對“小數(shù)乘整數(shù)”的教材編排的思考

王小平

[摘 要]教師都知道算理的重要性，但是算理是內(nèi)在的心法，不易被檢測與滲透，而算法是可短期內(nèi)奏效的招式，于是，教師養(yǎng)成了用“短平快”的不完全歸納法來代替算理的習慣，再加上教材編排的不合理，就導致了學生理解算理的能力每況愈下。

[關鍵詞]質(zhì)疑；不完全歸納法；算理；教材

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）32-0041-01

“小數(shù)乘整數(shù)”編排在蘇教版教材五年級上冊，教材設置現(xiàn)實情境，隱含問題，通過觀察、猜想、驗證等程序，以及不完全歸納法，推斷出“小數(shù)是幾位小數(shù)，積就取同樣多的小數(shù)位數(shù)”的結(jié)論。換句話說，教材對于小數(shù)乘整數(shù)的法則推導，是基于有限個個案進行不完全歸納而得出的。筆者認為這種做法有待商榷。

一、質(zhì)疑不完全歸納法的科學性

不完全歸納推理是通過隨機抽樣并對比若干個考查對象，從中概括出研究材料的普遍特征。在小學階段，大部分數(shù)學結(jié)論都是通過不完全歸納法得出的，并沒有經(jīng)過嚴密的邏輯論證，這主要是顧及學生的思維狀態(tài)、心理接受能力、智力發(fā)展水平等因素。因此，教材根據(jù)計算器的計算結(jié)果，只是讓學生觀察乘積的小數(shù)位數(shù)和因數(shù)的小數(shù)位數(shù)之間的關聯(lián)，運用的是簡單枚舉歸納法。在進行不完全歸納的過程中，教材只是研究確定了考察對象的部分元素，但是做出的結(jié)論卻是針對全體研究對象的，缺乏說服力，其科學性和權威性仍需依仗演繹推理來證實，但課本并未給出嚴謹?shù)难堇[推理公式。

二、不可忽視的算理

算法是機械化的，學生只要按照既定程序勤加練習，形成條件反射，在遇到相同或相似模型時，都可以靠經(jīng)驗導出結(jié)果。這也表明，曾經(jīng)的計算教學，我們并沒有養(yǎng)成學生邊計算邊運行算理的思考習慣。課程改革的深入對學生的算理理解能力的要求也越來越高，我們應該提高覺悟：學生需要掌握算法，但計算時更應用算理的心法來指導算法，使算理和算法協(xié)調(diào)統(tǒng)一，相輔相成。

“為什么乘積的小數(shù)位數(shù)和因數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同？”如果只簡單地根據(jù)幾個算式便妄下斷語，充其量是在找規(guī)律，不是探究算理。算理的缺位，導致學生對乘法算式只會做程序上的套用，再加上受到加法中“小數(shù)點對齊”的負遷移，列豎式計算時錯誤頻發(fā)。基于以上事實和反思，筆者認為教材可以做適當改進，在算法中滲透算理。計算方法的練習要以理解算理為基礎，通過揣摩和吸收算理來鞏固和助力算法，以提高計算的正確率。

“小數(shù)乘整數(shù)”的算理是什么？華羅庚曾說：“數(shù)（shù）起源于數(shù)（shǔ），量（liàng）起源于量（liáng）?！逼鋵嵜總€數(shù)都是度量結(jié)果的量化記錄，是計數(shù)單位的累加。整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的加減法莫不如是，都是對同類計數(shù)單位的累加或者遞減。

對于小數(shù)乘整數(shù)的算理，也可以從小數(shù)的意義以及計數(shù)單位的幾何倍增角度來理解。以“0.7×3”為例，它表示求3個0.7的和，因為0.7的計數(shù)單位是0.1，它里面有7個0.1，于是0.7×3的積里面就有7×3=21（個）0.1，21個計數(shù)單位0.1累計起來就是2.1。

學生在經(jīng)歷探究后，重新觀察、比較積的小數(shù)位數(shù)與兩個因數(shù)的小數(shù)位數(shù)的關系，就能概括出小數(shù)乘小數(shù)的一般方法：先把兩個因數(shù)去掉小數(shù)點視為整數(shù)，計算出整數(shù)結(jié)果后，再根據(jù)兩個因數(shù)的總小數(shù)位數(shù)確定積的小數(shù)位數(shù)。計算時要同步思考的算理：過渡的整數(shù)積其實就是新的計數(shù)單位的個數(shù)。而借助積的變化規(guī)律來解釋小數(shù)乘法中小數(shù)點的處理屬于科學歸納法的范疇，不能認作算理。

三、教材永遠值得完善

教材中素材的安排展現(xiàn)了知識結(jié)構，數(shù)學教學要高屋建瓴，將學習過程與知識邏輯鏈接起來。

筆者認為，“小數(shù)乘整數(shù)”和“小數(shù)乘小數(shù)”這兩個內(nèi)容應該并作一個教學單元，而蘇教版教材將它們分設為兩個單元，并在中間插入其他知識，如此一來，小數(shù)乘法計算法則的完整性被破壞，學生也很難對計算法則建立系統(tǒng)認知，阻礙了學生計算技能的形成。為了消除不良影響，教師在教學“小數(shù)乘整數(shù)”時就應傳遞“小數(shù)乘法”算理的強烈信號，對相關計算及時歸納總結(jié)，揭示算理，以輔助學生完善認知。

綜上所述，教師要做到妥善處置教材編排順序，并在內(nèi)容上相互鏈接印證，避免分散割裂，讓教學內(nèi)容既循序漸進，又經(jīng)絡通達。