模式失配條件下連續(xù)時(shí)間控制系統(tǒng)的零控脫靶量估計(jì)誤差分布

項(xiàng)盛文 范紅旗 付強(qiáng)

海灣戰(zhàn)爭以后,戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈(Tactical ballistic missiles,TBM)逐漸成為防空系統(tǒng)的攔截對象,而具有潛在機(jī)動(dòng)能力的TBM 的出現(xiàn),則給現(xiàn)有防空系統(tǒng)提出嚴(yán)峻的挑戰(zhàn).當(dāng)前,高速大機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截問題引起了國內(nèi)外各研究團(tuán)隊(duì)的廣泛關(guān)注,其中最具代表的是以色列的Shinar團(tuán)隊(duì)[1?4].此類目標(biāo)攔截的最大挑戰(zhàn)在于它要求特別小的脫靶量(Miss distance,MD)甚至是直接碰撞.對于該問題,由于導(dǎo)彈加速度飽和、非高斯噪聲以及系統(tǒng)的非線性,確定性等價(jià)原理[5]已不再適用.然而,當(dāng)導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對狀態(tài)滿足可觀測性條件時(shí),部分分離定理仍然成立,此時(shí)估計(jì)器仍可獨(dú)立于導(dǎo)引律進(jìn)行設(shè)計(jì)[6].

在估計(jì)器給定后,建立零控脫靶量(Zero-effort miss distance,ZEM)的估計(jì)誤差模型便具有重要意義.一方面,ZEM是導(dǎo)引律中的一項(xiàng)關(guān)鍵輸入?yún)?shù),不同導(dǎo)引律間的區(qū)別僅在于不同的ZEM 計(jì)算方式.因此,ZEM的估計(jì)精度將直接影響制導(dǎo)性能,合適的ZEM估計(jì)誤差模型可以有效指導(dǎo)制導(dǎo)系統(tǒng)的設(shè)計(jì).另一方面,作為評價(jià)高度大機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截性能的重要指標(biāo),脫靶量的解析計(jì)算方法中需要用到ZEM的估計(jì)誤差模型[7?10].

目前,在給定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型、估計(jì)器、控制策略、以及具體的擾動(dòng)和噪聲模型后,ZEM 的估計(jì)誤差分布主要通過大量蒙特卡洛仿真得到.然而,這種后驗(yàn)方法在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)階段并不十分適用.Moldavskaya等[11]提出了一種求解ZEM 估計(jì)誤差分布的解析方法.采用成形濾波器技術(shù)近似目標(biāo)加速度指令,近似的指令由白噪聲通過一個(gè)一階線性系統(tǒng)后得到,且與原指令具有相同的自相關(guān)函數(shù).假定初始的估計(jì)誤差為零,測量噪聲和狀態(tài)噪聲為互相獨(dú)立的零均值高斯白噪聲,則得出ZEM 的估計(jì)誤差服從零均值高斯分布,其中狀態(tài)估計(jì)誤差的方差矩陣滿足Riccati方程.

在末制導(dǎo)系統(tǒng)中,由于系統(tǒng)誤差、觀測噪聲等不確定因素以及不完全的狀態(tài)觀測,估計(jì)器需同時(shí)扮演觀測器和濾波器的角色,即要求其同時(shí)兼顧未知狀態(tài)重建及測量噪聲濾波這兩方面的性能,但使用固定帶寬的成形濾波器難以同時(shí)兼顧估計(jì)精度和響應(yīng)速度.相關(guān)的研究工作表明,組合使用獨(dú)立模式辨識器和一個(gè)低帶寬高精度估計(jì)器更適合高速大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截問題,可顯著提升制導(dǎo)性能[12?14].實(shí)際上,對于高速大機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截,雷達(dá)和光電導(dǎo)引頭能夠觀測到目標(biāo)的特征信息,這些特征為模式辨識器的設(shè)計(jì)提供了額外的信息且可改善系統(tǒng)對目標(biāo)機(jī)動(dòng)的響應(yīng)速度[15?18].Fan等在引入獨(dú)立模式辨識器的基礎(chǔ)上,分析了狀態(tài)估計(jì)的誤差特性[19].考慮到ZEM對大機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的重要意義,本文在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)模式失配條件下ZEM的估計(jì)誤差分布.

