高階線(xiàn)性比例制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解

赫泰龍，陳萬(wàn)春，周浩

北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100083

比例導(dǎo)引是最經(jīng)典的制導(dǎo)律，由于其簡(jiǎn)潔、有效和易于物理實(shí)現(xiàn)，目前世界上戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈幾乎都采用比例導(dǎo)引制導(dǎo)[1-3]。脫靶量是設(shè)計(jì)分析制導(dǎo)系統(tǒng)的關(guān)鍵性能指標(biāo)，通過(guò)研究線(xiàn)性化比例制導(dǎo)系統(tǒng)，Zarchan[1]提出了零控脫靶量的概念，用于解釋比例導(dǎo)引，還用于推導(dǎo)和理解其他先進(jìn)的制導(dǎo)律[3-6]。直接對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)微分方程進(jìn)行數(shù)值仿真是求解脫靶量的通用方法，但是伴隨法才是戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)最主要的分析設(shè)計(jì)工具[1,7-9]。對(duì)于一階線(xiàn)性比例制導(dǎo)系統(tǒng)，當(dāng)有效導(dǎo)引比為正整數(shù)時(shí)，利用伴隨方程可直接得到脫靶量的解析解[1,10]；但是對(duì)于一般的高階制導(dǎo)系統(tǒng)，并不存在脫靶量的解析解。另外，比例導(dǎo)引伴隨系統(tǒng)的初始時(shí)刻是該微分方程的正則奇點(diǎn)[11-12]，在伴隨仿真時(shí)需要在伴隨時(shí)間上增加一個(gè)小量來(lái)避免奇異，不過(guò)大量的應(yīng)用算例表明伴隨仿真結(jié)果是可靠的[1]。

冪級(jí)數(shù)法在求解特殊線(xiàn)性微分方程、非線(xiàn)性微分方程和實(shí)際工程問(wèn)題中都有重要應(yīng)用[13-17]。但是利用冪級(jí)數(shù)法來(lái)研究比例導(dǎo)引制導(dǎo)系統(tǒng)的工作還很少，文獻(xiàn)[11]給出了一階制導(dǎo)系統(tǒng)冪級(jí)數(shù)解的簡(jiǎn)單示例；Holt[18]研究了一個(gè)特殊的三階比例制導(dǎo)系統(tǒng)，該系統(tǒng)由3個(gè)不同帶寬的單延遲環(huán)節(jié)表示，并且得到了脫靶量的冪級(jí)數(shù)解。文獻(xiàn)[11,18]的工作都是針對(duì)特殊的制導(dǎo)系統(tǒng)，缺乏通用性,都沒(méi)有給出冪級(jí)數(shù)解的收斂性證明；也沒(méi)有研究?jī)缂?jí)數(shù)部分和逼近精確解的速度[15,19]、精度和適用區(qū)間。

本文針對(duì)一般的高階線(xiàn)性比例導(dǎo)引制導(dǎo)系統(tǒng)，推導(dǎo)得到了冪級(jí)數(shù)和指數(shù)函數(shù)e-kt乘積的形式的脫靶量的解，并證明了該冪級(jí)數(shù)解的收斂性。然后給出了一階系統(tǒng)和高階二項(xiàng)式系統(tǒng)冪級(jí)數(shù)解簡(jiǎn)化遞推關(guān)系?？紤]實(shí)際應(yīng)用，本文還重點(diǎn)分析了參數(shù)k對(duì)冪級(jí)數(shù)解收斂速度的影響，同時(shí)對(duì)比伴隨仿真結(jié)果，給出了參數(shù)k的選擇方法。冪級(jí)數(shù)解為比例制導(dǎo)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)評(píng)估提供了一種新的手段。

