注重算法的形成過程，促進運算能力的有效發(fā)展
——以《筆算乘法》案例研究為例

江西于都縣實驗中學(xué)附屬小學(xué) 劉才軍

【研究的問題】

《筆算乘法》一課是三年級上冊的教學(xué)內(nèi)容，它是筆算乘法的起始課，是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)用列豎式的方法來進行乘法運算，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了口算整十、整百數(shù)乘一位數(shù)和口算兩位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。

筆算乘法是小學(xué)階段非常重要的一種運算，人教版新教材對筆算乘法的學(xué)習(xí)安排了兩個階段，第一階段是三年級學(xué)習(xí)多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法，第二階段是四年級學(xué)習(xí)多位數(shù)乘二位數(shù)的筆算乘法。至于多位數(shù)乘三位數(shù)或更多位數(shù)的筆算乘法教材沒有進行再安排，主要原因是筆算乘法的算理和計算模型大同小異，學(xué)生在掌握了多位數(shù)乘二位數(shù)的筆算方法的基礎(chǔ)上能夠遷移類推出來。而要能夠?qū)崿F(xiàn)方法的遷移類推，關(guān)鍵在于學(xué)生學(xué)習(xí)筆算乘法時能深刻體驗算法的形成過程，在此過程中理解筆算乘法的算理，建立清晰的筆算乘法的計算模型。而在實際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象，學(xué)生對于算法的程序化演算掌握比較熟練，但當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)乘數(shù)位數(shù)增加時的筆算乘法時，會出現(xiàn)遷移類推的困難，遷移類推多位數(shù)乘多位數(shù)的筆算方法就更加困難了。究其原因，主要是學(xué)生沒能在算法的形成過程中深刻理解算理，沒有算理的支撐，算法只是模仿、程式化的演算。如何讓學(xué)生更好地體驗算法的形成過程，在理解算理的基礎(chǔ)上自然形成算法，從而提高學(xué)生運算能力，這是我們一直在研究的問題。

本案例旨在通過研究，在深入細(xì)致分析發(fā)掘教材內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上，科學(xué)合理地處理和加工教材，精心設(shè)計好數(shù)學(xué)教學(xué)活動，探尋如何讓學(xué)生更好地理解算理、在理解算理的基礎(chǔ)上如何對算法進行抽象概括，建立筆算乘法的計算模型，為后續(xù)筆算乘法的學(xué)習(xí)作好鋪墊，促進學(xué)生運算能力的有效發(fā)展,改變重運算輕能力發(fā)展舊常態(tài)，確實落實學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

【實踐描述】

一、課前問卷調(diào)查

本著實事求是、因材施教的原則，特設(shè)計了課前學(xué)情調(diào)查問卷，以了解學(xué)生已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)。共設(shè)計了3道題目，第一題旨在了解學(xué)生口算乘法的掌握情況。第二題是開放題，設(shè)計目的有二，其一，本題可以算法多樣化，旨在了解學(xué)生的方法選擇情況；其二，重點在于了解學(xué)生用口算的方法時列式的情況。第三題旨在了解學(xué)生對筆算乘法的最原始的理解，了解學(xué)生在沒有教學(xué)筆算乘法時其掌握的情況。

1.口算

14×2= 23×3= 12×4= 134×2=

2．想一想：23×3＝（ ）

相信每位同學(xué)都能計算出23乘3積是69，那這個結(jié)果是怎么得到的？請把你的計算方法寫出來。

3.你聽過或見過列乘法豎式來計算乘法嗎？如果你認(rèn)為你會，請試著列豎式計算下面的題目，如果不會，此題可以不做。

21×4＝

我們從兩個實驗班級中分別選取了平時數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績處于不同層次的20名學(xué)生參加問卷調(diào)查，比較典型的問卷如下：