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型

與大多數(shù)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截文獻(xiàn)類似[7?11,20],本文僅考慮一彈一目的平面攔截情形.如圖1所示,用P和E分別表示導(dǎo)彈(追方)和目標(biāo)(逃方),并作如下假設(shè)[11,19?21]:

1)P和E的控制動(dòng)態(tài)可用一階轉(zhuǎn)移函數(shù)來近似,相應(yīng)的時(shí)間常數(shù)分別為τp和τe;

2)P和E的速度是恒定的,分別用Vp和Ve表示;

3)P和E的橫向加速度有界,其最大橫向加速度分別用表示.

在圖1中,X軸沿彈目初始視線方向;Y垂直于X軸;(xp,yp)和(xe,ye)分別為P和E的當(dāng)前坐標(biāo);φi,i=p,e分別是P和E的偏航角,它表示速度矢量和X軸的夾角.假設(shè)偏航角滿足(sinφp=φp,sinφe=π ? φe),則彈目運(yùn)動(dòng)軌跡可以沿著初始視線進(jìn)行線性化.假定接近速度恒定,起始時(shí)刻t0=0s,給定彈目起始距離r0后,攔截的終止時(shí)刻滿足:

剩余飛行時(shí)間定義為tgo=tf?t.

定義狀態(tài)矢量x= [x1,x2,x3,x4]T=[y,y˙,aey,apy]T.基于上述三條假定,整個(gè)攔截過程的時(shí)間t∈[0,tf],且具有下述線性動(dòng)態(tài)模型:

其中,x1=ye?yp為P和E之間沿Y軸的相對距離;x2為相對的橫向速度;aiy,ui,i=p,e分別為i的橫向加速度和加速度指令且滿足:

定義

其中,γ稱為機(jī)動(dòng)過載比,ε通常稱為敏捷系數(shù).為了保證較好的攔截精度,傳統(tǒng)最優(yōu)控制框架下的導(dǎo)引律如OGL(Optimal guidance law)通常需要過載優(yōu)勢滿足γ>3,比例導(dǎo)引和增廣比例導(dǎo)引則需要4到5倍的過載優(yōu)勢,本文面向TBM攔截應(yīng)用,考慮過載比γ<2.5的大機(jī)動(dòng)目標(biāo)且ε≈1.

圖1 平面攔截幾何Fig.1 Planer interception geometry

將動(dòng)態(tài)模型寫成矢量形式

其中

對狀態(tài)方程(6)采用終端投影變換

則可將平面攔截問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)標(biāo)量問題.系統(tǒng)的新狀態(tài)變量為零控脫靶量z(t),而系統(tǒng)的脫靶量則為終止時(shí)刻tf的z(t),即z(tf).式(8)中,D=[1,0,0,0]T;Φ(tf,t)為滿足齊次方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,求解得到:

因此,可將零控脫靶量z(t)表示為

1.2 馬爾科夫跳變的加速度指令模型

與采用成形濾波器不同,本文引入一個(gè)獨(dú)立的模式辨識器,采用馬爾科夫跳變模型來描述目標(biāo)的橫向加速度控制指令:

如圖2所示,這里將目標(biāo)橫向加速度指令所在的控制空間量化為一系列離散點(diǎn)構(gòu)成的模式集.假定:ue(t)在這些點(diǎn)之間跳變;m(t)為離散化的目標(biāo)橫向加速度指令,即目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式;w(t)為量化誤差,假定其為零均值的高斯白噪聲,功率譜密度為sw.有關(guān)機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤模型集的設(shè)計(jì)方法可以參見文獻(xiàn)[15,22?24].

