函數隱零點問題解題方法分析

鄭州外國語學校 王子菡

一、引言

筆者在解答有關函數的導數問題時，經常會遇到函數的零點問題。所謂函數零點是指對于函數f(x),把能使f(x)=0的實數x叫做y=f(x)的零點。對導函數的零點進行研究是解決函數單調性、最值性、不等式證明等問題的關鍵。如果導函數的零點可以方便求出，這類零點稱為顯零點，如果導函數零點能判斷其存在，數值上卻不易求出或求不出，則稱為隱零點。顯零點問題比較容易解決，故在此不再贅述。而在解決隱零點問題的時候則會遇到一些困難。因為解決這類“隱零點”問題，經常需要解題者有靈活的代數變形技巧、抽象縝密的邏輯判斷能力和巧妙應用不等式的能力。這就要求解題者應具有較高的綜合分析能力。實際上，從問題目標來看，若要研究零點，可對零點采取一些特殊方法進行處理。筆者在做題過程中對這類問題進行了較多的思考和歸納總結，也有一些心得體會?，F通過幾個實例，初步探究解決“隱零點”問題的處理策略和技巧，供讀者參考。

二、方法探討

1.二次求導法

有些函數的導函數可能是一個超越函數，不能直接求出其零點。我們可以對其導函數求導（原函數的二次導數），得到一個形式更簡單的普通函數，此時就可方便地求出零點；或者通過研究二次求導后的函數的符號變化，判斷一次導數是恒正或恒負,進而可以研究原函數的單調性。

例1：已知函數f(x) = ( 2 +x+ax2)ln(1 +x) -2x，若a=0，證明：當-1 ＜x＜0，f(x) ＜ 0；當x＞0時f(x) ＞ 0。（2018年全國(III卷)高考數學(理)試題，21題）

證明：當a=0時，函數f(x) = ( 2 +x) ln(1 +x) -2x，

顯然這是一個超越函數，不能求其零點，也很難判斷其符號，故需對其再求導。

這是一個普通函數，很容易判斷其符號，下面根據其二次導函數正、負判斷一次導函數的單調性：

當x＞0時f′ (x) ＞ 0，f′(x)，單調遞增；當-1 ＜x＜0時f′ (x) ＜ 0，f′(x)單調遞減。所以f′(x)在x=0處取得最小值，且f′(x)min=f′(0) = 0，即f′(x) ≥ 0，也即f(x)在區(qū)間（-1，+∞）為增函數。故當-1 ＜x＜0時，f(x) ＜f( 0) = 0；當x＞0時，f(x) ＞f( 0) = 0。得證。

2.恒等變形法

對原函數進行一些巧妙等價變形，使對數函數、指數函數等這些超越函數與其它函數相分離，以達到變隱為顯的目的。

例2 ：同例1

證明：因為1+x＞0所以2+x＞0

所以g(x)在區(qū)間（-1，+∞）為增函數，故當-1 ＜x＜0時，g(x) ＜g( 0) = 0，又2+x＞0，所以此時f(x) ＜ 0。當x＞0時，g(x) ＞g( 0) = 0，又2+x＞0，所以此時f(x) ＞ 0。

得證。

小結：在上例中由于存在著對數函數和一次函數乘積的情況，故其導函數的零點不易求出（見例1）。仔細分析題目后，可將x+2提出，這樣就把對數函數單獨分離出來，從而有利于解決其導函數的零點問題。

3.虛設零點法

在求解一些些導數壓軸題時，往往會遇到導函數具有零點但求解相對比較繁雜甚至無法求解的情形。這時，可以將零點只設出而不直接求出來，然后謀求一種整體的轉換和過渡，再結合其他條件，從而最終獲得問題的解決.我們稱這種解題方法為“虛設零點”法。

例3 已知函數f(x) =x2-x-xl nx，且f(x) ＞ 0，求證：f(x)存在唯一極大值點x0,且e-2＜f(x0) ＜ 2-2(2017全國卷2（理）

證明：

所以

小結：本題實質上是求函數f(x)的最大值。但f′(x)卻是一個超越方程，不易求出其零點。這時可以將導函數的零點x0設出，利用零點的定義，得出2x0-2 - l nx0=0,然后用此關系式替代最值表達式中的lnx0，得到普通關系式通過此代換，方便地將一個超越關系式轉換為一個普通的二次代數式，最后研究二次代數式極值，問題便得到解決。

4.放縮法

放縮法是證明不等式成立的一種常見方法。通過使用此方法，可以將復雜的不等式變成簡單、明了、易于證明的不等式。在用導函數證明不等式時往往利用放縮的方法將指數函數、對數函數等超越函數替代為一般函數，以達到變隱為顯的目的。放縮法中常用到的公式有：

由ex≥x+1（x∈R） 可 得ex-1≥x則（提出ex，利用其切線進行放縮，使超越方程問題轉化為常規(guī)問題）

設g(x) =xel nx，(構造新函數)故g(x)在上單調遞減；在（，+∞）上單調遞增。所以（利用導數結題步驟，求函數最值）

故f(x) ＞g(x)min+ 2 = 1， 得證

小結：

由上例可知：用放縮法解決隱零點問題的一般步驟為

（1）對原函數進行恰當變形，利用切線對其進行放縮。

（2）構造新函數

（3）求新函數的極值（最值）

（4）得出結論

5.變換主元法

在解答多參數問題時，如果按照常規(guī)方法，視原變量x為主元，其導函數有可能出現隱零點，問題x很難解決。這時可視另一個參數為“主元”，而原變量 暫時視為參數，這種用變換主元去分析、研究、解決問題的方法叫變換主元法.函數與不等式有著千絲萬縷的聯(lián)系，某些函數經過變換主元后，其導函數的零點就非常明顯，據此可方便地判斷函數的單調性，進而求出其極值，從而使證明變得簡明.茲舉一例加以說明。

三、結論

一般而言，當函數的一次導數零點不可求而二次導數零點可求時，可用二次求導法；當一個超越函數易分解成為兩個普通函數乘積且其中之一易判斷其符號時可用恒等變形法；當易判斷一個函數的導函數存在零點且知其變化范圍時可用虛設零點法；無法用恒等變形法解決的問題可嘗試用放縮法；當變換主元后函數導函數零點易求可使用變換主元法求解。

需要指出的是，函數隱零點問題涉及的知識面廣，技巧性大，要求的運算能力強，命題形式變化多樣。故讀者應結合具體題目仔細分析，反復斟酌，然后選擇合適的解題方法。