1 線(xiàn)性比例導(dǎo)引制導(dǎo)系統(tǒng)及脫靶量

考慮一般的線(xiàn)化比例導(dǎo)引制導(dǎo)系統(tǒng)，研究目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)和導(dǎo)彈初始瞄準(zhǔn)誤差角引起的脫靶量。圖1給出了原線(xiàn)化比例導(dǎo)引制導(dǎo)回路以及伴隨系統(tǒng)框圖，脫靶量則可以由伴隨系統(tǒng)一次仿真得到[1]。N為有效導(dǎo)引比，δnT為目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)化而來(lái)得脈沖輸入，δHE為導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)誤差角初始狀態(tài)轉(zhuǎn)化而來(lái)的脈沖輸入，VC為導(dǎo)彈和目標(biāo)接近速度，nL為導(dǎo)彈活度的加速度，伴隨系統(tǒng)中t為剩余飛行時(shí)間或總的飛行時(shí)間，nT為目標(biāo)機(jī)動(dòng)水平大小，VM為導(dǎo)彈速度，θHE為導(dǎo)彈初始瞄準(zhǔn)誤差角，MHE為導(dǎo)彈初始瞄準(zhǔn)誤差角引起的脫靶量，MnT為目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)引起的脫靶量；記伴隨系統(tǒng)狀態(tài)分別為z1、z2、zu和ζ，則可得到伴隨系統(tǒng)微分方程為

(1)

圖1 線(xiàn)性比例導(dǎo)引制導(dǎo)系統(tǒng)及其伴隨系統(tǒng)Fig.1 Linear proportional navigation guidance system and adjoint system

式中:z1的初值為1,是由伴隨系統(tǒng)的脈沖輸入轉(zhuǎn)化而來(lái)。該伴隨系統(tǒng)輸出得到脫靶量為

(2)

G(s)表示一般的穩(wěn)定傳遞函數(shù)，可能包含導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)、噪聲濾波、飛控系統(tǒng)等環(huán)節(jié)；通常G(s)可以表示為

(3)

即G(s)是由Q1個(gè)一階環(huán)節(jié)和Q2個(gè)二階環(huán)節(jié)組成，αi、ξj和βj為各環(huán)節(jié)特征參數(shù)系數(shù)，無(wú)量綱的正數(shù)；不失一般性，令

(4)

T為參考時(shí)間常數(shù)或總制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)，具有時(shí)間的量綱。為了推導(dǎo)一般形式的脫靶量的解，將G(s)關(guān)于s分母多項(xiàng)式展開(kāi)可得到

(5)

其中:Q=Q1+2Q2、λ0，λ1，…，λQ為多項(xiàng)式系數(shù)，由式(3)中的αi、ξj和βj唯一確定，結(jié)合式(4)可以得到

λ0=1,λ1=1

(6)

進(jìn)一步，便于應(yīng)用，將伴隨式(1)、式(2)進(jìn)行無(wú)量綱化：

(7)

(8)

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單求導(dǎo)運(yùn)算可以得出，無(wú)量綱的伴隨狀態(tài)關(guān)于無(wú)量綱的時(shí)間的微分方程與式(1)相同，只需將傳遞函數(shù)替換為

(9)

因此，為了簡(jiǎn)化表達(dá)式，如無(wú)特別說(shuō)明，后文中無(wú)量綱或歸一化的變量仍使用原變量符號(hào)，方程的求解和結(jié)果討論都是針對(duì)無(wú)量綱化的變量。

2 伴隨方程的冪級(jí)數(shù)解

2.1 脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)的系數(shù)的遞推關(guān)系

一般地，伴隨系統(tǒng)微分式(1)不存在由有限項(xiàng)初等函數(shù)構(gòu)成的解析解，但是當(dāng)G(s)為一階環(huán)節(jié)且有效導(dǎo)引比N為正整數(shù)時(shí)，利用Laplace變換可以得到式(1)解析解[1]，N等于3、4和5的結(jié)果(未進(jìn)行歸一化)如表1所示。

表1 N為正整數(shù)時(shí)一階制導(dǎo)系統(tǒng)伴隨方程的解析解

注意表1中解析解都是e指數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)乘積的形式，受此啟發(fā)，當(dāng)N不是正整數(shù)或者制導(dǎo)系統(tǒng)的階數(shù)是高階時(shí)，可以求解和探討無(wú)量綱式(1)如下形式的冪級(jí)數(shù)解：

(10)

(11)

(12)

(13)

