數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究

施路成　王德江

摘 要 數(shù)形結(jié)合思想幾乎貫穿了整個高中數(shù)學(xué)，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，文中介紹了數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用，在方程與不等式中的應(yīng)用，在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用等。同時也培養(yǎng)了學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維能力，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。正如華羅庚先生說的“數(shù)學(xué)思想百般好”。

關(guān)鍵詞 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)解題 數(shù)學(xué)應(yīng)用

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

在教育改革的浪潮中，數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)課程都產(chǎn)生了巨大影響，其中數(shù)形結(jié)合思想占了重要的作用，同時對數(shù)學(xué)教學(xué)也產(chǎn)生了深刻的影響。數(shù)形結(jié)合思想不僅研究了幾何的直觀性，也分析了代數(shù)的意義，它使代數(shù)的精確性與幾何的直觀性更加完美的結(jié)合在一起。數(shù)形結(jié)合思想貫穿整個高中數(shù)學(xué)體系，它是高中數(shù)學(xué)課程的一條主線，它是我們解決數(shù)學(xué)問題的一種方法，它是我們探索和研究數(shù)學(xué)的重要指導(dǎo)思想。

1數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.1數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用

在集合的計算中，我們通常采用Venn圖，數(shù)軸來解決集合的交，并，補(bǔ)集的運(yùn)算。這樣有助于讓學(xué)生掌握對集合的運(yùn)算。

例1：若集合 是小于9的正整數(shù)，，且， ，試求A與B。

解：通過Venn圖我們可以清晰看出答案，即，

1.2數(shù)形結(jié)合思想在方程與不等式問題中的應(yīng)用

利用二次函數(shù)圖像來解一元二次方程根的分布情況，二次函數(shù)其中的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)為方程的實根，即。

例2：一元二次方程的一根在上，另一根在上求的取值范圍。

分析：用二次函數(shù)圖像來研究根的分布情況，可以得出不等式與式子的幾何意義。

二次函數(shù)圖像圖 三角形ABC圖

解：由的兩個根分布在區(qū)間與上的幾何意義為與軸兩交點的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間，內(nèi)。

由此可知

上式表示的點集是三角形的內(nèi)部

解得

解得

點解得

而的幾何意義是點與點連線的斜率.

即， =

小結(jié)：用數(shù)形結(jié)合的方法來解題目的時候，有些題目只用到端點值就可以解出來，然而有些的題目不僅要用到端點的值，而且還要用到對稱軸和根的判別式。此題即用到了端點值，也用到了對稱軸，最后通過幾何轉(zhuǎn)換，求出取值范圍。

1.3數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用

最值問題是比較常見的數(shù)學(xué)問題，在生產(chǎn)與應(yīng)用中也比較廣泛。也是歷年高考的高頻考點之一。在高考中，它常與三角函數(shù)，不等式，二次函數(shù)以及一些幾何知識緊密聯(lián)系在一起。最值問題可以用不等式的知識來解，但用不等式計算時，計算量非常的大。我們可以考慮用代數(shù)式的幾何意義，根據(jù)幾何圖形求最值問題。

例3：已知滿足求的最大值與最小值。

分析：在橢圓求最值問題，一般用構(gòu)造直線截距的方法來解題。

令則問題轉(zhuǎn)化成在橢圓上求一點，使過該點的直線斜率為3，求軸上截距最大值與最小值。

解：由圖可知，當(dāng)與相切時，與軸有最大截距與最小截距。

即

由解得。故的最大值為，最小值為。

小結(jié)：數(shù)學(xué)中，數(shù)字缺乏直觀性，圖像缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，當(dāng)二者結(jié)合時相互取長補(bǔ)短，本題就是通過觀察圖像列出等式，通過代數(shù)計算得出答案。

2數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生更好更快的解決高考題，尤其高考題中的選擇和填空題更能突出數(shù)形結(jié)合的作用。下面用一道高考試題說明數(shù)形結(jié)合的作用。

例4：求方程lgxsinx=0解的個數(shù)。

A 1 B 2 C 3 D 4

分析：方程解的情況，可化為的情況，也可以看作函數(shù)與函數(shù)兩函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)情況，所以只要精確畫出兩個函數(shù)在同一區(qū)間的圖像，就很容易看出它們有幾個交點，得到交點的個數(shù)就是原方程解的個數(shù)。

交點個數(shù)圖

因為， 所以兩個函數(shù)在同一區(qū)間有3個交點，所以解的個數(shù)有3個，故選C。

3運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)遵循的原則

第一，等價原則，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時，代數(shù)性質(zhì)與幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化必須是等價的。

第二，雙向性原則，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時，一方面對幾何的直觀性進(jìn)行分析，另一方面對抽象的代數(shù)問題進(jìn)行探究，兩個方面同時進(jìn)行，如果只考慮一方面進(jìn)行解題，在很多時候是很難行得通的。

數(shù)形結(jié)合思想雖然提高了學(xué)生們的解題效率，和準(zhǔn)確率，但是數(shù)形結(jié)合思想也有其缺陷，它不適用于所有題目，有的題目運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來計算就算不出來準(zhǔn)確答案，所以學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題時要慎重考慮。

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