表達素養(yǎng)：數(shù)學核心素養(yǎng)培育的“風向標”

徐文文

摘 要：表達素養(yǎng)是學生數(shù)學“核心素養(yǎng)”的重要組成部分，是數(shù)學“核心素養(yǎng)”的外顯標識。數(shù)學表達的實踐樣態(tài)有直觀動作、具體形象和抽象符號。在數(shù)學教學中，動作、形象和符號，是形成學生表達素養(yǎng)的現(xiàn)實路徑。數(shù)學表達能夠增進學生對數(shù)學知識的理解，強化學生數(shù)學技能，內(nèi)化學生數(shù)學思想，改善學生數(shù)學學習生態(tài)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學教學；核心素養(yǎng)；表達素養(yǎng)

發(fā)展學生數(shù)學“核心素養(yǎng)”，是當下數(shù)學教學的應(yīng)然追求。數(shù)學“核心素養(yǎng)”的內(nèi)涵是十分豐富的，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析。學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是如何展現(xiàn)的？其核心素養(yǎng)的外化表現(xiàn)是什么？筆者認為，學生的數(shù)學表達力是一個重要的表征。數(shù)學表達能夠增進學生對數(shù)學知識的理解，強化學生的數(shù)學技能，內(nèi)化學生的數(shù)學思想，改善學生的數(shù)學學習生態(tài)。

一、數(shù)學表達：核心素養(yǎng)外顯的樣態(tài)標識

語言是思維的外顯形式和載體，它是簡化、壓縮了的數(shù)學思維。借助語言，學生不僅能夠進行表達，而且能夠進行交往。在數(shù)學學習中，學生的表達是豐富的，比如學生可以借助動作進行表達，可以借助圖形進行表達，可以借助符號進行表達。教學中，教師要引導學生進行主動表達，跟進學生表達。通過表達，促進學生數(shù)學“核心素養(yǎng)”的發(fā)展。

1. 直觀動作樣態(tài)的表達

在數(shù)學表達中，學生的直觀動作表達是常見的，尤其是低年級學生的數(shù)學表達更是如此。所謂“直觀動作”，是指學生在數(shù)學學習中用一定的身體動作（包括比畫、演示、操作等）來表達并傳遞某種信息。直觀動作樣態(tài)的表達具有直觀性、互感性、釋義性和情趣性。通過直觀動作樣態(tài)的表達，學生能將數(shù)學知識中最隱蔽、深刻的內(nèi)涵彰顯、敞亮出來。比如學習“認知周長”時，學生對“邊線”的比畫；學習“長方形的面積”時，學生對“平面大小”的比畫；學習“認識厘米”時，學生對“厘米”長度表象的比畫；行程問題中，學生對運動方式、時間等的表演等。直觀動作樣態(tài)的表達能構(gòu)筑立體化、多元化、情趣化的對話空間，促使學生數(shù)學理解走向深入、深刻。

2﹒ 具體形象樣態(tài)的表達

著名數(shù)學家華羅庚先生說，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。學生在數(shù)學學習中，其思維由具體形象向抽象邏輯過渡，離不開形象的支撐。所謂“具體形象”，主要就是借助具體圖形（包括實物圖、示意圖、線段圖、集合圖等）進行學習。通過圖形樣態(tài)的表達，學生能將抽象的數(shù)學問題直觀化，將自我的思維可視化。比如“分數(shù)應(yīng)用題”中“單位‘1的量和單位‘1，比較量和分率之間的對應(yīng)關(guān)系”，就必須借助直觀的線段圖才能讓學生獲得理解。再比如“乘法分配律”，可以借助長方形的面積圖來進行詮釋。通過形象樣態(tài)的表達，學生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學問題、看不見的思維過程及方法清晰地呈現(xiàn)出來。

