因“錯(cuò)”追根溯源

張軍俠

摘 要：通過對(duì)具體行程類函數(shù)問題的分析，探尋解決問題的策略，在探究中糾錯(cuò)，知其然，知其所以然，感受數(shù)形結(jié)合思想，凸顯圖象的作用，提高思維高度，積累解決此類問題的通性通法，內(nèi)化為能力.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}引領(lǐng)；糾錯(cuò)；初中數(shù)學(xué)

一、試題呈現(xiàn)

一巡邏艇從A碼頭勻速駛往B碼頭，接著再勻速駛往A碼頭，如圖1是該巡邏艇離開A碼頭航行過程中與A碼頭的距離s1（千米）與航行的時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)圖象.當(dāng)巡邏艇從A碼頭出發(fā)時(shí)，在其前方20千米處有一游輪以每小時(shí)20千米的速度勻速駛向終點(diǎn)B碼頭.

（1）寫出該游輪與A碼頭的距離s2（千米）和它航行的時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并在圖中的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象.

（2）求巡邏艇航行過程中與游輪相遇的時(shí)間.

（3）求游輪到達(dá)B碼頭時(shí)與巡邏艇之間的距離.

二、問題引領(lǐng)

1.有效解讀信息，還原情境

（1）橫軸、縱軸各表示什么實(shí)際意義？

（2）圖象呈分段態(tài)勢(shì)，巡邏艇是如何航行的？（讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言來描述）

（3）能用線段示意圖給予解釋嗎？0～3小時(shí)的示意圖，3～7小時(shí)的示意圖.

（4）圖象中的兩條線段分別對(duì)應(yīng)了巡邏艇的哪段航行過程？

（5）圖中的起點(diǎn)、拐點(diǎn)代表了什么意義？

（6）有關(guān)游輪的航行過程，要抓它的起點(diǎn)和終點(diǎn)，起點(diǎn)坐標(biāo)是什么？

（7）這里的時(shí)間以巡邏艇為標(biāo)準(zhǔn)，思考當(dāng)巡邏艇在A碼頭時(shí)，游輪在什么位置？

（8）按每小時(shí)20千米的速度前行，何時(shí)可以到達(dá)B碼頭，

（9）表示游輪的終點(diǎn)位置，縱坐標(biāo)是多少？橫坐標(biāo)是多少？

（10）如何在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象.

問題能引導(dǎo)學(xué)生將文字語(yǔ)言翻譯為直觀圖形，同時(shí)捕捉到A碼頭到B碼頭的距離、巡邏艇從A碼頭到B碼頭的速度以及巡邏艇從B碼頭到A碼頭的速度.通過這幾個(gè)問題串的設(shè)計(jì)引領(lǐng)，將“形”的問題轉(zhuǎn)換為有關(guān)“數(shù)”的問題.

2.展示典型錯(cuò)誤，剖析錯(cuò)因

（1）起點(diǎn)錯(cuò)誤，將圖象畫成一條直線.

畫完游輪的圖象后，發(fā)現(xiàn)與原圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，那交點(diǎn)表示的意義是什么？能否求出交點(diǎn)坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程問題，再結(jié)合線段示意圖解釋：為什么會(huì)有兩種情形？這與小學(xué)所學(xué)的線段示意圖相吻合.而凸顯出圖象的直觀性，避免漏解的情形.

（2）少考慮巡邏艇返回時(shí)與游輪相遇的情形.

求游輪到達(dá)B碼頭時(shí)與巡邏艇之間的距離.借助圖象如何解釋？

即圖中2MN的長(zhǎng)度，如何轉(zhuǎn)化這一問題，即游輪到達(dá)B碼頭的時(shí)間對(duì)應(yīng)的巡邏艇與B碼頭的距離，而s1表示該巡邏艇離開A碼頭航行過程中與A碼頭的距離，所以還需用120-60=60.

（3）將巡邏艇所行的路程與巡邏艇與碼頭的距離兩者混淆.

此60非彼60.在落入誤區(qū)和走出誤區(qū)的過程中，吃一塹長(zhǎng)一智，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性得到鍛煉，繼續(xù)追問：比對(duì)正確答案，你知道錯(cuò)誤的地方嗎？錯(cuò)誤的原因能尋找出來嗎？能將它訂正嗎？在反復(fù)的追問、逼問下，答案水落石出，這樣可以暴露學(xué)生思維的薄弱環(huán)節(jié)，又能使學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤所在，有利于自診自治，提高對(duì)錯(cuò)誤的免疫力.

3.利用函數(shù)圖象學(xué)會(huì)提出問題

圖象清晰地刻畫了巡邏艇和游輪的航行過程，但學(xué)生不能很好地結(jié)合圖象、函數(shù)關(guān)系式以及方程等有機(jī)地解決這一問題.為了培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力，根據(jù)題目設(shè)置變式：當(dāng)t=______（h）時(shí)，巡邏艇與游輪相距10 km.

此時(shí)，學(xué)生不再是盲目地計(jì)算，而是通過圖象幫助理解題意，數(shù)形結(jié)合，觀其勢(shì)，會(huì)其意，交點(diǎn)的前后分別表示了兩者之間的距離，思路盡在其中，學(xué)生不再云里霧里，而是云開霧散，再見彩虹，有種豁然開朗的感覺.

三、教學(xué)啟示

優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)課堂結(jié)構(gòu)不僅要關(guān)注知識(shí)，還要關(guān)注思維以及學(xué)生的生命成長(zhǎng).課堂中，不僅注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，而且注重?cái)?shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想，還關(guān)注學(xué)生生命的成長(zhǎng).最大限度地利用學(xué)生錯(cuò)誤，在碰撞中激發(fā)思維的火花，給學(xué)生的學(xué)習(xí)增添了樂趣，給學(xué)生帶來了真實(shí)的體驗(yàn)，個(gè)性和自信心得到發(fā)展。

數(shù)學(xué)家波利亞說過：錯(cuò)誤往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試錯(cuò)的方法。在講題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把錯(cuò)誤當(dāng)作寶貴的學(xué)習(xí)資源，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生求知、求思的積極性和主動(dòng)性；在互動(dòng)中探究錯(cuò)誤原因，提煉共性；指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反思錯(cuò)誤，從中得出學(xué)習(xí)方法.

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