多元表征，賦予學(xué)生數(shù)學(xué)思維自然生長的力量

程啟亮

摘 要：“表征”是對事物本質(zhì)的揭示、闡明。學(xué)生的學(xué)習(xí)表征樣式是豐富的，有直觀動(dòng)作表征、具體形象表征和抽象符號表征等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要對數(shù)學(xué)素材進(jìn)行多元化呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行多元化勾連，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行多元化外顯。多元表征不僅能夠讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，而且能讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞：多元表征；數(shù)學(xué)思維；自然生長

多元智能理論以及認(rèn)知風(fēng)格理論認(rèn)為，教學(xué)應(yīng)該采用多元方式表征同一個(gè)學(xué)習(xí)對象，以便學(xué)生可以選擇自己擅長、喜愛的方式，構(gòu)建自我表征系統(tǒng)，促進(jìn)知識意義的內(nèi)化。美國著名教育心理學(xué)家萊什認(rèn)為，“學(xué)生習(xí)得一個(gè)概念必須具備三個(gè)條件：一是將數(shù)學(xué)概念放置于表征系統(tǒng)之中；二是在表征系統(tǒng)中恰當(dāng)?shù)靥幚砀拍?；三是將概念放在不同表征系統(tǒng)中進(jìn)行轉(zhuǎn)換”。善于對數(shù)學(xué)概念、定理、問題進(jìn)行多元表征，是學(xué)生深刻、全面理解數(shù)學(xué)知識，靈活、獨(dú)到解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。多元表征，能夠賦予學(xué)生數(shù)學(xué)思維自然生長的力量。

一、多元表征：內(nèi)涵及其類型

所謂“表征”，《現(xiàn)代漢語詞典》解釋為“顯示出來的現(xiàn)象，表現(xiàn)出來的特征”?！掇o?！罚?009年版）上對“表征”的闡釋為：揭示；闡明。……也指事物顯露在外的征象。作為動(dòng)詞，“表征”表示對事物本質(zhì)的揭示和闡明；作為名詞，“表征”表示事物顯示出來的現(xiàn)象、特征。從心理學(xué)視角看，表征即知識或心理表征；從信息加工理論視角看，表征即是學(xué)生對外界信息輸入、編碼、轉(zhuǎn)換、存儲和提取。

美國教育心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，人類的學(xué)習(xí)主要有三種表征方式：一是直觀動(dòng)作表征；二是具體形象表征；三是抽象符號表征。美國心理學(xué)家卡帕特根據(jù)表征與被表征系統(tǒng)關(guān)系，將表征分為四種類型：一是認(rèn)知表征；二是解釋表征；三是內(nèi)部表征；四是外部符號表征。美國心理學(xué)家葛登則認(rèn)為，問題解決牽涉四種表征系統(tǒng)：一是自然語言系統(tǒng)；二是表象處理系統(tǒng)；三是符號操作系統(tǒng)；四是啟發(fā)執(zhí)行系統(tǒng)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，多元表征主要有外部和內(nèi)部表征兩種。所謂“外部表征”，是指學(xué)生借助語言、文字、符號、具體物、圖片等形式對學(xué)習(xí)對象存在的表征；所謂“內(nèi)部表征”，是指學(xué)生加工數(shù)學(xué)的心理表征，包括言語表象、視覺表象、記憶表象、思維表象等。通常情況下，只有將外部表征轉(zhuǎn)化成學(xué)生的內(nèi)部表征，數(shù)學(xué)教學(xué)才能發(fā)揮應(yīng)有的效用。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師以言語信息（主要包括口語、符號、圖像、文字等）和非言語信息（主要包括圖片、實(shí)物、模型等）將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，經(jīng)過學(xué)生的個(gè)體加工，將外部的言語或者非言語編碼以多元表征形式納入內(nèi)部表征系統(tǒng)之中，形成學(xué)生的心象碼。在這個(gè)過程中，學(xué)生能夠完成信息的轉(zhuǎn)換和意義的建構(gòu)。

