論小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的估算

王元

摘要：文章梳理了小學(xué)估算構(gòu)建屬性及層級(jí)關(guān)系，綜述了估算的能力知識(shí)結(jié)構(gòu)和年齡階段，分析了《新課標(biāo)》對(duì)小學(xué)生估計(jì)能力的內(nèi)容要求和設(shè)置，從而可幫助小學(xué)數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)小學(xué)生們的估算能力發(fā)展。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);估算;估數(shù);估測(cè);估計(jì)

中圖分類號(hào)：G622.0? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：1674-9324（2019）50-0227-02

一、估算的意義

《新課標(biāo)》對(duì)不同小學(xué)階段學(xué)生估算能力的要求不同，側(cè)重點(diǎn)也不同，相應(yīng)的教科書對(duì)于評(píng)估能力的發(fā)展要求也給出不同的反映。為了表達(dá)在當(dāng)前課程體系下學(xué)生的估計(jì)能力達(dá)到什么水平，我們需要探討小學(xué)數(shù)學(xué)義務(wù)教育中的學(xué)生估算能力結(jié)構(gòu)，探索小學(xué)階段估算知識(shí)點(diǎn)的屬性結(jié)構(gòu)，分析學(xué)生估算能力側(cè)重的差異性。

估算的應(yīng)用廣泛，不僅在理論講學(xué)上對(duì)計(jì)算結(jié)果可以進(jìn)行正誤判斷，開發(fā)小學(xué)生的智力水平，同時(shí)在實(shí)際生活中估算也有非常現(xiàn)實(shí)的廣泛應(yīng)用。所以，估算在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常有意義的，教師需要清楚了解小學(xué)各個(gè)階段學(xué)生的估計(jì)能力發(fā)展水平，對(duì)于小學(xué)生估算能力的培養(yǎng)必須“從娃娃抓起”。

二、估算的構(gòu)建屬性及層級(jí)關(guān)系

據(jù)調(diào)查，小學(xué)的一線教師容易混淆估計(jì)、估算、估測(cè)和估數(shù)這幾個(gè)詞，因此我們首先有必要明確定義這些概念，以便清晰理解。文獻(xiàn)[1]認(rèn)為估計(jì)是“粗略計(jì)算，基本上是一種快速近似。它的基本特征是放大或縮小值的值，以確定操作結(jié)果的范圍或估計(jì)?！钡?，估算不能單方面地視為近似計(jì)算。本文接受的是文獻(xiàn)[2]的估計(jì)定義：“沒有做出具體計(jì)算的人，只能通過利用已知的原始的知識(shí)，給出問題的粗略答案。估計(jì)的形式是心算形式，進(jìn)行數(shù)學(xué)概念與算術(shù)技巧之間的相互作用過程?！?/p>

估算是根據(jù)事物的性質(zhì)和具體情況，對(duì)數(shù)量和變化的一般推斷。文獻(xiàn)[3]認(rèn)為，這種估算不能被片面地看成一種估計(jì)，而應(yīng)該是一種經(jīng)常的人類心理活動(dòng)，是人基于現(xiàn)有的數(shù)學(xué)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)、結(jié)合和組合特定的數(shù)學(xué)情況，并且在不經(jīng)歷具體物理操作的情況下，快速產(chǎn)生近似的計(jì)算結(jié)果。

估測(cè)是人類最基本最實(shí)用的數(shù)學(xué)技能之一，包括對(duì)日常生活中的兩點(diǎn)間距離、房屋面積、天氣溫度、行車速度、物品價(jià)格和重量的估計(jì)等。文獻(xiàn)[4]給出了目前得到國(guó)內(nèi)外多數(shù)人認(rèn)可的定義：“人們?cè)诓皇褂镁唧w專用的測(cè)量工具情況下，以某種方式推斷測(cè)量的心理過程”。

估數(shù)是一種被認(rèn)為與數(shù)值判斷相關(guān)的數(shù)學(xué)問題求解具體形式，它是一種靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)知識(shí)的自適應(yīng)問題求解方法。文獻(xiàn)[5]認(rèn)為估數(shù)是在實(shí)際中對(duì)在沒有足夠時(shí)間計(jì)算對(duì)象數(shù)量進(jìn)行估計(jì)，或者要計(jì)數(shù)的對(duì)象數(shù)量太大，或者移動(dòng)太快的對(duì)象可以不準(zhǔn)確計(jì)算，這是一個(gè)高級(jí)的認(rèn)知處理數(shù)據(jù)過程。