3﹒ 邏輯符號樣態(tài)的表達

數(shù)學家第爾曼曾說過：“數(shù)學是語言的語言，通過數(shù)學，自然界在論述；通過數(shù)學，世界的創(chuàng)造者在表達；通過數(shù)學，世界的保護者在講演?！痹跀?shù)學學習中，學生借助數(shù)學邏輯樣態(tài)的符號進行表達，能夠發(fā)展學生的符號化思維能力。數(shù)學符號具有抽象性、概括性、簡約性、包攝性等特質(zhì)。比如“間隔排列”問題，當學生在擺學具、畫圖之后，教師要引導學生進行概括，用抽象的符號表征中間物體和兩端物體之間的關(guān)系；又比如概括正反比例關(guān)系式xy=k（一定）和y÷x=k（一定），用數(shù)對（x，y）確定位置等。這些邏輯符號樣態(tài)的表達，能夠催生學生的符號想象，激發(fā)學生的符號思維，進而豐厚學生的數(shù)學“核心素養(yǎng)”。

二、數(shù)學表達：核心素養(yǎng)培育的路徑觀照

學生數(shù)學表達能力的培養(yǎng)是一個循序漸漸、序列化的系統(tǒng)過程。在學生運用語言對數(shù)學知識進行表達的過程中，教師要加強指導。提升學生數(shù)學表達能力的過程，也就是培育學生數(shù)學高階思維的過程。聚焦學生的數(shù)學表達，教學中教師要引導學生用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維分析世界，從而通過數(shù)學表達，讓學生的數(shù)學“核心素養(yǎng)”發(fā)展落地生根、開花結(jié)果。

1. 動作表達：在直觀中發(fā)展核心素養(yǎng)

動作表達，主要是學生借助操作、實驗、手勢等對數(shù)學知識進行表征。動作表達，一方面能讓學生內(nèi)隱的思維外化出來；另一方面，有助于增進同伴的理解。通過動作表達，積累學生感性經(jīng)驗，發(fā)展學生直觀想象力。在這個過程中，教師要注重融通學生的思維和想象，打通學生感性與理性的通道。

例如：教學《千克和克》（蘇教版小學數(shù)學教材三年級下冊），部分學生對千克這樣的一個質(zhì)量概念的認知容易受到體積概念、密度概念的影響，如他們總是認為1千克鐵比1千克棉花重?；诖耍P者在教學中讓學生從家中帶來了鐵和棉花，用天平進行直觀演示，讓學生直觀感知相同質(zhì)量的棉花和鐵，體積不一樣，但天平能夠保持平衡。這樣的教學，有助于學生理解數(shù)學知識的本質(zhì)。再如：教學《相遇問題》（蘇教版小學數(shù)學四年級下冊），學生用兩只手，手心對手心，表示相向而行；用手背對手背，表示相背而行。而無論是相向而行還是相背而行，其數(shù)學本質(zhì)都屬于“相遇問題”。又如：教學《年、月、日》，對于平年和閏年的規(guī)律，引導學生借助拳頭，凸起的地方是大月，凹下的地方是小月，這樣有助于學生記憶。動作表達，讓學生在直觀中理解數(shù)學，積累學生的感性經(jīng)驗。

作為一種無聲的語言，直觀化的動作豐富而靈動、微妙而富有趣味，簡約而不簡單。有時候，學生的動作猶如一個信息發(fā)射塔，能夠讓知識的內(nèi)涵、意蘊在悄然間得以心領(lǐng)神會。借助動作，能夠為學生打開一扇理解數(shù)學的窗戶，讓數(shù)學課堂的有聲語言和無聲語言相得益彰。

2﹒ 圖形表達：在形象中發(fā)展核心素養(yǎng)

圖形表達是一種感性化的表達，具有形象性、易理解性特質(zhì)。數(shù)學學習中的圖形主要包括“示意圖”“流程圖”“統(tǒng)計圖”“網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖”或“思維導圖”等。在數(shù)學教學中，我們可以根據(jù)實際情況，選取合適的圖形，用以進行形象化的表達。實踐證明，圖形表達能夠化抽象為直觀。將抽象的、復雜的數(shù)學問題（包括算理、推理、題意、意義等）直觀、形象地畫出來，能助推學生的數(shù)學理解，激活學生數(shù)學創(chuàng)造。