式中:an、bn、cn、dn分別為各級(jí)數(shù)的待定系數(shù)，參數(shù)k為指數(shù)項(xiàng)衰減常數(shù)，可用來(lái)調(diào)節(jié)冪級(jí)數(shù)解整體收斂速度，這些冪級(jí)數(shù)都假設(shè)為收斂的。注意ζ的級(jí)數(shù)解中含有tQ項(xiàng)，這是因?yàn)殛P(guān)于ζ動(dòng)態(tài)是由傳遞函數(shù)式(9)來(lái)描述的，等價(jià)于如下微分方程：

(14)

式中:ζ(q)為變量ζ的q階導(dǎo)數(shù)。對(duì)z1、ζ、z2和zu級(jí)數(shù)求導(dǎo)可得

(15)

式中:A和C及其上下標(biāo)分別表示排列數(shù)和組合數(shù)。

將式(10)～式(13)及其相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)式(15)代入微分式(1)和式(14)，等號(hào)兩側(cè)的指數(shù)部分消掉，利用關(guān)于時(shí)間多項(xiàng)式各次冪的系數(shù)相等，并結(jié)合伴隨方程的狀態(tài)初值，可以得到如下遞推關(guān)系：

(16)

當(dāng)n≥1時(shí)

(17)

式中:

Bn和Pn都是中間變量，用于簡(jiǎn)化表達(dá)式書(shū)寫(xiě)；A和C及其上下標(biāo)仍然表示排列數(shù)和組合數(shù);cn和dn分別為歸一化脫靶量MHE和MnT冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。

2.2 脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)的收斂半徑為無(wú)窮大

定理對(duì)任意參數(shù)k，脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)的收斂半徑為無(wú)窮大。

證明由于e-kt在t=0處泰勒展開(kāi)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是無(wú)窮大，容易證明如果參數(shù)k=0時(shí)，由遞推關(guān)系式(16)和式(17)所確定的冪級(jí)數(shù)式(10)～式(13)是收斂的，則k為任意數(shù)時(shí)，由同樣遞推關(guān)系所確定的冪級(jí)數(shù)仍然收斂，且收斂半徑相同。

記狀態(tài)向量

(18)

則微分方程式(1)和式(14)可以寫(xiě)成如下?tīng)顟B(tài)空間描述：

(19)

式中:

(20)

A(t)=

(21)

以及狀態(tài)初值

(22)

顯然，矩陣R的特征值只有0，任何正整數(shù)都不是R的特征值；函數(shù)矩陣A(t)是常值矩陣，在t=0處是解析的，而且其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)收斂半徑為無(wú)窮大，則由文獻(xiàn)[14]中定理6.1可得，微分方程式(19)的解可以表示為收斂半徑為無(wú)窮大的冪級(jí)數(shù)：

(23)

式中:Xn為向量值級(jí)數(shù)系數(shù)，維數(shù)與X相同。將式(23)代入式(19)，利用冪級(jí)數(shù)恒等條件，可以得到遞推關(guān)系為

(24)

事實(shí)上，t=0是微分式(1)的正則奇點(diǎn)，在t=0處式(1)的解是解析的，也就是在t=0的鄰域內(nèi)，式(1)的解可以表示為收斂的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，而且由于R和A(t)的特殊性，或者從遞推式(24)也可以直接得到，冪級(jí)數(shù)解的收斂半徑為無(wú)窮大。

為了便于研究脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解的性質(zhì)，本文還會(huì)用到級(jí)數(shù)的前n+1項(xiàng)部分和Sn與級(jí)數(shù)的n+1項(xiàng)以后的余式Rn。例如，當(dāng)研究目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)引起的脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解式(13)時(shí),有前面已經(jīng)證明冪級(jí)數(shù)解收斂半徑為無(wú)窮大，這意味著在我們關(guān)心的歸一化的時(shí)間區(qū)間[0,tf]里，冪級(jí)數(shù)是一致收斂的，可以用部分和Sn來(lái)一致地逼近脫靶量真實(shí)的解，而且理論上可以以任意精度逼近，只要n足夠大。

(25)

3 脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解討論分析

本節(jié)將針對(duì)一階環(huán)節(jié)、高階二項(xiàng)式環(huán)節(jié)以及一般的高階環(huán)節(jié)等制導(dǎo)系統(tǒng)，研究其在特定參數(shù)k時(shí)的脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解，并對(duì)比伴隨仿真結(jié)果進(jìn)行討論分析。