二、多元表征：策略及其路徑

數(shù)學(xué)教學(xué)中通常會出現(xiàn)兩方面誤區(qū)：一是注重學(xué)生的動(dòng)作表征，沒有引導(dǎo)學(xué)生由直觀操作表征向抽象符號表征過渡，學(xué)生停留于具體化階段；二是關(guān)注數(shù)學(xué)知識抽象符號表征，而忽視或者輕視了學(xué)生直觀操作或者具體形象表征，學(xué)生形式化根基不牢，過程不深刻?；诙嘣碚鞯臄?shù)學(xué)教學(xué)，既要重視學(xué)生的抽象、形式表征，也要重視學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的感性操作。只有將多種表征融合起來，才能助推學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的真正理解。

1. 多元化呈現(xiàn)，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解

多元化呈現(xiàn)，既包括縱向多元化呈現(xiàn)，也包括橫向多元化呈現(xiàn)。所謂“縱向多元化呈現(xiàn)”，是指教師可以分層次、逐步地引導(dǎo)學(xué)生抽象數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)知識。所謂“橫向多元化呈現(xiàn)”，是指教師運(yùn)用不同的方式，從不同的視角，運(yùn)用不同的手段引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、知識進(jìn)行表征。經(jīng)由多元化呈現(xiàn)，學(xué)生逐步剝離數(shù)學(xué)知識的非本質(zhì)屬性，獲得對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解。

比如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊的《分?jǐn)?shù)的意義》，教師要呈現(xiàn)多種素材，比如一塊餅、一根一米長的線段、幾個(gè)正方形等，將其平均分成若干相同的份數(shù)，表示相同的份數(shù)，結(jié)果所表示的分?jǐn)?shù)完全相同。盡管物體的種類不同、物體的個(gè)數(shù)不同，但由于將物體平均分成了相同的份數(shù)，表示了相同的份數(shù)，所以表示的分?jǐn)?shù)就相同。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納，有學(xué)生認(rèn)為將一個(gè)物體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)；有學(xué)生認(rèn)為將許多物體組成的整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)；還有學(xué)生認(rèn)為將一個(gè)計(jì)量單位平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。教師在學(xué)生分門別類概括的基礎(chǔ)上，將一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或者由許多物體組成的整體歸結(jié)為單位“1”，形成抽象的分?jǐn)?shù)概念。在這一過程中，不同素材的表征，就是一種橫向多元化呈現(xiàn)，而對分?jǐn)?shù)的逐步抽象、概括、形式化、定義化的過程就是縱向多元化呈現(xiàn)。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的多元化呈現(xiàn)并非越多越好，而是應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)本質(zhì)展開。數(shù)學(xué)的材料之間應(yīng)該能夠相互映襯、相會補(bǔ)充、相互解釋，做到形式不同但本質(zhì)相同。只有這樣，才能發(fā)揮多元化呈現(xiàn)應(yīng)有的效用。否則，材料的多元化呈現(xiàn)反而會讓學(xué)生眼花繚亂，失去材料多元化呈現(xiàn)的初衷。

2. 多元化勾連，構(gòu)建學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識是一個(gè)有機(jī)的結(jié)構(gòu)性整體。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行多元化勾連，構(gòu)建學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。對于同一知識，其知識表征可能是多元的，教師要引領(lǐng)學(xué)生在各種表征內(nèi)部以及表征之間進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換。只有學(xué)生能夠解讀不同表征下的數(shù)學(xué)知識，才能靈活提取相關(guān)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行實(shí)踐運(yùn)用。學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)構(gòu)建是學(xué)生數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)識成智的關(guān)鍵，也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)生成的重要標(biāo)識。

比如，教學(xué)《解決問題的策略——“一一對應(yīng)”》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊），有這樣一道習(xí)題：用1、2、3、6可以組成多少個(gè)不相同的兩位數(shù)？為了深化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，讓學(xué)生形成“既不遺漏也不重復(fù)”的有序列舉的思想方法，筆者將習(xí)題改為：用1、2、3可以組成多少個(gè)不相同的兩位數(shù)。不同的學(xué)生用不同的方式進(jìn)行思考，有學(xué)生固定個(gè)位，然后變換十位，如21、31，12、32，13、23；有學(xué)生固定十位，然后變換個(gè)位，如12、13，21、23，31、32；還有學(xué)生用組合交換位置法，如13、31；12、21；23、32。接著，筆者從兩個(gè)維度，對這樣的習(xí)題予以內(nèi)涵拓展。一是從縱向上拓展，即在3個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上，增加延伸到4個(gè)數(shù)、5個(gè)數(shù)，讓學(xué)生運(yùn)用相關(guān)的方法進(jìn)行列舉；二是從橫向上拓展，即創(chuàng)設(shè)不同的情境，讓學(xué)生體驗(yàn)，比如三個(gè)小朋友兩兩拍照、三個(gè)小朋友兩兩寄賀卡等。同時(shí)，將拍照、寄賀卡、握手、踢足球等相關(guān)的問題進(jìn)行比較。這樣的多元化勾連，其目的就是敏銳、深化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，讓學(xué)生形成對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，構(gòu)建、完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)多元化勾連，不僅豐富了數(shù)學(xué)知識的形成過程，更有助于學(xué)生從不同的視角對數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵形成本質(zhì)性理解，對數(shù)學(xué)知識的外延精準(zhǔn)掌握。在多元化勾連的活動(dòng)中，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生完成對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)建構(gòu)。