雖然目前國(guó)內(nèi)人們對(duì)于估計(jì)所涉的這幾個(gè)概念沒有統(tǒng)一接受的認(rèn)可，但是從現(xiàn)有文獻(xiàn)中可以看出，估計(jì)、估算、估測(cè)和估數(shù)這幾個(gè)基本概念具有相當(dāng)不矛盾和清晰的表達(dá)，并且還有一些概念的明顯區(qū)別。本文結(jié)合上述四個(gè)概念，對(duì)小學(xué)階段數(shù)學(xué)中所涉及的估計(jì)進(jìn)行適當(dāng)劃分，將小學(xué)數(shù)學(xué)的各類知識(shí)及其屬性來統(tǒng)一辨識(shí)。

三、估算的能力知識(shí)結(jié)構(gòu)和年齡階段

根據(jù)有關(guān)學(xué)者研究和文獻(xiàn)資料，目前我國(guó)小學(xué)生的估算能力相對(duì)較弱。一般情況下，未經(jīng)過特殊的認(rèn)知培訓(xùn)干預(yù)時(shí)，成年人比年輕人有更好的估計(jì)能力。文獻(xiàn)[6]認(rèn)為學(xué)齡期學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展主要分為“跨越維度階段”與“向量階段”，跨維度階段又包括三個(gè)階段：第一階段（3—6歲），第二階段（7—8歲），第三階段（9—10歲）;矢量階段又包括三個(gè)階段：第一階段（11—12歲）和第二階段（13—15歲），第三階段（16—19歲）。

檢查小學(xué)生估算能力可以應(yīng)用認(rèn)知診斷評(píng)估理論[7，8]，這是近年來發(fā)展起來的一種新的測(cè)試形式。它基于對(duì)個(gè)人反應(yīng)的一種項(xiàng)目形式，能夠較為詳細(xì)地對(duì)所測(cè)量各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況進(jìn)行個(gè)體自身分析，同時(shí)，也可以比較個(gè)人并為教學(xué)提供基礎(chǔ)。由已知測(cè)量得到的知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知情況和項(xiàng)目的相關(guān)體系機(jī)制，選擇出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)診斷模型，并使用具體的測(cè)量方法，將測(cè)試者個(gè)人的反應(yīng)轉(zhuǎn)化為反映者自身的認(rèn)知屬性，給出具體的測(cè)試者認(rèn)知結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并基于可以觀察的外部行為來實(shí)現(xiàn)估算的內(nèi)在知識(shí)結(jié)構(gòu)及其技能掌握的目的。

四、《新課標(biāo)》中“估算”設(shè)置與分析

中國(guó)非常重視小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)估算，這可以在“新課程標(biāo)準(zhǔn)”中體現(xiàn)出來。該標(biāo)準(zhǔn)針對(duì)小學(xué)第一階段、第二階段的“估算”內(nèi)容，給出了詳細(xì)的目標(biāo)、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和要求，并具體給出了關(guān)于估算、估測(cè)和估數(shù)以及它們相關(guān)的教學(xué)建議和11個(gè)例子。

小學(xué)第一學(xué)段（1—3年級(jí)）的目標(biāo)是：體驗(yàn)從具體生活中“數(shù)”的抽象出來過程，理解“數(shù)”的抽象含義，初步了解小數(shù)與分?jǐn)?shù);了解共同的金額;了解四則算術(shù)運(yùn)算的具體意義，掌握必要的算術(shù)運(yùn)算規(guī)律及其技巧，并準(zhǔn)確計(jì)算;在具體情況下，學(xué)生能夠選擇適當(dāng)?shù)亩攘繂挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單的估算。在使用數(shù)量和適當(dāng)?shù)亩攘繂挝粊韺?duì)現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單現(xiàn)象進(jìn)行描述，并在估算操作結(jié)果的過程中培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思想。在具體的觀察、實(shí)踐等活動(dòng)中，讓學(xué)生能給出一些具體的方法及簡(jiǎn)單的猜想。

