魅力課堂：追求教學(xué)的三個(gè)“有利于”
——以“三角形內(nèi)角和”的教學(xué)為例

福建泉州師范學(xué)院 蘇明強(qiáng)

核心素養(yǎng)是我國(guó)新時(shí)代基礎(chǔ)教育的頂層設(shè)計(jì)理念，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是我國(guó)新時(shí)代基礎(chǔ)教育的根本任務(wù)。在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的新時(shí)代，如何構(gòu)建一個(gè)以“學(xué)”為中心的課堂教學(xué)生態(tài)？讓學(xué)生真正位居課堂的中央？這里的“以學(xué)為中心”不是一種口號(hào)，“課堂的中央”也不是一種單純的物理位置，我們應(yīng)該從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)入手，構(gòu)建一種新的課堂教學(xué)生態(tài)，從根本上激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，通過課堂讓學(xué)生自我實(shí)現(xiàn)的需求得以滿足，以“情感態(tài)度”促進(jìn)“知識(shí)技能”和“過程方法”的目標(biāo)得以更好實(shí)現(xiàn)，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)“以學(xué)為中心”，讓學(xué)生“位居課堂的中央”，體會(huì)數(shù)學(xué)無窮的魅力。

筆者主張構(gòu)建魅力課堂的教學(xué)生態(tài)，倡導(dǎo)通過把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，融入數(shù)學(xué)思想，突出數(shù)學(xué)思考，讓課堂煥發(fā)出數(shù)學(xué)應(yīng)有的魅力，讓學(xué)生煥發(fā)生命應(yīng)有的活力，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)的魅力在于它的“神奇”和“美妙”，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的“神”，數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)的“美”，數(shù)學(xué)的“神”和“美”是一種客觀存在，而數(shù)學(xué)的“奇”和“妙”是數(shù)學(xué)思考的一種主觀感受。那么，如何才能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，從而更好地激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性？常言道“教學(xué)有法，教無定法”，在魅力課堂的教學(xué)生態(tài)中，不管我們采用怎樣的教學(xué)方式和教學(xué)方法，從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該：有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思考，這樣才能真正形成以學(xué)為中心的課堂生態(tài)。下面，以“三角形內(nèi)角和”一課的教學(xué)為例進(jìn)行闡述和說明。

一、教學(xué)要有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)本質(zhì)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)更深刻、更全面、更清晰的理解和把握，魅力課堂的教學(xué)要有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的新時(shí)代，在魅力課堂的教學(xué)生態(tài)中，我們的教學(xué)不能只停留在數(shù)學(xué)知識(shí)的表面，僅僅讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，習(xí)得數(shù)學(xué)的基本技能，而是應(yīng)該深入到數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部，通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生感悟教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)的魅力，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。

例如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和”一課時(shí)，如果我們的教學(xué)僅僅是讓學(xué)生掌握三角形內(nèi)角和為180°這一基本結(jié)論，并能夠進(jìn)行應(yīng)用、解題，那么這樣的教學(xué)只是停留在知識(shí)的表面上，學(xué)生難于感悟到教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，無法體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力，數(shù)學(xué)課程“情感態(tài)度”這一維度的目標(biāo)很難達(dá)成。然而，三角形內(nèi)角和的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？我們可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行分析：第一，從知識(shí)領(lǐng)域的角度分析。三角形內(nèi)角和是圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容，屬于圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的認(rèn)識(shí)一般包括圖形的概念、圖形的特征、圖形的性質(zhì)、圖形的運(yùn)動(dòng)以及圖形的測(cè)量等內(nèi)容，三角形內(nèi)角和屬于圖形的性質(zhì)，是三角形再認(rèn)識(shí)的教學(xué)內(nèi)容。第二，從知識(shí)發(fā)展的角度分析。三角形內(nèi)角和是在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了三角形（圖形的概念、要素和特征）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究圖形的性質(zhì)（三邊關(guān)系和內(nèi)角和），它屬于三角形的再認(rèn)識(shí)，在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，還將進(jìn)一步學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和以及外角和等內(nèi)容。因此，三角形內(nèi)角和是三角形認(rèn)識(shí)的一次延伸，是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的一次提升，是從圖形外在特征到圖形內(nèi)在本質(zhì)的一個(gè)轉(zhuǎn)折，是從研究圖形構(gòu)成要素到研究要素之間關(guān)系的一次飛越。

