“隱圓”發(fā)現(xiàn)之旅

郜杰翔

最近我做到這樣一道題目，思考了很多，很受啟發(fā)．跟大家一起分享．

例已知△ABC的三邊長為a，b，c，若a2＋b2＋2c2＝8，則△ABC面積的最大值為________．

三角形面積的問題首先想到的是面積公式的選用，常用面積公式有和

圖1

方法二：常規(guī)處理方法還有依據(jù)余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC和面積公式借助a，b對稱的特征，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃翁幚恚梢缘玫絊的取值范圍：

此時(shí)，進(jìn)一步求解的難度很大．作為填空題，在萬不得已的情況下只能連蒙帶猜．

由a，b對稱，令a＝b，

用這兩種方法能得到結(jié)果確實(shí)都不容易，其實(shí)如果將條件a，b，c中的一個(gè)量看作是常量，那么條件就變得相對熟悉．例如將c看作常量，則有CB2＋CA2＝8－2c2，即動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離平方和為定值，由此本題還有一種看似普通卻非常神奇的做法——解析法．

方法三：以邊AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy，

注：本解法先將c視作常數(shù)，然后進(jìn)行求解．

【課本探源】

（蘇教版選修2-1P．64習(xí)題2．6（2）第1題）已知線段AB長為2，動(dòng)點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離的平方和為10，求M的軌跡方程．

這道課本題，相信同學(xué)們都能自如地運(yùn)用解析法求解．我們不難發(fā)現(xiàn)上述模擬題可以轉(zhuǎn)化為：

已知線段AB長為c，動(dòng)點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離的平方和為8－2c2，求M的軌跡方程．

【構(gòu)建模型】

從上述研究中，不難發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

若線段AB長為定值，動(dòng)點(diǎn)M滿足MA2＋MB2＝λ（λ為定值），則M的軌跡為圓．

特別地，當(dāng)λ＝AB2時(shí)，M的軌跡為以AB為直徑的圓．

【本質(zhì)探索】

那么為什么“線段AB長為定值，動(dòng)點(diǎn)M滿足MA2＋MB2＝λ（λ為定值），則M的軌跡為圓”呢？

【模型應(yīng)用】

1．已知A，B為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，且AB＝2．若在平面內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P同時(shí)滿足：①，②PA2＋PB2＝λ（λ∈R），則λ的取值集合為____________．

答案：

分析：該題條件①屬于我們所熟悉的阿波羅尼斯圓，如果知道條件②也可以轉(zhuǎn)化為圓，題目就變成了圓與圓的位置關(guān)系問題，利用幾何關(guān)系巧妙得解．

2．已知圓O：x2＋y2＝4，點(diǎn)P（0，1），圓上的兩動(dòng)點(diǎn)A，B滿足PA⊥PB，AB的中點(diǎn)記為M，則PM的取值范圍為________．

答案：

分析：這道題看似無從下手，實(shí)際上也只是上述模型的變形而已．

由題意知，該題的定點(diǎn)是O，P兩點(diǎn)．

根據(jù)圓的性質(zhì)，OM2＋MA2＝OA2＝4．

又△APB是直角三角形，M是斜邊AB的中點(diǎn)，所以MP＝MA．

所以O(shè)M2＋MP2＝4．即上述模型，從而巧解上述問題．

總結(jié)在考查上述模型時(shí)，命題人總會(huì)想方設(shè)法將條件進(jìn)行“著裝打扮”，隱藏我們熟知的圓，這就需要我們揭開題目“神秘的面紗”探索本質(zhì)．

【模型推廣】

1．如圖，點(diǎn)C為半圓的直徑AB延長線上一點(diǎn)，AB＝BC＝2，過動(dòng)點(diǎn)P作半圓的切線PQ．若，則△PAC的面積的最大值為________．

圖2

答案：

而PQ2＝OP2－1，

則PC2＝2OP2－2，即2PO2－PC2＝2．

思考：此時(shí)O，C均為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足上述關(guān)系式時(shí)，其軌跡是圓（或半圓）嗎？

通過求軌跡方程的一般步驟不難得出，答案是肯定的．

由此得出

分析：這道題難住了很多同學(xué)，他們在考慮三角形面積如何表示時(shí)陷入了僵局．然而這個(gè)題目里也隱藏著一個(gè)美妙的圓．

記半圓的圓心為O，則OQ⊥QP．

推論1若線段AB長為定值，動(dòng)點(diǎn)M滿足αMA2＋βMB2＝λ（λ為定值且α＋β≠0），則M的軌跡為圓．

只要以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)用解析法就可以證明此推論．

2．（2017年江蘇高考卷第13題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－12，0），B（0，6），點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上，若，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．

答案：

分析：盡管條件中線段AB長仍為定值，但另一條件卻變成了．我們先退一步想，動(dòng)點(diǎn)P滿足時(shí)，其軌跡是圓（或半圓）嗎？

答案也是肯定的！

又AB是定值，可得|AP|2＋|BP|2＝220是定值，

則該模型又回到了最初的模型．

由此得出

推論2若線段AB長為定值，動(dòng)點(diǎn)M滿足（λ為定值），則M的軌跡為圓．

特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)M的軌跡為以AB為直徑的圓．

此推論可用求軌跡方程的基本方法證明，且本質(zhì)與原先的模型相同．

【模型啟示】

許多試題的命制思路都是從同一類式子出發(fā)，本質(zhì)都是一樣的，只是表達(dá)的形式不盡相同．這就要求我們學(xué)會(huì)“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，應(yīng)對復(fù)雜問題才能揮灑自如．