求函數(shù)值域的八種常用方法

王曉潔

摘 要：函數(shù)的值域函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一，求函數(shù)的值域，在知識(shí)上，除涉及函數(shù)的所有知識(shí)外，還需要二次函數(shù)、不等式等其他重要知識(shí)點(diǎn);在解題方法上，具有較強(qiáng)的綜合性，求函數(shù)值域是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，不同的函數(shù)解析式要用不同的方法，選擇正確簡(jiǎn)潔的求值方法對(duì)于求函數(shù)值域的相關(guān)知識(shí)會(huì)有很大的鞏固和提高。

關(guān)鍵詞：函數(shù)值域 ?解答 ?方式方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G634 ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）10（c）-0241-02

求函數(shù)值域是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，不同的函數(shù)解析式要用不同的方法，下面舉例說(shuō)明幾種常見(jiàn)的求函數(shù)值域的方法。

1 配方法

例1：求函數(shù)y=2x2-6x+3的值域。

解：y=2（x-3）2-≥-

函數(shù)X的值域?yàn)閇-，

2 判別式法

對(duì)于某些有理數(shù)分式函數(shù)，y=f（x）（分子或分母最高次數(shù)為2），可把函數(shù)的解析式化為關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)判別式△≥0得到一個(gè)關(guān)于y的不等式。解此不等式就可求得函數(shù)的值域。

例2：求的值域。

解：原方程可化為（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0

當(dāng)y時(shí)，≥

解得

當(dāng)y=1時(shí)，x=0屬于定義域

函數(shù)的值域?yàn)?/p>

3 非負(fù)數(shù)法

當(dāng)函數(shù)的解析式中出現(xiàn)絕對(duì)值、偶次方冪、算數(shù)根或指數(shù)冪時(shí)，常根據(jù)他們的非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)確定函數(shù)的值域。

例3：求函數(shù)的值域。

解：原方程可化為

視為關(guān)于x的方程化為

所以函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

4 分部分式法

當(dāng)函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）是分式且分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，可分部分式求函數(shù)的值域。

例4：求函數(shù)的值域。

解：

因?yàn)榍遥?/p>

所以，

故該函數(shù)的值域?yàn)閇

5 換元法

對(duì)于某些特殊的函數(shù)y=f（x），可利用設(shè)輔助未知數(shù)的方法求得其值域。

例5：求函數(shù)的值域。

解：令）

所以（當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)）

故原函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

6 函數(shù)的單調(diào)性法

對(duì)于某些單調(diào)函數(shù)可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域。

例6：求函數(shù)的值域。

解：設(shè)

因?yàn)?/p>

當(dāng)時(shí)，t有最小值;

又因?yàn)槭窃龊瘮?shù)

所以當(dāng)≥;

故原函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

7 反函數(shù)法

因?yàn)樵瘮?shù)的值域正好是它的定義域，所以要求原函數(shù)的域可以轉(zhuǎn)換為先求其反函數(shù)再求其定義域，即得原函數(shù)的。

例7：求函數(shù)的值域。

解：求得的反函數(shù)為，

其定義域?yàn)?

故所求函數(shù)的值域?yàn)?

8 數(shù)形結(jié)合法

例8：求函數(shù)的值域

解：原函數(shù)化為

將此函數(shù)化為分段函數(shù)的形式

通過(guò)圖像可知

故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

以后通過(guò)學(xué)習(xí)不等式和三角函數(shù)求函數(shù)的值域還可以用不和利用有界性法。

參考文獻(xiàn)

[1] 如何求函數(shù)值域[J].云南教育：基礎(chǔ)教育版，1980（9）：35-36.

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[3] 周云.求函數(shù)值域的方法歸納[J].考試周刊，2009（18）：47-48.