教學(xué)時(shí)，教師可以通過設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)（三角形內(nèi)角和180°）的學(xué)習(xí)過程中感悟到它的數(shù)學(xué)本質(zhì)，不僅要讓學(xué)生明晰三角形內(nèi)角和是三角形內(nèi)角的一種性質(zhì)，是圖形中內(nèi)角的一種規(guī)律，還要讓學(xué)生明晰知識(shí)與知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，了解三角形內(nèi)角和從何而來？又要到哪去？從而感受到數(shù)學(xué)的神奇和美妙，這才是課堂的魅力所在。

二、教學(xué)要有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的一種抽象與概括，是數(shù)學(xué)的靈魂，是教學(xué)的精髓，魅力課堂的教學(xué)要有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)學(xué)思想是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。因此，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的新時(shí)代，在魅力課堂的教學(xué)生態(tài)中，我們的教學(xué)不能只停留在基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能上，應(yīng)該讓學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的學(xué)習(xí)過程中體會(huì)數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的神韻，感受數(shù)學(xué)的魅力，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。

那么，“三角形內(nèi)角和”一課蘊(yùn)含什么數(shù)學(xué)思想？我們可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行分析：第一，從知識(shí)形成的角度分析。三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，三角形的形狀和大小 “變”了，三角形內(nèi)角和“不變”，這是圖形內(nèi)角和的奧秘，這里蘊(yùn)含著抽象思想中的“分類思想”和“變中有不變的思想”。第二，從數(shù)學(xué)命題的角度分析。三角形都有三個(gè)角，這是一個(gè)正命題，是真命題，然而，它的逆命題卻是一個(gè)假命題，任意給定一組三個(gè)角不一定能組成一個(gè)三角形，只有當(dāng)給定的三個(gè)角之和是180°時(shí)，才能組成一個(gè)三角形，也就是三角形是三個(gè)角的充分非必要條件，這里蘊(yùn)含著推理思想。第三，從知識(shí)發(fā)展的角度分析。三角形內(nèi)角和是內(nèi)角的一種規(guī)律，這個(gè)規(guī)律的得出本質(zhì)上是一個(gè)歸納的過程，也就是在觀察、操作三角形（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）的基礎(chǔ)上，歸納得出三角形內(nèi)角和的基本結(jié)論，這里蘊(yùn)含著歸納思想。第四，從知識(shí)推展的角度分析，如果把三角形內(nèi)角和進(jìn)一步拓展到多邊形，那么多邊形內(nèi)角和問題可以通過把多邊形分解為三角形得以解決，這里蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想。

因此，教學(xué)時(shí)教師可以通過精心設(shè)計(jì)一組數(shù)學(xué)活動(dòng)，在觀察、操作中，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，歸納概括出三角形內(nèi)角和的基本結(jié)論，獲得初步猜想并進(jìn)行驗(yàn)證，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)膽?yīng)用和拓展，讓學(xué)生在掌握知識(shí)、習(xí)得技能的同時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，積累思維經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)魅力，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)要有利于學(xué)生驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)思考是用數(shù)學(xué)的方式思考問題，魅力課堂的教學(xué)要有利于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思考是學(xué)生培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要保證。問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題是數(shù)學(xué)思考的重要載體，核心問題是驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思考的關(guān)鍵所在，問題串是推進(jìn)數(shù)學(xué)思考的根本保證。因此，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的新時(shí)代，在魅力課堂的教學(xué)生態(tài)中，我們的教學(xué)應(yīng)該通過提煉核心問題，精心設(shè)計(jì)問題串，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，更為積極地思考，并且想得更全面、更深刻，在深度思考中，感受數(shù)學(xué)的“奇妙”，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。

例如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和”一課時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)一系列內(nèi)角和的探索活動(dòng)，不斷啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思考問題，首先通過一張長(zhǎng)方形紙，讓學(xué)生了解圖形中內(nèi)角與內(nèi)角和的概念，由于長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，學(xué)生很容易就知道長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°，然后沿著對(duì)角線把長(zhǎng)方形分割成相同的兩個(gè)直角三角形，學(xué)生憑借直覺和經(jīng)驗(yàn)很快便能得知一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°，這是一種巧合，還是一種規(guī)律，直角三角形的內(nèi)角和有沒有規(guī)律？這里的“有沒有”就是本節(jié)課的核心問題，如果有那又是什么？帶著這樣的問題，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，激發(fā)學(xué)生的探索欲望。此時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生選取一副三角板進(jìn)行驗(yàn)證，很容易就確定了規(guī)律：直角三角形的內(nèi)角和都是180°。