3. 多元化外顯，引發(fā)學(xué)生的思維可視

多元化表征不僅是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的內(nèi)化表征，也包括將學(xué)生的心理圖像進(jìn)行多元化外化過程。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是看不見的，是一個(gè)“黑匣子”，一個(gè)“黑洞”。如何將學(xué)生看不見的思維可視化，讓學(xué)生的內(nèi)部言語外顯化，一個(gè)重要的方式就是讓學(xué)生進(jìn)行自我學(xué)習(xí)表征。從表征內(nèi)容上看，外顯的豐富性能夠讓學(xué)生相互間切磋、交流；從表征方法上看，表征轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)譯有助于學(xué)生邏輯與非邏輯思維的互補(bǔ)；從表征過程上看，只有內(nèi)化和外化相融合的表征，才能構(gòu)成學(xué)生的生態(tài)學(xué)習(xí)循環(huán)系統(tǒng)。多元化外顯，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

比如，教學(xué)《因數(shù)與倍數(shù)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級下冊），教材中是讓學(xué)生用擺方格的方法來建構(gòu)12是3的倍數(shù)、12是4的倍數(shù)，3是12的因數(shù)、4是12的因數(shù)的。誠然，這樣能夠讓學(xué)生知道哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)、哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)，但部分學(xué)生并沒有深刻理解。因?yàn)?，不同的學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的表征是不同的，某些表征能夠助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，但某些表征卻不能發(fā)揮其應(yīng)有的效用。筆者在教學(xué)中從學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)入手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。“12是3的4倍，12是4的3倍，這是為什么呢？”于是，不同的學(xué)生基于各自的內(nèi)部心理表征，形成了不同的外部表征。如有學(xué)生畫出線段圖，用幾倍的關(guān)系進(jìn)行解釋；有學(xué)生畫出集合圖，用包含除的方法進(jìn)行表征；有學(xué)生將12個(gè)圓圈均分，從平均除的角度進(jìn)行解釋；有學(xué)生認(rèn)為4個(gè)3相加等于12，從乘法的意義角度進(jìn)行解釋；還有學(xué)生認(rèn)為從12里面減去3，要減4次，從12里面減去4，要減3次，從除法的原始意義角度進(jìn)行解釋，等等。不同的解釋呈現(xiàn)于同一個(gè)互動(dòng)空間，引發(fā)學(xué)生的積極交流。如此，學(xué)生將自己的不可見的思維可視化，將不可言說的數(shù)學(xué)理解可感化，將抽象的數(shù)學(xué)概念具象化，從而達(dá)到了個(gè)性化理解、建構(gòu)的目的。

外顯表征有力地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)知識的意義理解、建構(gòu)，增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力、發(fā)現(xiàn)能力和問題解決能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的發(fā)展，培育了學(xué)生綜合性思維能力的發(fā)展，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅感受到數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)性，而且能夠體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識、方法和思想的應(yīng)用性。

在數(shù)學(xué)多元表征過程中，一方面，教師要研究數(shù)學(xué)知識的特質(zhì)；另一方面，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)、探究歷程。一個(gè)數(shù)學(xué)知識的表征是多元的，各種表征之間也存在著千絲萬縷的關(guān)聯(lián)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要運(yùn)用表征，引導(dǎo)學(xué)生既把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，也把握數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)。只有這樣，學(xué)生才能真正理解、把握數(shù)學(xué)知識。