極限思想的解題應(yīng)用與思考

☉江蘇省靖江市第一高級中學(xué) 王國軍

“極限”是數(shù)學(xué)中較為重要的概念，在數(shù)學(xué)的眾多問題中都有滲透，對于該類問題的分析可以采用極限思想，從趨近性角度來洞察問題的極端狀態(tài)，探索解題思路，下面將對極限思想進行解題探討.

一、解題分析與應(yīng)用

1.函數(shù)問題

函數(shù)是高中階段最為重要的內(nèi)容，也是其他知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，利用極限思維研究函數(shù)是數(shù)學(xué)中較為常用的一種方式，在分析函數(shù)的變化趨勢、取值范圍、單調(diào)區(qū)間等方面有著極好的便利性，是解決問題的重要思想方法.

例1已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex-a（x-1）2（a＞0），試分析f（x）的零點個數(shù).

分析：分析函數(shù)f（x）的零點個數(shù)，實際上就是分析函數(shù)的變化趨勢，需要繪制函數(shù)的圖像，可以借助函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用極限思想判定x→+∞和x→-∞時的變化趨勢，然后確定零點個數(shù).

解：令（x-2）ex+a（x-1）2=0，則（x-2）ex=-a（x-1）2.令g（x）=（x-2）ex，g′（x）=（x-1）ex.當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（-∞，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，且g（1）=-e＜0.

令h（x）=-a（x-1）2，由于a＞0，則函數(shù)h（x）的圖像開口向下，h（1）=0，則其頂點為（1，0）.

分析可知當(dāng)x→-∞時，g（x）→0，即極限為0，h（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時，g（x）→+∞，h（x）→-∞，如圖1所示，由于a＞0時，函數(shù)g（x）和h（x）的圖像必有兩個交點，則原函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為2.

函數(shù)的曲線變化反應(yīng)的是因變量與自變量之間的聯(lián)系，其中隱含著較為重要的函數(shù)性質(zhì)，而函數(shù)的這種獨有的變化實際上就是數(shù)學(xué)上的極限，即曲線的趨向性.利用極限思想求解時需要借助導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)建函數(shù)研究的模型，然后從極限角度分析曲線的趨向，函數(shù)問題的形式是多樣的，但從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，挖掘曲線的變化信息是最本質(zhì)的解法.首先在區(qū)間［0，1］上取兩組均勻分布的隨機數(shù)：x1，x2，x3，…，xN和y1，y2，y3，…，yN，然后將其組成N個點（xi，yi）（i=1，2，3，…，N），最后從中抽取出滿足yi≤f（xi）（i=1，2，3，…，N）的點，設(shè)點數(shù)為N1，由此就可以估算出積分

2.概率問題

概率反映的是試驗結(jié)果出現(xiàn)的一種可能性，是一種試驗頻率，一般隨著試驗次數(shù)的增多、統(tǒng)計量的加大，頻率會越發(fā)準(zhǔn)確地還原事件的真實情況，因此是一個抽象的數(shù)學(xué)概念，其本身就滲透著極限思想，利用極限思想來研究概率問題更貼近概率本源.

例2y=f（x）是區(qū)間［0，1］上的連續(xù)函數(shù)，并且在區(qū)間上始終滿足0≤f（x）≤1，現(xiàn)采用隨機模擬的方式來估算積分則其近似值為多少？

分析：根據(jù)題目信息可知，x∈［0，1］，y∈［0，1］，由極限思想可以將其理解為N個點（xi，yi）組成了一個面積為1的區(qū)域，估算積分的值需要從區(qū)域中提取出滿足條件的點，則相當(dāng)于從中提取一塊面積，計算面積的比率.

解：N個點（xi，yi）組成了一塊面積為1的區(qū)域，而表示的是該區(qū)域的曲邊梯形圍城的面積，如

極限思想在概率研究中有著極為重要的地位，是其基礎(chǔ)理論建立的重要思想.微積分是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，在高中階段則可以采用極限的思想對其加以描述，即從區(qū)域面積角度構(gòu)建模型.另外，極限思想可以還原概率的抽象過程，假設(shè)出概率問題的極端情形，從而獲得解決問題的有效方法，因此，極限思想是構(gòu)建創(chuàng)造性解題思路的指導(dǎo)思想.

3.立體幾何問題

極限思想在立體幾何中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在對幾何形狀、面積、角度、長度的特定描述，可以從直觀角度完美呈現(xiàn)問題研究的模型.幾何求解中的特值法和假設(shè)法，常通過設(shè)定幾何圖形的相關(guān)參數(shù)來構(gòu)建模型，其中就滲透著數(shù)學(xué)的極限思想，是極限思維的一種應(yīng)用.

