淺析高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值的解法

盧士琪

【摘 要】函數(shù)最值問題的概念性、綜合性和靈活性較強(qiáng)，考題的知識涉及面較廣，這對高中學(xué)生的分析和邏輯推理能力要求較高。通過對函數(shù)最值問題的相關(guān)探究，筆者總結(jié)歸納出了求解函數(shù)最值的幾種常用的方法，并討論了學(xué)習(xí)函數(shù)最值求解中應(yīng)該注意的問題，這將有利于提高學(xué)生對函數(shù)的解題能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；函數(shù)最值；方法技巧

高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的最值問題比較難以理解。而且，函數(shù)的最值問題既是歷年高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。函數(shù)最值問題的概念性、綜合性和靈活性較強(qiáng)，考題的知識涉及面較廣，對于高中學(xué)生的分析和邏輯推理能力要求較高。通過對函數(shù)最值問題的相關(guān)探究，筆者總結(jié)歸納出了求解函數(shù)最值的幾種常用的方法，并總結(jié)了學(xué)習(xí)函數(shù)最值求解中應(yīng)該注意的問題，這將有利于提高學(xué)生的函數(shù)解題能力。文章主要通過舉例說明的方式來闡述求解函數(shù)最值的幾種常用解法，希望能對提高廣大學(xué)生的解題能力有所幫助。

函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的最大值和最小值問題，本質(zhì)上是一個(gè)最優(yōu)化的問題。求解函數(shù)最大值與最小值的實(shí)際問題，包括三方面的工作：一是根據(jù)實(shí)際問題建立目標(biāo)函數(shù)，通常總是選取待求的最優(yōu)量為因變量；二是按上述的求解方法求出目標(biāo)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最大值或最小值；三是對所求得的解進(jìn)行相應(yīng)實(shí)際背景的幾何意義的解釋。同時(shí)一方面要深刻理解題意，提高閱讀能力，要加強(qiáng)對常見的函數(shù)的理解，弄清其產(chǎn)生的實(shí)際背景，把數(shù)學(xué)問題生活化；另一方面要不斷拓寬知識面，提高間接的生活閱歷，如了解一些諸如物價(jià)、行程、產(chǎn)值、利潤、環(huán)保等實(shí)際問題，也涉及角度、面積、體積、造價(jià)等最優(yōu)化問題，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的意識和能力。

最值問題綜合性強(qiáng)，幾乎涉及高中數(shù)學(xué)各個(gè)分支，學(xué)好各個(gè)數(shù)學(xué)分支知識，透徹地理解題意，能綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能，熟練地掌握常用的解題方法，才能收到較好的效果。

一、代數(shù)法。代數(shù)法包括：①判別式法（主要是應(yīng)用方程的思想來解決函數(shù)最值問題）；②配方法（解決二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題）；③不等式法（基本不等式是求最值問題的重要工具，靈活運(yùn)用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值問題）；④換元法（利用題設(shè)條件，用換元的方法消去函數(shù)中的一部分變量，將問題化歸為一元函數(shù)的最值，以促成問題順利解決，常用的換元法有代數(shù)換元法和三角換元法）。具體而言：①判別法：判別式法是等式與不等式聯(lián)系的重要橋梁，若能在解多元函數(shù)最值過程中巧妙的運(yùn)用，就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應(yīng)用判別式的核心在于能否合理地構(gòu)造二次方程或二次函數(shù)，還需注意是否能取等號。②配方法：配方法多使用于二次函數(shù)中，通過變量代換，能變?yōu)殛P(guān)于t（x）的二次函數(shù)形式，函數(shù)可先配方成為f（x）=a[t（x）-m]2+n的形式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值（此類題的解法關(guān)鍵在于用“配方法”將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，同時(shí)要考慮頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值是否落在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)則需考慮函數(shù)的單調(diào)性）。③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個(gè)必要條件，因此當(dāng)其中一些條件不滿足時(shí)應(yīng)考慮通過恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃危惯@些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計(jì)算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當(dāng)然這里還需要利用系數(shù)的湊合才能達(dá)到目的，具有一定技巧）。④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個(gè)部分看成一個(gè)式子，并用一個(gè)字母代替，這樣使原式變得簡化，使解題過程更簡捷（在利用三角換元法求解問題時(shí)，關(guān)鍵還是要在掌握好三角函數(shù)常用關(guān)系式的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求解的函數(shù)式，慎重使用）。

二、數(shù)形結(jié)合法。數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法，即考慮函數(shù)的幾何意義，結(jié)合幾何背景，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，解法往往顯得直觀、簡捷。通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解題，有許多的優(yōu)越性。將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形結(jié)合起來，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過程簡化。有時(shí)函數(shù)最值也借助數(shù)形結(jié)合方法來求解。

①解析式：解析法是觀察函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)，求解函數(shù)最值的方法；

②函數(shù)性質(zhì)法：函數(shù)性質(zhì)法主要是討論利用已學(xué)函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值等；

③構(gòu)造復(fù)數(shù)法：構(gòu)造復(fù)數(shù)法是在已經(jīng)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)章節(jié)的基礎(chǔ)上，把所求結(jié)論與復(fù)數(shù)的相關(guān)知識聯(lián)系起來，充分利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行求解；

④求導(dǎo)法（微分法）：導(dǎo)數(shù)是高中現(xiàn)行教材新增加的內(nèi)容，求導(dǎo)法求函數(shù)最值是應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識解決初等問題，可以解決一類高次函數(shù)的最值問題。

綜上可知，函數(shù)最值問題內(nèi)涵豐富，解法靈活，沒有通用的方法和固定的模式，學(xué)生在解題時(shí)要因題而異；而且上述方法并非彼此孤立，而是相互聯(lián)系、相互滲透的，有時(shí)一個(gè)問題需要多法并舉，互為補(bǔ)充，有時(shí)一個(gè)題目又會(huì)有多種解法。因此，解題的關(guān)鍵在于認(rèn)真分析和思考，因題而異地選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，當(dāng)一題有多種解法時(shí)，當(dāng)然應(yīng)該注意選擇最優(yōu)解法。以上幾種方法僅作為個(gè)人的一點(diǎn)愚見，僅是滄海一粟，希望在大家應(yīng)用的時(shí)候千萬不能按部就班，難免會(huì)遇到瓶頸，只有弄清其本質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)才能取得事半功倍的效果。

【參考文獻(xiàn)】

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