3.1 一階環(huán)節(jié)制導(dǎo)系統(tǒng)

考慮如下一階滯后環(huán)節(jié)的制導(dǎo)系統(tǒng)：

(26)

這里G(s)是歸一化后傳遞函數(shù)，可以用來(lái)代表簡(jiǎn)化的飛控系統(tǒng)或噪聲濾波等環(huán)節(jié)；相應(yīng)地，Q=1,λ0=1,λ1=1，代入一般的高階系統(tǒng)冪級(jí)數(shù)解待定系數(shù)的遞推關(guān)系式(16)和式(17)，可得如下遞推關(guān)系:

(27)

當(dāng)n≥1時(shí)

(28)

注意到bn遞推中含有(1-k)，如果取參數(shù)k=1，則遞推關(guān)系可以得到很大程度簡(jiǎn)化，而且經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)列技巧變換，可以得出級(jí)數(shù)z2和zu的待定系數(shù)cn和dn的遞推關(guān)系:

(29)

(30)

以及cn和dn的通項(xiàng)表達(dá)式分別為

(31)

(32)

顯然，當(dāng)N為大于2的正整數(shù)時(shí)成立

(33)

所以當(dāng)N為正整數(shù)時(shí)，歸一化脫靶量z2和zu的冪級(jí)數(shù)部分就轉(zhuǎn)化為有限項(xiàng)的多項(xiàng)式，從而得到脫靶量的解析解；特別地，當(dāng)取N=3,4,5時(shí)，就可以得到表1中所列出的結(jié)果，也就是用冪級(jí)數(shù)法同樣可以得到解析解。

當(dāng)N為正整數(shù)時(shí)，脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解就是有限項(xiàng)的解析解，與伴隨仿真結(jié)果重合，當(dāng)N為非正整數(shù)時(shí)，得不到脫靶量的解析解。所以作為算例，這里給出N=3.5和N=4.5時(shí)脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解部分和Sn與伴隨仿真結(jié)果的對(duì)比，如圖2所示。

圖中橫軸和縱軸分別表示歸一化的時(shí)間和脫靶量。由于脫靶量解中指數(shù)部分隨著時(shí)間快速衰減，而且主要研究導(dǎo)彈末段自尋的制導(dǎo)回路，所以重點(diǎn)關(guān)心歸一化的時(shí)間在10以?xún)?nèi)的脫靶量情況。從圖中可以看出，一階制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解收斂速度很快，取級(jí)數(shù)的前7項(xiàng)部分和就可以很好的逼近精確脫靶量，特別是在總飛行時(shí)間較小的時(shí)候。

參數(shù)k表示級(jí)數(shù)中指數(shù)部分衰減常數(shù)，對(duì)于一階制導(dǎo)系統(tǒng)傳遞函數(shù)式(26)，其齊次解或脈沖響應(yīng)輸出的衰減常數(shù)正是1，仿真結(jié)果顯示也符合脫靶量隨飛行時(shí)間衰減的速率，因此選擇參數(shù)k=1是合理的，而且還直接得到了待定系數(shù)cn和dn的通項(xiàng)，以及N為正整數(shù)時(shí)脫靶量的有限項(xiàng)解析表達(dá)式。這里只給出目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)引起的脫靶量結(jié)果，導(dǎo)彈初始瞄準(zhǔn)角誤差引起脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解性質(zhì)類(lèi)似，后文算例也只討論目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)脫靶量。

圖2 一階制導(dǎo)系統(tǒng)目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)脫靶量的伴隨仿真結(jié)果與冪級(jí)數(shù)解部分和Fig.2 Adjoint simulation results and partial sums of power series solutions for single-lag guidance system in step target maneuver

3.2 高階二項(xiàng)式環(huán)節(jié)制導(dǎo)系統(tǒng)

考慮如下歸一化的Q階二項(xiàng)式制導(dǎo)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

(34)

是由Q個(gè)相同的一階環(huán)節(jié)乘積得到，形式簡(jiǎn)單，常用于高階制導(dǎo)系統(tǒng)性能的初步分析[1]。對(duì)比式(9)可以得到