例3如圖3所示，圓的直徑為AB，C是圓上的一點，PA垂直圓所處的平面，DE垂直平分PB，交AB于點D，交PB于點E，已知PA=AC，PC=CB.如果點Q位于線段PA上，分析是否存在一點Q，使得PB與平面QCD成45°角？

分析：本題目求滿足PB與平面QCD成45°角時點P的位置，實際上為幾何動點問題，設(shè)PB與平面QCD所成角為θ，二面角Q-CD-E的平面角為α，則兩者之間存在如下關(guān)系：隨著點Q的移動，α的大小也會發(fā)生變化，可以使用極限思想，考慮點Q的極端位置P和A兩點處的情形，從而判斷θ為45°的可能性，則問題的關(guān)鍵是首先確定二面角Q-CD-E的平面角，可以利用立體幾何知識確定.

解：分析可知，CE⊥PB，DE⊥PB，則PB⊥平面CDE，有CD⊥PB.又因PA垂直底面圓，則PA⊥CD.由可知CD⊥平面PAB，則有CD⊥DE，CD⊥DQ，所以二面角Q-CD-E的平面角為∠EDQ.

設(shè)PB與平面QCD所成角為θ，二面角Q-CD-E的平面角∠EDQ為α，則有分析可知當(dāng)點Q從點P移向點A的過程中，α是逐漸增大的過程，位于點P、A時處于極端位置.

在立體幾何中，點的運動會顯著改變幾何形狀，進而影響幾何的性質(zhì)，使得角度、線段長度和幾何面積等發(fā)生變化，雖然這種變化的過程是復(fù)雜的，但一般存在著一定的數(shù)學(xué)規(guī)律，求解時就可以首先建立一個問題研究的模型，利用極限思想，設(shè)定幾何的特定情形來針對性研究，從而獲得具有說服力的結(jié)論.

二、思想解讀與教學(xué)

極限思想是以所研究內(nèi)容為載體，遠高于知識內(nèi)容的一種策略性指導(dǎo)思想.因此，極限思想是基于認(rèn)知基礎(chǔ)上形成的，是對相關(guān)事物本源的深度挖掘，是對概念的一種本質(zhì)認(rèn)識，利用極限思想可以更加逼真地還原事物的本來面目.

高中數(shù)學(xué)的很多內(nèi)容都滲透著極限思想，簡單到代數(shù)的數(shù)集，圖形中線的延伸，復(fù)雜到函數(shù)的漸近線、連續(xù)、極值等.另外數(shù)學(xué)的很多方法也都涉及極限思想，如常用的數(shù)學(xué)歸納法就是極限指導(dǎo)下的結(jié)論概括，球的體積與面積公式的推導(dǎo)所使用的就是極限思想.學(xué)習(xí)和使用極限思想不僅對于知識內(nèi)容的掌握有著重要作用，對于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維同樣有著重要意義.

教學(xué)中對于極限思想的滲透需要遵循一定的思維過程，要結(jié)合特定的情形逐步引導(dǎo)學(xué)生完成從感性認(rèn)識到理性思考的認(rèn)知過渡.首先需要建立在學(xué)生認(rèn)知沖突的基礎(chǔ)之上，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)用已學(xué)知識難以解決問題，不能準(zhǔn)確認(rèn)識數(shù)學(xué)的概念或符號，如數(shù)學(xué)中的無窮大、無窮小，可適時地引入“∞”.然后需要從知識聯(lián)系性角度完成知識的過渡，使學(xué)生深度認(rèn)識到極限思想理解數(shù)學(xué)知識的重要意義，如立體幾何中的棱錐的側(cè)面積，可以采用初中數(shù)學(xué)展開圖的方式，建立幾何求解的相關(guān)公式.極限思想最為關(guān)鍵的階段是對思想的理性論證，應(yīng)立足于教材內(nèi)容，從規(guī)律總結(jié)、結(jié)論探究角度進行，必須遵循科學(xué)的論證原則，如sinx和x的大小比較，可以采用數(shù)學(xué)上的特值法，也可以利用單位圓來直觀比較.教學(xué)中使用“認(rèn)知沖突——知識過渡——理性論證”的模式更能使學(xué)生深刻理解極限的思想方法.

總之，極限的思想方法是中學(xué)階段十分重要的內(nèi)容，利用極限思想不僅可以更為準(zhǔn)確地描述數(shù)學(xué)的概念公式，還可以廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題中，優(yōu)化解題過程，降低思維難度.極限思想是對事物本質(zhì)的一種趨近，學(xué)習(xí)和使用極限思想具有重要的意義，高中階段對于該思想的教學(xué)應(yīng)遵循科學(xué)的模式，以提高思想教學(xué)效率.