小學(xué)第一學(xué)段（1—3年級(jí)）的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)：在關(guān)于數(shù)與代數(shù)方面：感受大數(shù)在生活背景下的意義，做出簡(jiǎn)單的估算;對(duì)于適當(dāng)?shù)亩攘繂挝贿x擇，能夠結(jié)合具體的實(shí)際情況，進(jìn)行簡(jiǎn)單估算及其在生活中的作用。在關(guān)于圖形和幾何方面：讓學(xué)生估計(jì)一些具體物體;掌握“矩形”、“正方形”的面積公式，能夠估計(jì)一些像桌子、黑板等簡(jiǎn)單圖形的面積。

小學(xué)第二學(xué)段（4—6年級(jí)）的目標(biāo)：感受大“數(shù)”在特定情況中抽取出來的過程，會(huì)估算10000以上的數(shù);了解分?jǐn)?shù)、百分比、小數(shù)和負(fù)數(shù)的含義與估算;掌握一些估算的必要算術(shù)技巧、方法和意義;定量之間的關(guān)系會(huì)用簡(jiǎn)單的一次方程來表示，并能夠求解簡(jiǎn)單的一次方程。在觀察、驗(yàn)證等實(shí)踐活動(dòng)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力和思維過程。

小學(xué)第二學(xué)段（4—6年級(jí)）的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)：在關(guān)于數(shù)和代數(shù)方面：感受大“數(shù)”結(jié)合實(shí)際情況的含義并能夠估算大數(shù)的數(shù)值;能夠結(jié)合所解決的具體實(shí)際問題，會(huì)選擇合適的度量單位和估算方法。在關(guān)于圖形和幾何方面：掌握?qǐng)A的面積公式;通過方格紙的運(yùn)用，會(huì)對(duì)不規(guī)則圖形的面積進(jìn)行“估算”;按照所給定的數(shù)值比例，能夠在圖紙上具體繪制圖形。在關(guān)于統(tǒng)計(jì)和概率方面：可以解釋簡(jiǎn)單的概率統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并做出較為簡(jiǎn)單的隨機(jī)判斷和預(yù)測(cè)進(jìn)行交流;通過實(shí)驗(yàn)、觀察等其他活動(dòng)，感知事件發(fā)生的可能性（即概率）大小，能夠簡(jiǎn)單定性地描述隨機(jī)事件的發(fā)生概率。

從“新課標(biāo)”中我們可以看到中國(guó)在數(shù)學(xué)“估算”能力培養(yǎng)中的關(guān)鍵點(diǎn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)估算的第一學(xué)段，側(cè)重對(duì)數(shù)的感知、計(jì)量單位認(rèn)知和正方形、長(zhǎng)方形圖形面積等，數(shù)量和單位的數(shù)學(xué)表示是基于估數(shù)和估測(cè)，通過大量與生活相關(guān)的情況建立的。在小學(xué)數(shù)學(xué)估算的第二學(xué)段，注重對(duì)大數(shù)的認(rèn)知過程和思維水平，估計(jì)內(nèi)容多是估算、估測(cè)。在第一和第二段中都設(shè)置有估算、估測(cè)和估數(shù)，其困難不僅僅表現(xiàn)在四則計(jì)算中，而且還表現(xiàn)在小數(shù)和分?jǐn)?shù)的計(jì)算中。

五、總述

學(xué)齡期學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，按照文獻(xiàn)[6]的“加性估計(jì)的估算理論”，主要是跨越維度階段和向量階段，其中跨越維度階段分布在6—10歲的小學(xué)1—4年級(jí)的數(shù)學(xué)期間，向量階段的小學(xué)5—6年級(jí)（小學(xué)生11—12歲）時(shí)，在數(shù)與代數(shù)方面主要學(xué)習(xí)多位數(shù)的四則運(yùn)算、小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的算術(shù)運(yùn)算，這也是估算的主要內(nèi)容。調(diào)查分析研究表明，小學(xué)3年級(jí)和小學(xué)6年級(jí)是學(xué)生估算能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期。另外，3年級(jí)和6年級(jí)也是中國(guó)義務(wù)教育階段的關(guān)鍵時(shí)期。所以，我們廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要抓住小學(xué)階段學(xué)生估算能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，清楚了解學(xué)生估算能力的發(fā)展過程，對(duì)幫助指導(dǎo)學(xué)生估算能力的提高起著重要作用。

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