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    多面體外接球問題突破策略

    2018-11-01 02:39:30曹丹育
    關(guān)鍵詞:直觀想象球心多面體

    曹丹育

    【內(nèi)容摘要】直觀想象的核心素養(yǎng)的考查主要反映在立體幾何中空間想象能力的考查,近幾年全國高考題中立體幾何客觀題對(duì)組合體的考查熱度不減,其中外接球問題是重中之重,如何求外接球的半徑、表面積或體積,關(guān)鍵在于尋找外接球的球心,非特殊幾何體通過尋找球的兩個(gè)不平行的截面的圓心就可以確定球心,這樣將空間問題化為平面問題,化抽象為直觀,便于分析和解決問題。

    【關(guān)鍵詞】直觀想象 多面體 外接球 球心

    隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入,數(shù)學(xué)教學(xué)更加關(guān)注核心素養(yǎng)的培養(yǎng),首都師范大學(xué)王尚志教授指出:“核心素養(yǎng)相對(duì)具體學(xué)科是抽象的,但它能以不變應(yīng)萬變,中國學(xué)生應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?!睆慕鼛啄耆珖呖夹抡n標(biāo)卷對(duì)立幾的考查來看,對(duì)空間想象能力的要求提高了,特別是球的組合體問題的考查,著重考查學(xué)生直觀想象的學(xué)科素養(yǎng)。而人教版高中數(shù)學(xué)必修二只是簡單介紹球的概念和體積、表面積公式,對(duì)球的性質(zhì)及與其它幾何體結(jié)合的組合體問題只字未提,而球的組合體的考察顯然是熱點(diǎn)問題,該如何解決幾何體外接球的半徑、體積和表面積問題呢?筆者根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),對(duì)立體幾何中的外接球問題進(jìn)行一些探索補(bǔ)充,希望對(duì)解決這類問題有所幫助。筆者認(rèn)為解決球的問題,關(guān)鍵量——半徑,也就是球心到球面的距離,那么尋找球心就是重中之重,如何解決球心的位置問題呢?

    一、球心位置概述

    1.球的大圓的直徑的中點(diǎn);

    2.過球的兩個(gè)不平行的小圓的圓心且垂直小圓面的兩直線交點(diǎn)。如圖(1),(2)。

    顯然第一種方法確定球心不方便,因?yàn)轭}意往往只給出一個(gè)多面體,外接球不易畫,當(dāng)然更無法通過球的大圓來找圓心,所以筆者認(rèn)為第二種方法適用,只要尋找兩個(gè)不平行的截面的圓心就可以確定球心,這樣將空間幾何問題降維為平面幾何問題,便于想象和分析,再把條件集中到某個(gè)直角三角形,利用方程思想破解。下面以特殊幾何體和一般幾何體為例分別說明如何確定球心。

    二、常見的特殊幾何體外接球

    1.長方體外接球,其直徑就是長方體的對(duì)角線,(或說長方體側(cè)棱中的對(duì)棱形成的矩形所在的外接圓就是球的大圓)對(duì)角線的中點(diǎn)就是球心。(正方體是特殊的長方體)

    2.正四面體的外接球,它的球心是它的高的四等分點(diǎn)中離面最近的第一個(gè)等分點(diǎn),它也是內(nèi)切球的球心;高的四分之三為外接球半徑,四分之一為內(nèi)切球半徑。正四面體也可置于一個(gè)正方體中,則正四面體的外接球即為正方體的外接球。

    3.邊數(shù)為偶數(shù)的正棱柱的外接球,它的正對(duì)兩側(cè)棱形成的矩形對(duì)角線就是直徑。

    4.正棱錐的外接球,它的球心一定在它的高線所在的直線上。

    5. 三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球,可用補(bǔ)形法,將其補(bǔ)成一個(gè)長方體,三條兩兩垂直的側(cè)棱即為長方體的長、寬、高,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球。

    6.四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐,也可用補(bǔ)形法,將其置于長方體中,則該三棱錐的外接球即為長方體的外接球。

    例1.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長都為a, 頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則這球的表面積為 .

