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    四招突破圓錐曲線離心率問(wèn)題

    2018-12-04 14:49:02李連興
    關(guān)鍵詞:準(zhǔn)線雙曲線橢圓

    李連興

    離心率是聯(lián)結(jié)圓錐曲線的多種幾何性質(zhì)的“核按鈕”,是高考考查的熱點(diǎn).求圓錐曲線的離心率有以下四種常見(jiàn)方法.

    一、直接解出基本量

    解(1)由題設(shè)知,a2=b2+c2,e=,由點(diǎn)(1,e)在橢圓上,得

    評(píng)注這類(lèi)題一般都能夠根據(jù)已知條件直接解出a,c,從而求得e.

    二、從圓錐曲線定義出發(fā)

    例2已知點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),且|PF1|=e|PF2|,則該雙曲線的離心率e的取值范圍為_(kāi)_______.

    解析很多同學(xué)感到疑惑的是,題目中看不出有明顯的能形成不等關(guān)系的量.我們看到有條件|PF1|=e|PF2|.可以嘗試用雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

    由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2a,

    此時(shí),我們要用到一個(gè)關(guān)于雙曲線的比較重要的結(jié)論:|PF2|≥c-a.(可以畫(huà)個(gè)草圖,作出與F2相應(yīng)的準(zhǔn)線,則|PF2|的大小與P到準(zhǔn)線的距離成正比)

    評(píng)注雙曲線上的點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離的最小值是在頂點(diǎn)處取到的,這個(gè)結(jié)論看似簡(jiǎn)單,實(shí)則非常重要,建立不等關(guān)系后,用到了二次不等式的知識(shí),本文的第四部分會(huì)重點(diǎn)介紹建立齊次方程求解離心率的方法.

    三、從圖形特征入手

    這類(lèi)問(wèn)題要畫(huà)出圖形并研究圖形的幾何特征.要將圖形的幾何特征分析清楚以便找出a,b,c的關(guān)系.如果幾何特征不能看清,則可能帶來(lái)繁瑣的計(jì)算.

    例3在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,以O(shè)為圓心,a為半徑的圓,過(guò)點(diǎn)P作圓的兩切線互相垂直,則離心率e=________.

    解析如圖1,切線PA,PB互相垂直,又OA⊥PA,OB⊥PB,所以四邊形OAPB是正方形,進(jìn)而△OAP是等腰直角三角形,故,解得

    圖1

    點(diǎn)評(píng)此類(lèi)題目應(yīng)通過(guò)畫(huà)圖分析幾何特征,注意圓、等邊三角形、菱形、正方形等特殊圖形中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,找到解題突破口.

    四、從代數(shù)方程突破

    此類(lèi)題目通常要根據(jù)條件(尤其要善于利用圓錐曲線的方程)列式,變形,最終得到關(guān)于a,c的齊次方程,解出,即e的值.

    例4如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A1,A2,B1,B2為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn),F(xiàn)為其右焦點(diǎn),直線A1B2與直線B1F相交于點(diǎn)T,線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn),則該橢圓的離心率為_(kāi)_______.

    圖2

    解析直線A1B2的方程為:;直線B1F的方程為:

    點(diǎn)評(píng)本題的關(guān)鍵是要根據(jù)點(diǎn)M在橢圓上,求出點(diǎn)M的坐標(biāo),代入橢圓方程,得到關(guān)于a,c的齊次方程,進(jìn)而求出離心率.本題的解法思路代表一類(lèi)求離心率問(wèn)題,具有一般性,要認(rèn)真體會(huì),觸類(lèi)旁通.

    綜上,求離心率的四種方法,其實(shí)質(zhì)是利用所給條件,結(jié)合圖形的幾何特征,列出關(guān)于a,c的方程或不等式(組),進(jìn)而求出離心率或其取值范圍,體現(xiàn)了解析幾何處理問(wèn)題的基本思想方法.可以說(shuō),四法歸一,數(shù)形結(jié)合.

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