參考3.1節(jié)一階制導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)k的選取，考慮到Q階二項(xiàng)式傳遞函數(shù)式(34)齊次響應(yīng)指數(shù)衰減常數(shù)為Q，選取k=Q符合二項(xiàng)式制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量隨飛行時(shí)間衰減的速率，而且經(jīng)過(guò)排列組合等運(yùn)算，可以將通用的待定系數(shù)的遞推關(guān)系式(17)簡(jiǎn)化，即當(dāng)n≥1時(shí)

(35)

(36)

(37)

進(jìn)一步利用一些技巧變換，可以得到n≥1時(shí)，待定系數(shù)cn和dn的等效遞推關(guān)系為

(38)

(39)

當(dāng)然，在求解cn的前提下，利用式(35)中的遞推關(guān)系求解dn計(jì)算量更少。

3.3 一般的高階制導(dǎo)系統(tǒng)

對(duì)于一般的高階制導(dǎo)系統(tǒng)，可以利用通用的待定系數(shù)的遞推關(guān)系式(16)和式(17)，得到脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)；以五階制導(dǎo)系統(tǒng)為例，傳遞函數(shù)G(s)分別選取二項(xiàng)式形式：

(40)

各時(shí)間常數(shù)不等的一階環(huán)節(jié)乘積形式：

(41)

以及三個(gè)一階環(huán)節(jié)和一個(gè)二階環(huán)節(jié)乘積形式：

(42)

式中:G2(s)和G3(s)中各參數(shù)取值如表2所示。

參數(shù)k=9時(shí)，3種時(shí)間常數(shù)分布不同的五階制導(dǎo)系統(tǒng)，目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)引起的脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解部分和Sn(t)與伴隨仿真結(jié)果的對(duì)比如圖3所示，算例中N=4。從圖3中可以看出，隨著n增加，部分和Sn都逐漸逼近脫靶量伴隨仿真結(jié)果(或者精確解)，S70已經(jīng)與伴隨結(jié)果相差無(wú)幾，而且直觀(guān)上3個(gè)五階制導(dǎo)系統(tǒng)逼近速度(級(jí)數(shù)收斂速度)差不多。另外，不同的時(shí)間常數(shù)分布的五階制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量結(jié)果很相近[1]。

表2 G2(s)和G3(s)中各參數(shù)取值Table 2 Values of parameters in G2(s) and G3(s)

圖3 不同時(shí)間常數(shù)分布的五階制導(dǎo)系統(tǒng)目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)脫靶量的伴隨仿真結(jié)果與冪級(jí)數(shù)解部分和逼近Fig.3 Adjoint simulation results and partial sums approximation of normalized miss distance in target maneuver for fifth-order guidance systems with different configurations

4 參數(shù)k對(duì)冪級(jí)數(shù)解收斂速度的影響

本節(jié)將進(jìn)一步分析參數(shù)k對(duì)冪級(jí)數(shù)解收斂速度的影響，給出選取參數(shù)k的方案。

首先來(lái)看一下不同參數(shù)k對(duì)同一制導(dǎo)系統(tǒng)冪級(jí)數(shù)解的影響，這里選取前面含有一個(gè)二階環(huán)節(jié)的五階制導(dǎo)系統(tǒng)G(s)=G3(s)。圖4給出了k分別取3、7和10時(shí)脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解(部分和Sn)與伴隨仿真結(jié)果，算例中N=4。

圖4 含有一個(gè)二階環(huán)節(jié)的五階制導(dǎo)系統(tǒng)目標(biāo)階躍機(jī)動(dòng)脫靶量的伴隨仿真結(jié)果與冪級(jí)數(shù)解部分和逼近Fig.4 Adjoint simulation results and partial sums approximation of normalized miss distance in target maneuver for fifth-order guidance system with a quadratic distribution

