(shù)的方式解決圖形的問題。如圖形的周長、面積或者其他的相關(guān)性質(zhì),都可以通過代數(shù)方式解決。
如這道例題:已知三角形ABC的三邊分別為m2-n2,2mn,m2+n2,其中m,n均為正整數(shù),且m>n,求三角形ABC的面積。(用含有m、n的代數(shù)式表示)圖形的面積是一個(gè)幾何問題,一般而言,要想求出三角形的面積,就要知道三角形的底和高,然后通過底乘以高除以2的公式得出三角形的面積。但是在上述題目中,我們顯然無法知道三角形的底和高,因?yàn)轭}目中就給出了三角形的三個(gè)邊長。通過三個(gè)邊長這個(gè)已知條件,學(xué)生有可能就會(huì)想到,如果這三條邊滿足a2+b2=c2,那么就說明這個(gè)三角形是直角三角形,兩條直角邊就是三角形的底和高,進(jìn)而就能求出三角形的面積。所以我們可以展開數(shù)的變形計(jì)算:(m2-n2)2+(2mn)2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2,其滿足直角三角形的三邊關(guān)系,所以三角形ABC的面積就是(m2-n2)×2mn,化簡后就是m3n-mn3。
以數(shù)助形的題目還有很多,如證明圓內(nèi)接矩形中正方形的面積最大。這個(gè)幾何證明題目,如果用幾何作圖的方式證明,就很難找到證明的突破口。但是如果用代數(shù)中求最值的方法來證明,則比較容易。學(xué)生可以通過圓半徑r與矩形邊長x,表示出矩形的鄰邊長,進(jìn)而矩形的面積就是矩形邊長乘以矩形鄰邊長,求其最大值,就是圓內(nèi)接矩形的最大面積。
二、引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決具體問題
實(shí)際生活中的很多數(shù)學(xué)問題,都可以通過數(shù)形結(jié)合的思想加以解決。而且數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終,只是很多學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)沒有意識(shí)到。如在小學(xué)低年級(jí)階段,經(jīng)常會(huì)有這樣的題目:小明家住在幾樓,小明家以下有幾層樓,以上有幾層樓,小明家所在單元樓總共有幾層。如果學(xué)生能夠通過作圖的方式,就很容易計(jì)算出總體的樓層數(shù)。小學(xué)高年級(jí)遇到的植樹問題,在總長多少的道路上,每隔多少米植一棵樹等,也可以通過作圖的方式解決。
到了初中,當(dāng)然也會(huì)遇到需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學(xué)問題,比較有代表性的應(yīng)用題目就是路程中的相遇問題,某人或者某車從兩地相向而行,多長時(shí)間相遇,然后求速度或者路程。這種類型的題目也能夠通過作圖的方式快速解決,因?yàn)閳D形會(huì)幫助學(xué)生一目了然地了解其中的數(shù)量關(guān)系。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)活動(dòng)中進(jìn)行總結(jié)歸納,把所有適用于數(shù)形結(jié)合思想的題目總結(jié)到一起,進(jìn)而快速解決。
三、引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形理解數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)定理
數(shù)學(xué)科目中會(huì)涉及大量的概念和定理,有些概念法則是通過推導(dǎo)得來的,有些概念法則是在長期的數(shù)學(xué)發(fā)展中約定俗成的,還有些概念法則與圖形有著密切的聯(lián)系。所以,在引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念法則時(shí),教師不妨通過作圖的形式,從而讓學(xué)生知其然也知其所以然。
首先是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)軸理解實(shí)數(shù)的相關(guān)概念。何為實(shí)數(shù)?有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù),數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。那么什么是相反數(shù)呢?表示在數(shù)軸上就是到數(shù)軸原點(diǎn)距離相等的數(shù),與此同時(shí),學(xué)生也會(huì)理解絕對(duì)值的意義,絕對(duì)值就是距離,所以無論是正數(shù)還是負(fù)數(shù),他們的絕對(duì)值都是正數(shù),因?yàn)橹挥姓龜?shù)才能表示某一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離??梢哉f,一個(gè)數(shù)軸,就能幫助深刻理解實(shí)數(shù)、相反數(shù)以及絕對(duì)值等概念的意義。而且在數(shù)軸上,數(shù)的大小關(guān)系一目了然,所以學(xué)生在比較負(fù)數(shù)的大小時(shí),就更能清楚其中的意義。
其次是函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。如一次函數(shù)的斜率,表示在函數(shù)圖像上就是直線的傾斜程度。如一次函數(shù)的截距,其意義就是一次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。如二次函數(shù)的對(duì)稱軸,就是函數(shù)圖像處于最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的與x軸垂直的直線。
再次,方程與函數(shù)也有著一定的聯(lián)系。二元一次方程所對(duì)應(yīng)的解,就是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)。如果二元一次方程有兩個(gè)解,那么就是二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的解。類似的,還有二元一次方程一個(gè)解和沒有解時(shí),二次函數(shù)圖像均與x軸有著不同的交點(diǎn)。
總而言之,數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想,如果學(xué)生學(xué)會(huì)了數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用,那么學(xué)生就能更深刻地感受到解決數(shù)學(xué)問題的成就感,就能增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。因此,教師要在教學(xué)活動(dòng)中有效滲透數(shù)形結(jié)合的思想,從而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
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編輯 馮志強(qiáng)