一道高考理科數(shù)學(xué)題推廣的進(jìn)一步研究

陜西安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (725000)

趙臨龍

2012年安徽省高考理科數(shù)學(xué)20題如下：

圖1

(Ⅰ)如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4,4)，求此時(shí)橢圓C的方程；

(Ⅱ)證明：直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn).

文[1-2]將橢圓的切線擴(kuò)展為2條，給出新結(jié)論,文[3]將橢圓的焦點(diǎn)擴(kuò)展為2個(gè)，又給出新結(jié)論.文[4]將橢圓推廣到雙曲線，給出相關(guān)結(jié)論.但在這些結(jié)論中，有些是本題的內(nèi)在特性，而有些并非是本題的內(nèi)在特性，甚至有些結(jié)論是錯(cuò)誤的.

文[5]對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行討論，但遺憾是文[5]可能是由于版面緊張，只有討論過(guò)程而沒(méi)有結(jié)論.現(xiàn)結(jié)合相關(guān)問(wèn)題，將橢圓推廣到中心二次曲線，給出相關(guān)結(jié)論，以完善相關(guān)結(jié)論.值得注意是，要揭示本題的內(nèi)在屬性，需要借助射影幾何的知識(shí).

1 知識(shí)準(zhǔn)備

定義[6]如圖2.過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)引二次曲線Γ：

圖2

引理1[5]若點(diǎn)P關(guān)于二次曲線Γ的極線為l，則l上一點(diǎn)Q關(guān)于二次曲線Γ的極線l'必過(guò)點(diǎn)P.

引理2[5]兩極點(diǎn)P、Q對(duì)應(yīng)極線分別是l和l'，則l和l'的交點(diǎn)R關(guān)于二次曲線Γ的極線為直線PQ.

推論1 中心曲線Γ的焦點(diǎn)關(guān)于Γ的極線是其對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線.

2 命題討論

圖3

圖4

證明：如圖，兩切點(diǎn)A、B的極線AQ、BQ相交于極點(diǎn)Q，則極點(diǎn)Q的極線為AB.由于極點(diǎn)Q在焦點(diǎn)F2一側(cè)的準(zhǔn)線上，則極線AB必過(guò)焦點(diǎn)F2.由定理1，得到QF2⊥AB.

推論2 過(guò)中心曲線Γ相應(yīng)于焦點(diǎn)F2一側(cè)的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)Q與Γ的焦點(diǎn)F2的連線垂直于點(diǎn)Q關(guān)于Γ的極線.

圖5

證明：如圖，由于極點(diǎn)Q1的極線為AB，極點(diǎn)F2的極線為其準(zhǔn)線，且兩極線交于點(diǎn)Q2，則極點(diǎn)Q2的極線為Q1F，于是由推論，得到：Q2F2⊥Q1F2.同理，Q1F1⊥Q2F1，則有結(jié)論.

推論3 過(guò)中心曲線Γ相應(yīng)于焦點(diǎn)F1、F2的準(zhǔn)線上的點(diǎn)Q1、Q2關(guān)于Γ的極線分別為Q2F1、Q1F2，則四點(diǎn)Q1、Q2，F(xiàn)1、F2在以Q1Q2為直徑的圓上.

圖6

證明：如圖，點(diǎn)Q1、Q2關(guān)于中心曲線Γ的兩極線PF1、PF2交于Γ于點(diǎn)P，于是以兩極線PF1、PF2交點(diǎn)P為極點(diǎn)關(guān)于中心曲線Γ的極線必過(guò)點(diǎn)Q1、Q2，即Q1、P、Q2三點(diǎn)共線.由定理2，知直線Q1PQ2切中心曲線Γ于點(diǎn)P.現(xiàn)設(shè)當(dāng)點(diǎn)P是中心曲線Γ的切線Q1PQ2時(shí)，則Q1′是極點(diǎn)F1、Q1分別對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線Q1Q1′、