從圖4中可以看出，k=7時(shí)大約需要60項(xiàng)部分和(即S60)就可以很好地逼近精確解，而k=10時(shí)大約80項(xiàng)，k=3時(shí)則要超過(guò)150項(xiàng)，k=7時(shí)冪級(jí)數(shù)解收斂速度要快于k=3和k=10時(shí)。這可以從冪級(jí)數(shù)解zu的假設(shè)形式(13)來(lái)給出解釋?zhuān)唧w地，zu是由常規(guī)冪級(jí)數(shù)和指數(shù)函數(shù)e-kt乘積組成。當(dāng)k較大時(shí)，指數(shù)函數(shù)隨著t的衰減速度很快，部分和Sn(t)中指數(shù)部分占主導(dǎo)(在n較小時(shí))，比如k=10時(shí)S60(t)的曲線(xiàn)在t=8處就衰減到0附近，導(dǎo)致偏離脫靶量精確解。當(dāng)k較小時(shí)，指數(shù)函數(shù)隨著t的衰減速度要小于脫靶量精確解的實(shí)際衰減速度，而多項(xiàng)式在t較大時(shí)隨著t的增大是發(fā)散的，此時(shí)部分和Sn(t)中多項(xiàng)式部分在t較大處可能占主導(dǎo)，比如k=3時(shí)S80(t)、S100(t)、S120(t)的曲線(xiàn)隨著t的增加嚴(yán)重偏離脫靶量精確解。

至此，討論冪級(jí)數(shù)部分和Sn來(lái)逼近脫靶量精確解的誤差都是指截?cái)嗾`差，也就是余式Rn，理論上，Rn隨著n的增加趨于0。如圖4(a)所示，隨著n的增加，Sn逼近誤差較小的區(qū)間逐漸擴(kuò)大，這與普通函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)性質(zhì)類(lèi)似；但是當(dāng)n增大到約150時(shí)，就無(wú)法通過(guò)增加部分和項(xiàng)數(shù)n來(lái)進(jìn)一步改善逼近效果，甚至在t=8附近S150(t)的曲線(xiàn)呈現(xiàn)出近似隨機(jī)振蕩的特征，這是由于數(shù)值計(jì)算過(guò)程中舍入誤差[20]的累積導(dǎo)致的，本文所有數(shù)值算例默認(rèn)使用雙精度浮點(diǎn)數(shù)，對(duì)于S150(t)中高階多項(xiàng)式部分在t較大時(shí)求值運(yùn)算(Horner方法[21])雙精度是不夠的。

為了進(jìn)一步準(zhǔn)確客觀(guān)分析，引入用來(lái)衡量?jī)缂?jí)數(shù)收斂速度指標(biāo)變量ncr，其意義是使得部分和逼近誤差余式Rn小于指定精度ε的索引變量n的最小值，換句話(huà)說(shuō)，至少需要ncr+1項(xiàng)部分和，才會(huì)使得逼近精確解的誤差小于ε；ncr與k有關(guān)，將ncr表示成關(guān)于k的函數(shù)形式[19]

ncr(k)?minnRn(t)≤ε;k

(43)

從定義可以看出ncr越小越好，意味著收斂速度越快。使得ncr取值最小的k，是最優(yōu)的，記為

(44)

注意ncr和kopt與整個(gè)制導(dǎo)系統(tǒng)的參數(shù)和分析條件有關(guān)，包括制導(dǎo)系統(tǒng)階數(shù)、時(shí)間常數(shù)分布、有效導(dǎo)引比N和分析時(shí)間t、誤差精度ε等。圖5給出了不同參數(shù)和條件下冪級(jí)數(shù)解收斂速度指標(biāo)ncr(k)的曲線(xiàn)，為了保證數(shù)值精度，采用四精度甚至更高精度浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，并且用級(jí)數(shù)前1 001項(xiàng)(足夠精確了)部分和S1000(t)作為脫靶量精確解來(lái)計(jì)算余式，即Rn(t)=S1000(t)-Sn(t)。

圖5(a)考慮高階二項(xiàng)式制導(dǎo)系統(tǒng)，N=4，t=10，ε=10-4，針對(duì)不同的系統(tǒng)階數(shù)Q得到ncr(k)的曲線(xiàn)，可以看出最佳參數(shù)kopt與階數(shù)Q有關(guān)，但都在Q附近，選取參數(shù)k=Q是合理的。當(dāng)k較小時(shí)，二項(xiàng)式系統(tǒng)階數(shù)越高，冪級(jí)數(shù)解收斂速度越慢；當(dāng)k較大時(shí)，不同階數(shù)制導(dǎo)系統(tǒng)冪級(jí)數(shù)解收斂速度幾乎相同。