圖2 目標(biāo)橫向加速度指令模型集Fig.2 Mode-set of the evader's lateral acceleration command

不失一般性,假定[0,tf]內(nèi)目標(biāo)只發(fā)生一次模式切換,令tsw表示模式切換時(shí)刻,m1,m2分別表示模式切換前后目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式量,則m(t)可表示為

其中,u(t)為階躍函數(shù),定義為

1.3 系統(tǒng)觀測模型

與文獻(xiàn)[19]類似,本文采用的觀測模型為

其中觀測矩陣

觀測噪聲v(t)為零均值的高斯白噪聲,其協(xié)方差矩陣為R(t).

2 ZEM估計(jì)誤差模型的推導(dǎo)

考慮如圖3所示的一種典型的制導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu).圖3中,獨(dú)立的模式辨識器為估計(jì)器和導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)提供目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式信息.文獻(xiàn)[14]基于該架構(gòu)給出的導(dǎo)引律為基于邏輯的聯(lián)合估計(jì)導(dǎo)引律.本文在這個(gè)框架下推導(dǎo)模式失配條件下ZEM的估計(jì)誤差分布形式.

圖3 一種典型的制導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.3 A typical structure of guidance system

在此,我們對模式辨識器的行為作如下假定:目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式切換后經(jīng)過?t的時(shí)間延遲,模式辨識器可給出正確的模式估計(jì)結(jié)果.目標(biāo)模式切換和模式辨識器的模式?jīng)Q策過程如圖4所示.

圖4 模式切換和模式辨識器輸出示意圖Fig.4 Diagram of mode switch and decision-maker output

將式(12)的目標(biāo)加速度指令代入系統(tǒng)狀態(tài)方程,可以得到:

估計(jì)器采用Kalman濾波器,由圖4可知估計(jì)器的動(dòng)態(tài)方程為

下面分三種情況討論:

情形1.tf

結(jié)合式(15)觀測模型可以得到下述濾波方程

其中,k(t)為系統(tǒng)的連續(xù)Kalman增益矩陣且滿足

P(t)為預(yù)測誤差的協(xié)方差矩陣,滿足下述Riccati方程

情形2.tsw≤tf

1)t∈[0,tsw),此時(shí)估計(jì)器一直保持正確的模式,狀態(tài)估計(jì)誤差的均值和方差矩陣分別如式(25)和(26)所示.

2)t∈[tsw,tf],此時(shí)存在模式失配,系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

估計(jì)器的濾波方程仍為式(20).根據(jù)定義,可以得到狀態(tài)估計(jì)誤差的時(shí)間傳遞方程:

求解方程(28)得到

利用式(24)可得:

將其代入式(29),則

根據(jù)定義,狀態(tài)估計(jì)誤差的均值為

狀態(tài)估計(jì)誤差的方差矩陣同式(26).詳細(xì)的推導(dǎo)過程見附錄A.

情形3.tsw+?t≤tf.需要分三段進(jìn)行討論:

1)t∈[0,tsw),此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和估計(jì)器的濾波方程分別如式(19)和(20)所示,狀態(tài)估計(jì)誤差的均值和方差矩陣則分別見式(25)和(26).

2)t∈[tsw,tsw+?t),存在模式失配,此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和估計(jì)器的濾波方程分別如式(27)和(20)所示,狀態(tài)估計(jì)誤差的均值和方差則矩陣分別見式(32)和(26).

3)t∈[tsw+?t,tf],估計(jì)器回到正確的目標(biāo)模式上,此時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)方程為式(27),而估計(jì)器的濾波方程為

根據(jù)定義,可以得到狀態(tài)估計(jì)誤差滿足方程

求解得到

由式(31)可得:

代入式(35)后得到

根據(jù)定義,狀態(tài)估計(jì)誤差的均值為

狀態(tài)估計(jì)誤差的方差矩陣滿足式(26),詳細(xì)推導(dǎo)見附錄A.

其中,ψ(θ)=exp(?θ)+θ?1.

