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    由一道函數(shù)題的錯解引發(fā)的探索和思考

    2018-12-04 14:49:08毛雨萱
    新世紀智能(數(shù)學備考) 2018年10期
    關鍵詞:交點開口個數(shù)

    毛雨萱

    一、問題與背景

    在復習導數(shù)在函數(shù)與方程中的應用時,老師給我們布置了這樣一道習題:

    已知函數(shù)f(x)=kx,,求方程f(x)=g(x)在區(qū)間內(nèi)解的個數(shù).

    這道題求解的方法我們都很明確:利用導數(shù)工具畫出函數(shù)的圖象,利用圖象數(shù)形結合求解.但是,在具體操作時,不同的處理方法,得出了大相徑庭的結果,一時間我們都感到有點奇怪和不解.

    二、思路與解法

    我的解題思路是參變分離:

    由 方程f(x)=g(x),得

    于是,h(x)在上單調遞增,在上單調遞減,且于是由圖1得:

    圖1

    同學的思路也是參變分離:

    函數(shù)g(x)在上的近似圖象如圖2所示,

    于是直線OA斜率直線OB斜率kOB=-e2,

    圖2

    三、質疑與探索

    我和同學的解法都是將方程的根轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點來判斷,這是求解有關函數(shù)零點個數(shù)(方程解的個數(shù))問題的通法,看起來都有理有據(jù),但結果卻迥然不同,孰對孰錯?錯在哪里呢?

    我和同學們展開探究和討論.我的解法是將問題轉化為函數(shù)y=k與的圖象的交點個數(shù)來判斷.水平直線y=k與的圖象的交點,根據(jù)的單調性,容易結合圖象作出判斷,我的解法應該是正確的.而同學的解法是斜線f(x)=kx與的圖象的交點僅根據(jù)的單調性是不夠的,必須更精確地畫圖以表現(xiàn)出此函數(shù)的基本性態(tài),我懷疑他的圖象不準確,故而借助MathPac軟件模擬了圖象,如圖3.

    圖3

    果然是由于g(x)的圖象不準確,解題時誤以為是k的最大值,忽視了在A點左側會因曲線向上彎曲(上凸),且曲率較大時,直線y=kx過A點時會和曲線g(x)有另一個交點(在A點左側),此時k的最大值應在與曲線相切時取得.

    經(jīng)過查閱資料和對問題的探究找到問題的根源,由同學的解法知在上是增函數(shù),又,當時在上是上凸函數(shù),于是我們可以作出g(x)的更精確的圖象如圖4,函數(shù)f(x)=kx與的圖象在在內(nèi)有相切的情況.

    圖4

    通過分析,除了我和同學的解法之外,還獲得了一種得到全班都認可的解法,同時也解釋了上述剖析的正確性和上述錯解的根源.

    令f(x)=g(x),即即kx2=lnx,在同一個坐標系中畫出函數(shù)y=kx2和函數(shù)的圖象,如圖5.函數(shù)y=kx2隨著k增大,圖象從開口方向向下,逐漸變化為一條直線(k=0),再變化為開口向上,在開口向上時開口逐漸減?。虼?,圖象在從開口向下逐漸變化的過程中,首先經(jīng)過點此時k=-e2,然后變化為一條直線y=0,此時k=0,當k>0時函數(shù)y=kx2的圖象逐漸變化到經(jīng)過點(e,1),此時與函數(shù)的圖象有兩個交點,然后變化到與函數(shù)y=lnx的圖象只有一個交點(相切),此時,求解過程如下:

    圖5

    當k<-e2時方程無解,當-e2≤k<時方程有一解,當時方程有兩解,當時方程有一解,當時方程無解.

    四、思考和感悟

    從三種解法的探究和分析來看,盡管處理的方法類似,由于方法一轉化成的兩個函數(shù)中有一個是平行于x軸的直線,所以更容易操作,后兩種方法對圖形的要求則更高;同學解法的錯誤原因在于“圖形”的不準確,因為作圖太隨意,沒有把握住圖形的基本特征和關鍵點,所以作出的圖象不能準確地反映出函數(shù)的基本形態(tài),再加上簡單處理,想當然地得出答案,這樣錯誤的發(fā)生就不足為奇了;“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微.”我們在利用數(shù)形結合思想解題時要先從數(shù)的角度研究出函數(shù)的各項性質,再畫出函數(shù)準確的圖象,這樣才能真正將數(shù)與形完美結合起來為我們所用.

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