從這些問卷中可以看出：

1.從第一題的答題情況可以看出：口算的正確率很高，說明口算的技能訓(xùn)練較好。課后對學(xué)生進行了訪談，了解他們的口算方法，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的口算方法和結(jié)果是對了，但“134×2=”的算理卻表達(dá)不清，這說明學(xué)生對乘法的算理理解不夠，遷移類推能力不足。

2.從第二題的答題情況看：極少部分學(xué)生用連加的方法計算，絕大部分學(xué)生都是用口算的方法來計算，說明大部分學(xué)生頭腦中已經(jīng)完成了算法的優(yōu)化，且口算的算理理解較好。

3.從第三題的答題情況看：有20%的學(xué)生能列出標(biāo)準(zhǔn)豎式計算并能正確計算，說明筆算乘法對于學(xué)生來說并不完全是一無所知；有35%的學(xué)生能列出豎式但計算方法不正確，只把個位上的數(shù)相乘，十位上的數(shù)直接抄下來，說明學(xué)生受到了加、減法豎式的計算方法的負(fù)影響；還有45%的學(xué)生沒有做。

二、精研教材

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)新教材的編排如圖：

教材給出了四種算法?？谒愠朔ㄇ耙徽n剛剛學(xué)習(xí)，通過擺小棒，運用數(shù)形結(jié)合的方法直觀地幫助學(xué)生理解了口算的算理，所以本課并沒有出現(xiàn)擺小棒的方法。本節(jié)課是在學(xué)生充分理解了口算乘法的算理的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，重點是讓學(xué)生能根據(jù)算理正確列乘法豎式計算，初步建立列乘法豎式計算的模式。而疊加加法豎式計算是根據(jù)乘法的意義來計算的，通過與乘法豎式的對比，能幫助學(xué)生理解筆算乘法計算的算理，溝通加法與乘法的關(guān)系。虛線框中的列豎式計算（下文叫“初始”豎式）則是根據(jù)口算乘法的算理與算法來計算的，它是學(xué)生理解筆算乘法算理和抽象算法的重要資源，就像一座橋梁，把學(xué)生已學(xué)的口算乘法與新知筆算乘法建立起了聯(lián)系，通過對比會發(fā)現(xiàn)它們的算理其實一樣，只是換了一種記錄形式而已。“標(biāo)準(zhǔn)”豎式計算是“初始”豎式的簡便寫法，通過與初始豎式的對比，進一步理解每一步乘的意義。

三、精心設(shè)計關(guān)鍵教學(xué)環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動

（一）活動二：自主探索——經(jīng)歷算法的形成過程

師：同學(xué)們，計算加法咱們可以列成豎式來筆算，其實乘法也可以列豎式來筆算，咱們這節(jié)課就來學(xué)習(xí)列豎式計算乘法，也就是“筆算乘法”（板書課題）

1.獨立嘗試：23乘3該怎么筆算呢？老師告訴你一個秘密，其實呀，筆算的計算道理和口算的計算道理是一樣的，動手試一試吧！

2.小組交流：勇于思考和嘗試就會有驚喜！瞧，大家都試著列出了自己的乘法豎式，那你的豎式是怎么列的？又是怎么算的呢？接下來就帶著這兩個問題在小組內(nèi)輕聲地交流交流。

[設(shè)計意圖]尊重學(xué)生的個性差異，讓學(xué)生自主嘗試計算，特別注意尋找“初始”算法，為“標(biāo)準(zhǔn)”算法做好鋪墊。教學(xué)過程體現(xiàn)先學(xué)后教，以學(xué)定教的教育理念。

（二）活動三：算法對比——溝通算法聯(lián)系

師：咱們一起來曬曬自己的筆算方法，老師找到了兩個不同豎式（見下圖），有請第一種算法的同學(xué)先到黑板上來給大家講講，先說說你的豎式是怎么列的，再說說你是怎么算的。

