例析多元函數(shù)最值問題的求解策略

河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (475001)

盧 陽

一、不等式法

在最值問題中常用均值不等式、柯西不等式、絕對值不等式.運(yùn)用不等式求最值時(shí)最大的難點(diǎn)在于如何“拆”、“拼”、“湊”，常見的有湊項(xiàng)數(shù)和湊系數(shù)，進(jìn)而找到定值.

1.均值不等式

分析：此題無法直接運(yùn)用不等式，觀察到a2-10ac+25c2=(a-5c)2并且發(fā)現(xiàn)a2-ab=a(a-b)，故需要“拼湊”出-ab來.

2.柯西不等式

例2 (2013年湖南卷理科第10題)設(shè)a,b,c∈R,a+2b+3c=6,求a2+4b2+9c2的最小值.

分析：注意到a2+4b2+9c2=a2+(2b)2+(3c)2，這是柯西不等式右邊一組數(shù)的平方和.因此，需要配湊出另一組平方和.

3.絕對值不等式

分析：該題若直接對絕對值中的二次函數(shù)進(jìn)行討論會比較繁瑣，這里提供利用絕對值不等式的簡便解法.

-3.

評注：運(yùn)用不等式求多元函數(shù)最值時(shí)一定要先觀察式子結(jié)構(gòu)，選擇恰當(dāng)?shù)牟坏仁?，再合理配湊找到定值，基本不等式找“積”、“和”為定值，柯西不等式找“方和積”、“積和方”為定值，絕對值不等式找“和”、“差”為定值，同時(shí)必須注意等號滿足的條件.

二、消元法

若函數(shù)各元之間存在相依關(guān)系，可將各元用其中一個(gè)元來表示，便可化為常見的一元函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)采用相應(yīng)的最值求解方法.

例4 已知x,y，z∈R，且x+y+z=1,x2+y2+z2=3，求xyz的最大值.

分析：有關(guān)于x,y，z的兩個(gè)等式，理論上可以找到x,y，z三者的關(guān)系，將三元函數(shù)變成一元函數(shù).

變式(2017全國高中競賽一試)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+2cosy=1，求x-cosy的范圍.

評注：運(yùn)用消元法求最值時(shí)需要根據(jù)題目條件和各元之間的關(guān)系求出最后所剩元的取值范圍.

三、換元法

換元法是指通過引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量，來替換原來某些變量(代數(shù)式)，以便讓問題得以解決的方法.常見的換元方法有代數(shù)換元、三角換元.

1.代數(shù)換元

分析：首先，觀察式子結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)上式為齊次式，并且為對稱式.式子的分子分母同除以x，便可以使用比值換元法.

評注：在第一次換元后，也可用求導(dǎo)法求得最值.

評注：比(倍)值換元在對稱的齊次式中經(jīng)常使用，但需注意對稱式并非一定在各元相等時(shí)取最值，一定要耐心計(jì)算，切不可一心走捷徑.特別提一下，近來年很火的極值點(diǎn)偏移問題，大都可以用比值代換的方式解決.

例6 (差值換元)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值.

分析：令x+y=t,代入x2+y2+xy=1，便可將y消去，變成x的一元二次方程.

2.三角換元

通過三角換元將多元函數(shù)變成三角函數(shù)，而三角函數(shù)的最值利用輔助角公式易求.掌握如下三角函數(shù)的恒等式是有必要的，如sin2α+cos2α=1，sec2α-tan2α=1，tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ(α+β+γ=nπ(n∈Z)).

對于例6，還可以用三角換元解決.

評注：在求解與圓錐曲線有關(guān)的最值問題時(shí)，利用三角換元往往可以降低難度.

變式(2018陜西預(yù)賽)設(shè)x,y∈R,且log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,求x-|y|的最小值.

四、線性規(guī)劃法

在求解最值問題時(shí)，如果條件與最值問題有對應(yīng)的幾何意義，便可利用數(shù)形結(jié)合思想，采用線性規(guī)劃進(jìn)行解決.

圖1

五、向量法

有些多元函數(shù)問題可以構(gòu)造向量，將原來的問題變成向量問題，再利用向量的運(yùn)算來簡化問題.

對于例7的變式，已知x2+y2=4，求S=x+y+2最值還可以利用向量法將x+y看成兩個(gè)向量的內(nèi)積.

例8 已知a,b均為正數(shù)，且ab=a+b，求a+b的最小值.

以上本著簡潔、夠用、減負(fù)的原則只介紹五種方法，但多元函數(shù)問題解法并非僅限于此.解決多元函數(shù)問題時(shí)不應(yīng)局限于某一種做法，有時(shí)需多種方法交互，多樣思維融合，這需要讀者因題而異，仔細(xì)觀察多元函數(shù)的結(jié)構(gòu)和題目條件找到最優(yōu)解法.