圖5(b)考慮一般的五階制導(dǎo)系統(tǒng)，N=4，t=10，ε=10-4，針對(duì)時(shí)間常數(shù)分布不同的傳遞函數(shù)G(s)得到ncr(k)的曲線(xiàn)，可以看出最佳參數(shù)kopt與系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)分布有關(guān)，分布范圍越大(如G2(s))kopt越大，二項(xiàng)式分布kopt最小。當(dāng)k較小時(shí)，時(shí)間常數(shù)散布越大(如G2(s))，ncr越大，冪級(jí)數(shù)解收斂速度越慢；當(dāng)k較大時(shí)，不同時(shí)間常數(shù)分布的制導(dǎo)系統(tǒng)冪級(jí)數(shù)解收斂速度幾乎相同。

圖5(c)針對(duì)一般的含有一個(gè)二階環(huán)節(jié)的五階制導(dǎo)系統(tǒng)G(s)=G3(s)，N=4，t=10，得到不同誤差精度ε時(shí)ncr(k)曲線(xiàn)，顯然精度越高(即ε越小)，ncr越大，逼近所需要的部分和項(xiàng)數(shù)越多。不同誤差精度ε，ncr(k)曲線(xiàn)形式相同，kopt也幾乎不變。

圖5 不同參數(shù)和條件下冪級(jí)數(shù)解收斂速度指標(biāo)ncr(k)的曲線(xiàn)Fig.5 Plots of convergence rate index ncr(k) as a function of k with different system parameters and conditions

圖5(d)針對(duì)一般的含有一個(gè)二階環(huán)節(jié)的五階制導(dǎo)系統(tǒng)G(s)=G3(s),N=4,ε=10-4，在不同時(shí)間t處得到ncr(k)的曲線(xiàn)，可以看出t越大，逼近到同樣精度ε所需要的部分和項(xiàng)數(shù)越多；ncr(k)曲線(xiàn)形式相同，kopt也幾乎不變。

綜上分析，同時(shí)考慮冪級(jí)數(shù)收斂速度和遞推關(guān)系的簡(jiǎn)化，可以按照如下方案選取參數(shù)k：一階制導(dǎo)系統(tǒng)選取k=1，Q階二項(xiàng)式系統(tǒng)選取k=Q，對(duì)于一般的高階系統(tǒng)式(3)或式(9)可選取

(45)

而相應(yīng)的部分和項(xiàng)數(shù)可由ncr(k)確定。通常k取值大一些更好，這時(shí)不同制導(dǎo)系統(tǒng)收斂速度幾乎相同，而且數(shù)值運(yùn)算穩(wěn)定性更好，避免雙精度浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算舍入誤差累積發(fā)散；考慮到收斂速度，k取值一般不超過(guò)10。

5 結(jié) 論

本文研究了線(xiàn)性比例導(dǎo)引制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量的冪級(jí)數(shù)解，通過(guò)理論論證和大量數(shù)值算例表明冪級(jí)數(shù)解是分析比例導(dǎo)引制導(dǎo)系統(tǒng)新的有效手段。

1) 推導(dǎo)了一般高階比例制導(dǎo)系統(tǒng)脫靶量的冪級(jí)數(shù)解系數(shù)的遞推關(guān)系，通用性強(qiáng)。

2) 嚴(yán)格證明了脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解的收斂半徑為無(wú)窮大。

3) 針對(duì)一階環(huán)節(jié)和高階二項(xiàng)式環(huán)節(jié)等制導(dǎo)系統(tǒng)，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)膮?shù)k，得到了冪級(jí)數(shù)解系數(shù)簡(jiǎn)化的遞推關(guān)系，并研究了不同參數(shù)和條件下冪級(jí)數(shù)解部分和的逼近性質(zhì)。

4) 通過(guò)數(shù)值方法討論分析了參數(shù)k對(duì)脫靶量?jī)缂?jí)數(shù)解收斂速度的影響，給出了選取參數(shù)k以及部分和項(xiàng)數(shù)的方法，為冪級(jí)數(shù)解的實(shí)際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。