從代數(shù)式運(yùn)算角度看數(shù)學(xué)問題

摘 要 初中數(shù)學(xué)中代數(shù)式運(yùn)算看似是一種形式運(yùn)算，實(shí)際它在一定程度上可以簡化計(jì)算，也可通過運(yùn)算看清問題本質(zhì)，甚至可以把問題一般化，從而把問題推廣，本文通過具體實(shí)例展示從代數(shù)式運(yùn)算看數(shù)學(xué)問題。

關(guān)鍵詞 代數(shù)式運(yùn)算；數(shù)學(xué)問題

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）10-0072-01

問題一：兩位數(shù)相乘，十位相同，個(gè)位相加等于10。

例如：14×16=224；13×17=221；22×28=616；35×35=1225

上式運(yùn)算規(guī)律屢見不鮮。筆者從代數(shù)式運(yùn)算角度加以說明。

解：假設(shè)被乘數(shù)與乘數(shù)十位都是x，個(gè)位分別是y和z，則（10x+y）（10x+z）=100x（x+1）+yx，yz就是被乘數(shù)與乘數(shù)的個(gè)位的乘積，100x（x+1）表示x（x+1）落在百位位置。那么當(dāng)個(gè)位相加不足十或超過十如何處理，現(xiàn)假設(shè)y+z-10=m（m≠0），則（10x+y）（10x+z）=100x（x+1）+yz+100xm

如何看上述代數(shù)運(yùn)算，例如26×27，則x=2，y=6，z=7，m=3。我們同樣運(yùn)用上述規(guī)律6×7=42，2×3=6，結(jié)果642，但是還要加100xm=10×2×3=60，所以最終結(jié)果642+60=702。

那么對于三位數(shù)乘以三位數(shù)，百位數(shù)相等，去掉百位數(shù)后兩數(shù)相加等于100。例如234×266。運(yùn)算規(guī)律為34×66=2244，2×3=6，結(jié)果為234×266=62244，代數(shù)運(yùn)算原理同上。

數(shù)與數(shù)的運(yùn)算在很多情況下都有簡便快速的運(yùn)算方法，在小學(xué)就經(jīng)常訓(xùn)練簡便運(yùn)算，甚至有很多書籍專門介紹簡便運(yùn)算，究其原理，大多可以從代數(shù)運(yùn)算層面解釋。

問題二：

當(dāng)然此類問題是高中數(shù)列中求和問題，在初中數(shù)學(xué)競賽中可能出現(xiàn)，可從代數(shù)運(yùn)算角度思考。

解：因?yàn)?所以

本題先從代數(shù)式運(yùn)算出發(fā)，通過運(yùn)算完美地開方，關(guān)鍵開方后實(shí)現(xiàn)裂項(xiàng)相消，從上述解答來看，已對問題作了推廣。

問題三：當(dāng) ， ，代數(shù)式 的值是多少？

解： ，代入a，b的值，則原式

在初中階段，代數(shù)式求值運(yùn)算是一類常見的題型，如果直接代數(shù)運(yùn)算，求解過程將顯得復(fù)雜、粗心的話還將陷入絕境，若通過代數(shù)運(yùn)算先把代數(shù)式化簡，再代數(shù)，才能真正實(shí)現(xiàn)撥云見霧，給人一種柳暗花明的感覺。

問題四：求解方程： 。

解：因?yàn)榇朔匠虨榈箶?shù)方程且x=0不是方程的解。方程兩邊同時(shí)x2得 ，整理得

設(shè) ，則 ，原方程化為y2+y-6=0，解得y=2或y=-3。當(dāng)y=2時(shí)，解得x=1；當(dāng)y=-3時(shí)，解得 或 。

上述方程從結(jié)構(gòu)上看是一元四次方程，但通過代數(shù)運(yùn)算和換元之后變成一元二次方程，問題變得清晰明了。初中階段絕大部分無從下手的方程基本都是熟悉的陌生人，通過代數(shù)運(yùn)算，往往“原形畢露”。

問題五：魔術(shù)師的數(shù)學(xué)：魔術(shù)師讓觀眾任意寫一個(gè)四位數(shù)（四個(gè)數(shù)字不要都相同），然后用這四位數(shù)的四個(gè)數(shù)字再隨意組成另外一個(gè)四位數(shù)，接著兩四位數(shù)相減（大數(shù)減小數(shù)），最后讓觀眾心中記住所得差中的任意一位數(shù)字，把剩下數(shù)告訴你魔術(shù)師。例如：四位數(shù)一：8745；調(diào)序后四位數(shù)二：4758；相減得3987；心中記住：7；余下的告訴魔術(shù)師：398；那么魔術(shù)師怎么能猜透你心中的7呢？代數(shù)原理如下：

假設(shè)四位數(shù)為 ，不妨調(diào)一下順序 ，那么abcd-dcba=9（111a+

10b-10c-111d）

可見結(jié)果必為9的倍數(shù)，那么其各位數(shù)字之和也是9的倍數(shù)，魔術(shù)師就是抓住此必然規(guī)律。

數(shù)學(xué)魔術(shù)蘊(yùn)含必然的數(shù)學(xué)規(guī)律，需轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而此時(shí)的數(shù)學(xué)問題往往是代數(shù)問題，通過對代數(shù)問題的分析，抽絲剝繭，才能揭開魔術(shù)的神秘面紗。

教學(xué)反思。初中代數(shù)式運(yùn)算貫穿數(shù)與式的運(yùn)算、方程與不等式求解、函數(shù)問題，幫助學(xué)生從數(shù)量關(guān)系角度準(zhǔn)確清晰地認(rèn)識(shí)、描述以及理解現(xiàn)實(shí)世界。但是如果只追求代數(shù)式運(yùn)算的科學(xué)性和系統(tǒng)性，過分追求“形式化”，忽略其與生活的聯(lián)系和應(yīng)用價(jià)值，這將使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)興趣，本文通過代數(shù)式運(yùn)算角度闡述數(shù)學(xué)問題的解答，尋求解答規(guī)律，展示其原理，一定程度上讓學(xué)習(xí)感受到代數(shù)式運(yùn)算的實(shí)用性，加強(qiáng)學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的理解。實(shí)際上，初中教學(xué)不應(yīng)停留在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)層面，應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考，用數(shù)學(xué)的眼光探索數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，甚至看清世界。

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作者簡介：程足根（1967-），男，江西南昌，學(xué)歷：本科，職稱：中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：代數(shù)數(shù)論。