生1：先寫23，再把3寫在3的下面。

師：也就是對齊個位。

生1：先算3×3＝9，寫在個位，再20×3＝60，寫在下一行，再把兩個積加起來。

師：比較列豎式計算的方法和口算的方法，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：計算方法其實是一樣的，只是寫法不一樣。

生3：列豎式寫起來更簡單！

生4：……

師：同學(xué)們說得都很有道理，我也發(fā)現(xiàn)了他們的計算道理完全是一樣的。怎么一樣呢？我們一起來瞧瞧（見下圖）。其實呀！這里只是把3步計算過程在一個豎式上完成了！

師：咱們再來看一看第二種算法，有請第二種方法的同學(xué)上臺當(dāng)小老師，講一講你的想法。

生1：……

師：咱們來比比這兩個豎式，它們有什么不同呀？

生1：第一個豎式加了60，第二個豎式?jīng)]有加60。

生2：第一個豎式有加，第二個豎式?jīng)]有加。

生3：第一個豎式更復(fù)雜，第二個豎式更簡單。

生4：第一個豎式的20×3等于60，第二個的20×3等于6。

師：第一道豎式3乘十位上的2積寫成了60，第二道豎式3乘十位上的2積寫成6，為什么可以這樣寫呢？

生5：十位上的2乘3等于6個十，把6寫在十位上就是表示6個十，6個十也就是60（連線見下圖），所以他們的答案是一樣的。

師：聽你們一說，老師也明白了，十位上寫6表示的就是6個十，也就是60，十位上的6和個位上的9合起來就相當(dāng)于60加9了。

師：那兩種筆算方法你更喜歡哪種？為什么？

生：第二種，因為更簡單！

師：都喜歡第二種嗎？看來簡單就是一種美。

師：咱們用筆算的方法也能計算出了23乘3的積是69，那劉虹一天跑的路程就是69千米了，69千米那可是相當(dāng)于從于都到贛州的路程了，如果是我們步行的話，要走十幾個小時呢！你現(xiàn)在知道劉虹奪冠的秘密了吧？

生：陽光總在風(fēng)雨后，優(yōu)秀的成績都是用汗水換來的，我要向她學(xué)習(xí)這種刻苦努力堅持不懈的精神。

[設(shè)計意圖]通過二次對比，由易到難，由舊到新，層層遞進，最終抽象概括出一般方法。第一次“初始”豎式與口算乘法的計算方法進行對比，通過一一對應(yīng)連線的方法讓學(xué)生直觀地感受列乘法豎式計算的算理與口算的道理是一樣的，只是把三步計算過程列成了乘法豎式，初步感受乘法豎式的計算方法。第二次“標(biāo)準(zhǔn)”豎式與“初始”豎式的對比，溝通兩者之間的聯(lián)系，理解標(biāo)準(zhǔn)豎式乘的每一步的意義，讓學(xué)生清楚理解60在位值制下可以只在十位上寫6，使學(xué)生明白“為什么與十位上的數(shù)相乘的積要寫在十位的下面”的道理。

【反思和啟示】

運算能力作為學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組織部分，新課程對其進行了明確定義：“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力?！迸囵B(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。運算能力不僅僅指會算和算正確，還包括對于運算的本身要有理解，比如運算對象、運算的意義、算理等。本案例的研究正是基于以上認(rèn)識來展開的，既要讓學(xué)生掌握怎么算，還要讓學(xué)生理解為什么這樣算，怎樣選擇合適的方法算，著重提升學(xué)生的運算能力，使學(xué)生的核心素養(yǎng)得到有效發(fā)展。通過本案例的研究，我們所得到的反思與啟示有如下幾點：