接著，教師可以再拿出分割后的一個(gè)直角三角形，由直角頂點(diǎn)向斜邊剪開，分割成一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索銳角三角形和鈍角三角形內(nèi)角和的奧秘，學(xué)生憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺容易獲得猜想：銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和都是90°。然而，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)鈍角三角形中已經(jīng)有一個(gè)角是鈍角時(shí)，馬上就會(huì)意識(shí)到這樣的猜想是有問題的，這就形成了一個(gè)認(rèn)知沖突，進(jìn)一步驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和究竟是多少呢？這時(shí)教師可以通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生就會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)：銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和也都是180°，這就顯示出三角形內(nèi)角和的神奇和奧秘，通過不斷分割，三角形的形狀和大小不斷變化，內(nèi)角和保持不變，這是為什么？憑借數(shù)學(xué)直覺和平均分的經(jīng)驗(yàn)，為什么分割后的鈍角三角形和銳角三角形的內(nèi)角和不是90°而依然是180°？原來已經(jīng)是180°，那么參與平均分的另一個(gè)180°從哪來？這些問題對(duì)于學(xué)生來說具有神秘感和吸引力，教師借助數(shù)學(xué)思考產(chǎn)生的新問題就可以進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)探索的進(jìn)程，經(jīng)過分析可以發(fā)現(xiàn)，第二次分割圖形與第一次有著本質(zhì)的區(qū)別，第一次是沿著“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)”（對(duì)角線）分割，第二次是沿著“點(diǎn)對(duì)邊”進(jìn)行分割，直角三角形的斜邊蘊(yùn)含著一個(gè)平角（180°），當(dāng)“點(diǎn)對(duì)邊”進(jìn)行分割時(shí)，這個(gè)潛伏的平角就參與了內(nèi)角的平均分，一部分變成了銳角三角形的內(nèi)角，另一部分變成了鈍角三角形的內(nèi)角。因此，分割后的兩個(gè)三角形的內(nèi)角和保持不變，當(dāng)學(xué)生明白這個(gè)道理后，無不為三角形內(nèi)角和的奧秘拍案叫絕。

最后教師可以沿著相反的思路，把這兩個(gè)三角形（一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形）還原拼接成原來的直角三角形，啟發(fā)學(xué)生思考，為什么拼接而成的直角三角形內(nèi)角和不是360°，而是180°？其中180°消失到哪去呢？通過分析不難發(fā)現(xiàn)，拼接后一個(gè)180°組成了一個(gè)平角，消失在直角三角形的斜邊上了。至此，三角形內(nèi)角和問題已經(jīng)得到解決。教師可以緊接著追問：還有嗎？引導(dǎo)學(xué)生去思考四邊形、五邊形、六邊形等其他多邊形的內(nèi)角和是否也存在一定的規(guī)律？進(jìn)一步拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，如果有又是什么？為什么？

在這里 “有沒有”“是什么”“為什么”“還有嗎”四個(gè)問題形成了一個(gè)問題串，構(gòu)成了一個(gè)數(shù)學(xué)思考的循環(huán)系統(tǒng)，在核心問題的統(tǒng)領(lǐng)下，驅(qū)動(dòng)了數(shù)學(xué)思考，沿著問題串，推動(dòng)思考的進(jìn)程，一個(gè)問題解決了，然后發(fā)現(xiàn)并提出新的問題，這樣數(shù)學(xué)思考就自然延伸到課外，課已經(jīng)結(jié)束了，思考卻還在路上，不知不覺間把數(shù)學(xué)思考導(dǎo)向了更為廣闊的未知領(lǐng)域，探索更多的數(shù)學(xué)奧秘。在這樣的思考中，學(xué)生不僅能夠養(yǎng)成探索數(shù)學(xué)奧秘的思維習(xí)慣，而且能夠充分體會(huì)到數(shù)學(xué)的奇妙之處，這就是新教學(xué)生態(tài)的課堂魅力所在，也是魅力課堂教學(xué)所追求的一種愿景。?