例析框圖三大交匯問題

唐洵

隨著課改的深入，高考對考生的能力要求正在不斷提升，在交匯處命制試題也成為出題老師的一大重要手段.因此，當同學們面對數(shù)學問題時，應當學會多方位思考，建構(gòu)系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，做到“窺一斑而見全豹，做一題而解一類”.那么算法與程序框圖的試題有哪些常見交匯呢？

交匯一、攜手函數(shù)，翩翩起舞

題型介紹：框圖與函數(shù)的交匯主要體現(xiàn)為兩方面內(nèi)容：一是利用條件結(jié)構(gòu)，將分段函數(shù)融人框圖之中，求函數(shù)的值或值域，此時應先從框圖中抽象出分段函數(shù)的具體形式，再求解函數(shù)在各自段上的值域，最后進行綜合；二是利用條件結(jié)構(gòu)或循環(huán)結(jié)構(gòu)，通過判斷函數(shù)的性質(zhì)，篩選函數(shù)，此時應當緊抓函數(shù)性質(zhì)的判定方法，如函數(shù)的奇偶性，可通過定義法或圖象法進行判定等.

例1 某程序框圖如圖1所示，現(xiàn)有以下六個函數(shù)，任選一個函數(shù)輸入，則函數(shù)可以輸出的個數(shù)為（）

（1）f（x）=x；（2）f（x）=lgx；（3）f（x）=ex；（4）f（x）=sinx/x（5）f（x）=x/ln/x（6）f（x）=x2COSx.

A.1

B.2

C.3

D.4

分析 f（x）+f（-x）=0 f（-x）=-f（x） 函數(shù)為奇函數(shù)；因此先判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)，再判斷函數(shù)是否存在零點.

解析 由程序框圖可知，要使得函數(shù)輸出，必須滿足f（x）是奇函數(shù)并且f（x）在定義域上存在零點.易知f（x）=x符合輸出的條件；f（x）=lgx，f（x）=e x均為非奇非偶函數(shù)；f（z）=sinx/x為奇函數(shù)且x=π為該函數(shù)的一個零點，符合輸出的條件；f（x）=x/ln|x|是奇函數(shù)，由函數(shù)圖象可知，該函數(shù)在其定義域內(nèi)無零點；f（x）=x2 COSx為偶函數(shù)；故滿足輸出條件的僅有f（x）=x和f（x）=sinx/x所以任選一個函數(shù)輸入，則函數(shù)可以輸出的個數(shù)為2，故選B.

點評 本例將函數(shù)的性質(zhì)與程序框圖相掛鉤，其解題關鍵在于看懂程序框圖的內(nèi)涵及選擇正確的判定方法.如函數(shù)的奇偶性常見的判定方法有三種：一是定義法，即利用f（-x）與f；（x）的關系進行判斷；二是圖象法，即利用所給函數(shù)的圖象是否關于原點或y軸對稱進行合理判斷，一般用于基本初等函數(shù)或函數(shù)的識圖問題中；三是結(jié)論法，如“奇函數(shù)X奇函數(shù)一偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)一奇函數(shù)”等常用二級結(jié)論進行判定.在平時的學習過程中應注意積累.

交匯二、相約數(shù)列，結(jié)伴而行

題型介紹：框圖與數(shù)列的交匯多種多樣，其一般以循環(huán)結(jié)構(gòu)為主線，可以考查特殊數(shù)列的求值、等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和、分組求和法、裂項相消法等諸多內(nèi)容.常見的利用循環(huán)結(jié)構(gòu)求值就是一種特殊的框圖與數(shù)列的交匯性試題.

例2執(zhí)行如圖2的程序框圖，如果輸入p=10，則輸出的S=____.

分析 運行第一次，S=O+1/2，n=2；運行第二次，S=O+1/2十1/22，n=3；運行第三次，s=o+1/+1/2+1/221/23，n=4；…；以此類推，可知該程序的功能是實現(xiàn)等比數(shù)列的求和，此時應當注意循環(huán)結(jié)構(gòu)的終止條件.

解析 運行該程序，可知該程序輸出的s=o+1/+1/2+……1/2，由等比數(shù)列求和公式可知S=511/512

點評 數(shù)列與框圖的交匯在高考中屢見不鮮，處理此類問題往往有兩種方法：一是按部就班，運行程序，根據(jù)框圖提示，一步一步地運行程序，得到相應答案，此法一般在框圖步驟較少時使用；二是歸納推理，根據(jù)框圖提示列出前幾項，觀察規(guī)律，看清該框圖實現(xiàn)的功能是求數(shù)列中的項還是求和，進而套用相應的數(shù)列公式進行求解.交匯三、聯(lián)袂概率，新穎別致

例3 某算法的程序框圖如圖3所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生.

（1）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi（i=1，2，3）；

（2）甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復運行n次后，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù).

當n=2100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=l，2，3）的頻率（用分數(shù)表示），并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.

分析 （l）可以判斷，y的可能取值為1，2，3，進而利用古典概型的概率公式求解相應的概率；（2）根據(jù)表格求出各自的頻率，再利用頻率估計概率，

解析 （l）變量x是在l，2，3.….24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生的一個數(shù)，故共有24種可能.當x從1，3，5，7，9，II，13，15，17，19，21，23這12個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故P1=1/2；當x從2，4，8，10，14，16，20，22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為2，故P2=1/3；當x從6， 12，18，24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故P3=1/6.所以，輸出y的值為1的概率為1/2，輸出y的值為2的概率為1/3，輸出y的值為3的概率為1/6.

（2）當n=2100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=l，2，3）的頻率如下：

比較頻率趨勢與概率，可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大.

點評 本題難度不大，但得分率卻不高，究其根本原因有兩點：一是題目新穎，交匯別致，在原始的概率問題中融入了框圖，使得問題的綜合性增強，結(jié)果部分考生未讀題，先畏題；二是突破常規(guī)，勇于創(chuàng)新，摒棄了以往框圖問題只能考客觀題這一舊觀念，將其融人解答題中，雖不難，但要求學生自身必須建構(gòu)綜合性的數(shù)學知識體系，達到以不變應萬變的目的.