高考小題藏乾坤一題九解現(xiàn)真身

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2018年新課標全國Ⅰ卷理科第16題是一道在三角背景下求函數(shù)最小值的問題,試題設(shè)問簡潔、構(gòu)思精巧。命題人的設(shè)計初衷應(yīng)是考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用。我們充分挖掘試題內(nèi)涵,廣泛聯(lián)系數(shù)學(xué)知識,給出下面九種解法。

題目:已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是 。

1.突出導(dǎo)數(shù)工具作用,簡潔明快

解法一:f(x)的最小正周期為T=2π,只考慮x∈[0,2π)的情形。

評析:上述四種解法都是借助導(dǎo)數(shù)這一工具解答的,但處理的細節(jié)不一樣:解法一最常規(guī),利用周期性將定義域限定在[0,2π)上,通過比較極值和區(qū)間端點處函數(shù)值的大小來確定函數(shù)最小值;解法二將定義域限定在[-π,π)上,并注意到構(gòu)成函數(shù)f(x)的兩個函數(shù)y=sinx和sin2x的圖像特征,發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)在上可取到最大值,結(jié)合奇函數(shù)的中心對稱性,得到函數(shù)f(x)的最小值,解法二可看作解法一的優(yōu)化;解法三通過換元、消元將問題轉(zhuǎn)化為一個四次多項式函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)來解決;解法四是將函數(shù)表達式平方后,通過換元將問題轉(zhuǎn)化為多項式函數(shù)解決的。

2.借力于著名不等式,巧妙構(gòu)造

評析:解法五至解法七是利用四元均值不等式完成解答的。解法五和解法六都對函數(shù)解析式作了平方處理,不同點在于解法五直接配湊系數(shù)用均值不等式,解法六利用倍角公式變形后再用不等式。解法七借助萬能公式將函數(shù)解析式用半角的正切表達后直接配湊系數(shù)用均值不等式。

圖1

3.滲透數(shù)形結(jié)合思想,形象直觀

解法八:如圖1所示,在單位圓上,記三點A(-1,0),B(cosx,sinx),C(cos x,-sinx),則 S△ABC=注意到圓的內(nèi)接三角形中,正三角形面積最大,于是,S△ABC=,故函數(shù)的最小值為

圖2

要使f(x)=2t取最小值,則需t＜0。如圖2所示,當(dāng)且僅當(dāng)圓a2+b2=1與雙曲線b=-1相切時函數(shù)f(x)取得最小值。記切點為P(a0,b0),則

評析:注意到sin2x+cos2x=1可與單位圓自然聯(lián)系。解法八深入挖掘函數(shù)f(x)的幾何意義,將其表達成單位圓內(nèi)接三角形的面積來解決問題。解法九通過換元將問題轉(zhuǎn)化為單位圓與雙曲線有公共點的問題,函數(shù)f(x)的最小值當(dāng)且僅當(dāng)兩條曲線相切時取到。

我們看到,上述九個解法或直接研究函數(shù)本身的性態(tài),或溝通問題與著名不等式的聯(lián)系,或構(gòu)造圖形“以形助數(shù)”,無論哪種方法,都需要我們仔細分析問題的結(jié)構(gòu)特征,作模式識別,從代數(shù)或幾何的角度去闡釋問題,進而創(chuàng)造性地解決問題。