例如：教學《分數(shù)乘分數(shù)》（蘇教版小學數(shù)學教材六年級上冊），教師可以借助長方形圖，引導學生理解算理。如×，教師可以引導學生首先把一個長方形看作單位“1”，平均分成5份，表示這樣的3份，涂色表示出來；然后將這3份作為一個整體，看作單位“1”，換個方向平均分成5份，表示其中的2份，涂上雙陰影。這樣，就相當于將整個長方形看作單位“1”，平均分成25份，表示這樣的6份。借助這樣的長方形圖，學生能夠深刻地理解“分數(shù)乘分數(shù)”。這樣的可視化教學，讓抽象的算理變得形象，讓枯燥的法則變得生動。學生不僅理解了數(shù)學知識，更增進了對數(shù)學知識的親近感，讓數(shù)學教學變得事半功倍。

數(shù)學家拉格朗日說：“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但當這兩門學科結(jié)合成伴侶時，它們就相互吸收新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完美?！笨梢暬瘓D形是教師了解學生思維水平、方向和動態(tài)，表征抽象的數(shù)學知識的最好的載體。通過形象化的圖形，數(shù)學的抽象知識看得見、摸得著，學生的數(shù)學思維能夠獲得可視化支撐。

3﹒ 符號表達：在抽象中發(fā)展核心素養(yǎng)

相較于直觀動作表達和具體形象表達，數(shù)學符號的表達更具有數(shù)學的規(guī)范性、嚴謹性、邏輯性。符號既是一種數(shù)學語言，也是一種數(shù)學工具，更是一種數(shù)學方法。符號的經(jīng)歷、體驗、運用等應(yīng)該貫穿于學生數(shù)學學習的始終。如果說，動作是在直觀中、圖形是在形象中發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，那么，符號表達就是在抽象、推理中發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

例如：教學《數(shù)的奇偶數(shù)》（蘇教版小學數(shù)學五年級下冊），對于“奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)”“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”等如何證明呢？有學生用舉例（假設(shè)）的方法來進行判斷，但始終不能認識到這樣運用的數(shù)學本質(zhì)?；诖耍P者在教學中運用符號進行表達，引導學生的數(shù)學認知向縱深推進。如“（2n+1）+（2n+1）=4n+2”“（2n-1）+（2n-1）=4n-2”“（2n+1）+（2n-1）=4n”，這樣的符號化運算，形成了學生獨特而深刻的理解。有學生認為，正是從第一個奇數(shù)中拿出1，再從另一個奇數(shù)中拿出1，將這兩個1合成2，所以和是偶數(shù)；有學生認為，從第一個奇數(shù)中去掉1，再從第二個奇數(shù)中去掉1，這樣兩個奇數(shù)就變成了偶數(shù)，偶數(shù)和偶數(shù)合起來還是偶數(shù)；有學生認為，從第一個奇數(shù)中拿出1去補充第二個奇數(shù)，所以兩個奇數(shù)都變成了偶數(shù)，即兩個奇數(shù)相加的和是偶數(shù)……

符號是人們進行數(shù)學表示、計算、推理和交流的工具。在數(shù)學教學中，教師要鼓勵學生使用符號表達信息，使用符號進行運算、推理。只有這樣，才能增強學生的符號化意識和符號化能力。通過數(shù)學符號，讓學生學會數(shù)學思考，為學生終身發(fā)展奠基。

數(shù)學表達素養(yǎng)是學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分。在學生表達素養(yǎng)生成過程中，教師要有清晰的培養(yǎng)目標、多樣的培植策略、持續(xù)的培育指導。通過數(shù)學表達，幫助學生建構(gòu)對知識的理解，強化學生對技能的掌握，呈現(xiàn)學生的數(shù)學觀察、實驗、猜想、運算、推理、驗證等思維過程及數(shù)學問題解決的思路方案，不斷發(fā)展和提升學生數(shù)學“核心素養(yǎng)”。