如何構(gòu)造函數(shù)

戈 峰

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)．解決此類問題主要是把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，而關(guān)鍵是如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)證明不等式．現(xiàn)在歸納幾種常見的構(gòu)造函數(shù)的方法，具體如下．

一、常用模型構(gòu)造函數(shù)

例1設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且2f（x）＋xf′（x）＞0，求證：f（x）＞0在R上恒成立．

解答由已知，令x＝0得f（x）＞0．

令g（x）＝x2f（x），則g′（x）＝x［2f（x）＋xf′（x）］，

① 當(dāng)x＞0時(shí)，有所以函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）＝0，從而f（x）＞0．

② 當(dāng)x＜0時(shí)，有所以函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＞g（0）＝0，從而f（x）＞0．

綜上，f（x）＞0在R上恒成立．

小結(jié)此題構(gòu)造函數(shù)g（x）＝x2f（x），g′（x）＝x［2f（x）＋xf′（x）］，與條件2f（x）＋xf′（x）＞0密切相關(guān)，從條件特征入手，聯(lián)想到常用求導(dǎo)公式模型，是我們構(gòu)造函數(shù)的常用方法之一．現(xiàn)歸納兩類常用模型：

1．關(guān)系式為“加”型

（1）若已知f′（x）＋f（x）≥0（≤0），構(gòu)造［exf（x）］′＝ex［f′（x）＋f（x）］；

（2）若已知xf′（x）＋f（x）≥0（≤0），構(gòu)造［xf（x）］′＝xf′（x）＋f（x）；

（3）若已知xf′（x）＋nf（x）≥0（≤0），構(gòu)造［xnf（x）］′＝xnf′（x）＋nxn－1f（x）＝xn－1［xf′（x）＋nf（x）］．

2．關(guān)系式為“減”型

二、作差（商）構(gòu)造函數(shù)

綜上可知，當(dāng)x＞－1時(shí)，有l(wèi)n（x＋1）≤x．

小結(jié)證明f（x）≥g（x）對x∈D恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為f（x）－g（x）≥0對x∈D恒成立問題，等價(jià)于，即構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）－g（x），證明F（x）min≥0；同樣的，若g（x）＞0時(shí)，也可構(gòu)造函數(shù)，證明G（x）min≥1．

三、用常見不等式構(gòu)造函數(shù)

在學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)不等式ex≥x＋1，x－1≥lnx在解題中會(huì)經(jīng)常遇到，此組不等式可用作差構(gòu)造函數(shù)證明，從圖象中也很容易直觀理解（如圖1）．

圖1

若令t＝x＋1，不等式的右側(cè)變?yōu)閘nt≤t－1；

四、形似構(gòu)造函數(shù)

例3已知函數(shù)a＞1．證明：若a＜5，則對任意x1，x2∈ （0，＋ ∞），x1≠x2，有

小結(jié)此題經(jīng)過等價(jià)變換后得到f（x1）＋x1＞f（x2）＋x2，兩邊有相似的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）＋x，研究g（x）的性質(zhì)作為突破口．對于本身具有對稱性的雙變量不等式證明問題，通過等價(jià)變形，利用相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)是比較常見的．

五、換元法構(gòu)造函數(shù)

例4已知函數(shù)g（x）＝logax（a＞0，且a≠1），其中a為常數(shù)．如果h（x）＝f（x）＋g（x）是增函數(shù)，且h′（x）存在零點(diǎn)（h′（x）為h（x）的導(dǎo)函數(shù)）．

（1）求a的值；

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函數(shù)y＝g（x）圖象上的兩點(diǎn)，g′（x0）＝為g（x）的導(dǎo)函數(shù)），證明：x1＜x0＜x2．

小結(jié)多元變量證明問題首先可以進(jìn)行等價(jià)變形，根據(jù)變量特征進(jìn)行換元達(dá)到減元的目的．此題中要證明變形后，剩下的變量x1，x2又是分式齊次的，容易想到令來換元．

六、主元法構(gòu)造函數(shù)

令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，那么r′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x2］上單調(diào)遞增．當(dāng)x1＜x2時(shí)，r（x1）＜r（x2）＝0，即x1lnx2－x1lnx1－x2＋x1＜0，從而x0＞x1得到證明．對于同理可證，所以x1＜x0＜x2．

小結(jié)當(dāng)變量比較多時(shí)，往往選擇其中某個(gè)變量為主元，對其他變量“視而不見”，以達(dá)到減元目的．

在觀察不等式結(jié)構(gòu)特征、選擇何種方法構(gòu)造函數(shù)前，很多題目需要對不等式進(jìn)行變形，同學(xué)們不僅要關(guān)注變形的一些技巧問題，還要特別注意在不等式變形過程中的等價(jià)性問題，比如去分母注意不等號是否需要變向；變換過程中自變量的范圍有沒有發(fā)生改變；換元后有沒有注意到新元的范圍等等．