    分析:球心在上、下底面中心的連線上,而且在連線的中點(diǎn)處,由R=216a,所以球的表面積為7πa23.

    例2.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長均為a,則其外接球的表面積是 .

    分析:可通過補(bǔ)形法,將三條兩兩垂直的側(cè)棱作為長方體的長、寬、高補(bǔ)成一個(gè)長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,此題正好補(bǔ)為一個(gè)正方體,從而2R=3a2=3a,所以外接球的表面積為3a2π.

    三、非特殊幾何體的外接球問題

    尋找外接球的球心,求外接球的半徑的基本步驟:通過兩個(gè)互相不平行的兩表面多邊形的外接圓圓心→過外接圓圓心作垂直外接圓面的垂線→兩垂線的交點(diǎn)就是球心→再通過解三角形相關(guān)定理求得球的半徑,解決球的體積或表面積等問題。

    例3.已知如圖所示的三棱錐D-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,△ABC 和△DBC所在平面相互垂直,AB=3,AC=3,BC=CD=BD=23,則球O的表面積為( )

    A.4π B.12π C.16π D.36π

    說明:由于△DBC為等邊三角形,所以其外接圓的圓心必是△DBC的中心,設(shè)為P,而△ABC為直角三角形,其外接圓的圓心必是BC的中點(diǎn),設(shè)為Q,則過P與Q分別作△DBC和△ABC所在面的垂線,交點(diǎn)正好在△DBC中BC邊上的高上,此交點(diǎn)就是球心。

    解:∵AB=3,AC=3,BC=23

    ∴AB2+AC2=BC2

    ∴AC⊥AB

    ∴△ABC的外接圓的半徑為3,

    ∵△ABC和△DBC所在平面互相垂直,∴球心在BC邊的高上 .

    設(shè)球心到平面ABC的距離為h,h2+3=R2=(32×23-h)2,

    ∴h=1,R=2. ∴球O的表面積為16π.

    例4.已知邊長為23的菱形ABCD中,∠BAD=60°,沿對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C為120°的四面體ABCD,則四面體的外接球的表面積為( )

    A. 25π B. 26π C. 27π D. 28π

    分析:由已知菱形ABCD可知△DBC和△DBA均為等邊三角形,所以分別由△DBC和△DBA的中心即外接圓的圓心作這兩個(gè)三角形所在面的垂線,交點(diǎn)即為球心O,其中O′為△DBC的外接圓的圓心(三角形的中心),則∠AFC=120°,∠OFO′=60°, OO′⊥FC.

    解:如圖所示,∠AFC=120°, AF=32×23=3,則∵O′B=2,O′F=1,

    ∴O′O=tang60°·1=3,

    ∴由勾股定理可得R2=(3)2+4=7

    所以四面體的外接球的表面積為28π.

    【方法點(diǎn)睛】這兩題主要是考查了球的組合體問題,要求表面積,就是要求半徑,那么關(guān)鍵是找兩個(gè)截面圓的圓心,再找球心,其中解答中涉及到球的基本性質(zhì)的應(yīng)用、球的表面積公式、三棱錐的線面位置關(guān)系、棱錐的體積公式等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查,著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力,以及空間想象能力,突出數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)中直觀想象的考查。

    多面體外接球問題緊緊扣住如何確定球心位置為突破口,通過尋找兩個(gè)不平行截面圖形的外接圓圓心,然后分別過兩個(gè)圓心作垂直于截面的垂線,交點(diǎn)即為球?yàn)镺,進(jìn)而將抽象問題具體化,化空間圖形問題為平面圖形問題,再利用直角三角形達(dá)到解決目的。通過特殊與非特殊幾何體外接球問題的突破,復(fù)雜問題簡單化,相關(guān)問題迎刃而解。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]黃喜濱, 江澤. 基于核心素養(yǎng)的空間幾何體外接球之探究[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué), 2017(8):15-18.

    [2]陳炳泉. 一道省質(zhì)檢試題的探討[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué), 2017(5):1-4.

    (作者單位:福建省南平地區(qū)政和縣第一中學(xué))

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