因此,存在模式失配時(shí)每一時(shí)刻ZEM 的估計(jì)誤差均服從有偏的高斯分布,其均值和方差分別為μ(t)和σ2(t).從式(40)和(41)的結(jié)果來看:

1)制導(dǎo)系統(tǒng)對ZEM估計(jì)誤差的的影響主要體現(xiàn)在導(dǎo)引律、彈目時(shí)間常數(shù)、剩余飛行時(shí)間tgo以及觀測精度4個(gè)方面;目標(biāo)的影響則主要體現(xiàn)由機(jī)動(dòng)導(dǎo)致的模式失配上.

2)模式失配只影響ZEM估計(jì)誤差的均值μ(t),對σ2(t)沒影響.

3)μ(t)和σ2(t)與系統(tǒng)所用的導(dǎo)引律無關(guān),在后面的仿真驗(yàn)證中,不失一般性,導(dǎo)引律選用DGL/1.

4)tgo的估計(jì)精度及彈目時(shí)間常數(shù)τe和τp通過投影向量g(t)影響脫靶量.在具體的攔截問題中,彈目時(shí)間常數(shù)通?？杉俣榇_定已知的,而雷達(dá)導(dǎo)引頭可直接獲得高精度的tgo測量,因此本文分析中不考慮它們對ZEM估計(jì)誤差的影響.

5)估計(jì)器的觀測精度將直接影響到Kalman增益系數(shù)k(t),見式(21),進(jìn)而影響ZEM估計(jì)誤差的均值和方差.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過一個(gè)典型的TBM攔截場景驗(yàn)證前面理論推導(dǎo)的正確性,仿真參數(shù)設(shè)置如表1,蒙特卡洛仿真次數(shù)設(shè)置為1000.

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

圖5給出了兩種不同過載比γ=2和γ=2.5下ZEM估計(jì)誤差的均值變化曲線.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,本文推導(dǎo)的理論結(jié)果與蒙特卡洛仿真的曲線基本吻合.由圖5還可以看出,當(dāng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式改變時(shí)(t=2s),ZEM的估計(jì)誤差會(huì)迅速增大,當(dāng)運(yùn)動(dòng)模式被正確識別后(t=2.1s),ZEM的估計(jì)誤差將逐漸減小.圖6給出了這兩種情形下ZEM估計(jì)誤差的方差分布,可以看出本文理論推導(dǎo)結(jié)果與蒙特卡洛仿真的曲線同樣也是吻合的.圖5和圖6的仿真結(jié)果充分說明了本文理論推導(dǎo)的正確性.

圖5 ZEM估計(jì)誤差的均值Fig.5 Mean of ZEM estimation error

圖7給出了各狀態(tài)分量的估計(jì)誤差.由該圖可見,當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式改變后,各狀態(tài)分量的估計(jì)誤差都迅速增大,當(dāng)模式匹配后,估計(jì)誤差逐漸減小;導(dǎo)彈自身加速度估計(jì)誤差分量不受模式失配的影響,這與導(dǎo)彈自身的加速度模型是完美可知且可精確測量的假設(shè)相一致.

圖6 ZEM估計(jì)誤差的方差Fig.6 Variance of ZEM estimation error

圖7 各狀態(tài)估計(jì)誤差Fig.7 Estimation error of every state

4 結(jié)論

本文針對高速大機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截問題,推導(dǎo)了模式失配條件下ZEM估計(jì)誤差的分布形式.在過程噪聲和測量噪聲均為零均值高斯白噪聲且相互獨(dú)立的假定下,每一時(shí)刻ZEM 的估計(jì)誤差服從有偏的高斯分布.本文得到了各時(shí)刻ZEM估計(jì)誤差均值和方差的解析表達(dá)式,并與蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了對比,驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性.

將本文的ZEM估計(jì)誤差模型應(yīng)用于模式失配條件下脫靶量模型的推導(dǎo),以及研究基于特征輔助的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式辨識算法將是下一步工作的方向.

附錄A

情形1中ξ(t)和Σ(t)形式證明:

因?yàn)?/p>

所以

同理,很容易推出式(32)和(38),這里不再贅述.

同理,很容易得出在情形2和情形3下,Σ(t)的表達(dá)式與式(26)相同,這里不再贅述.

附錄B