1.本課例的設(shè)計注重了學(xué)生自主探索的過程，充分展現(xiàn)了學(xué)生思考，突出了學(xué)生的主體。

新課程提出學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的產(chǎn)生與形成過程，在這個過程中獲得知識與技能，感悟思想，積累經(jīng)驗，從而落實“四基”。為了讓每一位學(xué)生都有充分探索用筆算的方法計算的過程，本課是在用學(xué)過的疊加法和口算方法計算后，再提出讓學(xué)生用筆算方法嘗試進行計算的要求，保證了每一位學(xué)生有充分的時間與空間進行自主探索。這樣的安排既體現(xiàn)了以生為本和先學(xué)后教的教育理念，又展現(xiàn)了學(xué)生對筆算乘法真實初始的想法，生成了“初始”豎式，為后面學(xué)習(xí)“標(biāo)準(zhǔn)”豎式提供了寶貴的學(xué)習(xí)資源。

2.本課教學(xué)通過方法比較，能有效溝通各種算法之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生理解算理。

本課共生成了四種算法，對這四種算法共進行了兩次比較：第一次比較“初始”豎式與口算乘法之間的聯(lián)系，通過連線直觀建立豎式乘的每一步與口算每一步的一一對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生感悟列豎式計算的算理與口算的算理相同，列豎式計算只是把三步口算寫成了豎式的形式。第二次比較“初始”豎式與“標(biāo)準(zhǔn)”豎式之間的關(guān)系，緊緊扣住3乘十位上的2的積來進行討論。討論在“初始”豎式中積是寫作60，在“標(biāo)準(zhǔn)”豎式中積是寫作6，是什么道理。通過討論，學(xué)生借助數(shù)位說明了其中的道理——6寫在十位上表示的就是60,從而實現(xiàn)了兩種豎式的歸一，順利實現(xiàn)了從“初始”豎式的算法的認(rèn)識過渡到“標(biāo)準(zhǔn)”豎式的認(rèn)識。通過這種關(guān)系鏈的遞進對比學(xué)習(xí)方法，有效地溝通了新舊方法之間的聯(lián)系，明白了為什么這樣算，理解了乘的每一步的意義及書寫位置，為后面學(xué)習(xí)筆算乘法奠定了基礎(chǔ)。

3.深入鉆研教材，做到教材處理到位而不越位，是提高教學(xué)實效的重要保證。

要設(shè)計好一節(jié)課，必須扎實教材鉆研工作，摸清知識基礎(chǔ)和認(rèn)識起點。本課的一個重點就是幫助學(xué)生理解算理，因此教師要善于選擇多種方式幫助學(xué)生理解算理。常用的理解算理的方式有實物原型、直觀模型、已有知識等，本課既可以用小棒的直觀模型，也可以用已有知識。到底用哪種？還是兩種一起用？通過分析教材發(fā)現(xiàn)，其實在前一課口算乘法學(xué)習(xí)時就用小棒幫助學(xué)生理解,顯然本節(jié)課不再需要用直觀模型，只要用已有知識來解釋就可以了，所以本節(jié)課直接從口算乘法作為教學(xué)的起點，直接進入筆算乘法的探索，有效地提高了課堂教學(xué)實效。

4.練習(xí)的精心設(shè)計促成了計算方法的內(nèi)化與形成，有效地提高學(xué)生的運算能力對于運算的道理有所理解后，還需要學(xué)生對使用的方法進行再熟悉，以達(dá)到內(nèi)化?；诖嗽瓌t，概括出算法并沒有安排在教學(xué)例題的時候，而是放在了鞏固練習(xí)第一題中。第一題既要鞏固兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算方法，同時也要類推多位數(shù)乘一位數(shù)的計算方法。經(jīng)過這樣的練習(xí)，學(xué)生對筆算乘法的算法起到了較好的內(nèi)化作用，最終水到渠成地對算法進行抽象概括，形成筆算方法。為了更進一步內(nèi)化算法，解決學(xué)生易漏乘十位和百位上的數(shù)這個問題，還設(shè)計了一道專項練習(xí)，專門訓(xùn)練學(xué)生填十位或百位上的數(shù)，學(xué)生很好地鞏固了和內(nèi)化了計算方法，提升了運算能力。?