函數(shù)值域的求法分類例析

☉山西省呂梁市賀昌中學(xué) 高永亮

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)部分是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，其中求函數(shù)的值域（求函數(shù)的最大、最小值）尤為重要.在這里筆者做了一個(gè)相對系統(tǒng)的整理，供廣大高中數(shù)學(xué)教師與學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中參考與使用.

一、直接法

例1求函數(shù)（fx）=的值域.

解析：由3x+1∈（1，+∞），得（fx）=故函數(shù)（fx）=的值域?yàn)椋?，3）.

二、配方法

例2已知函數(shù)（fx）=x2-4x+1，x∈［-2，5］，求函數(shù)y=（fx）的值域.

解析：由（fx）=x2-4x+1=（x-2）2-3，

故當(dāng)x=2時(shí)，ymin=-3；當(dāng)x=-2時(shí)，ymax=13.

因此函數(shù)（fx）=x2-4x+1，x∈［-2，5］的值域?yàn)椋?3，13］.

說明：在高中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在求其值域等其他問題時(shí)，一般采用配方將其化為形如再通過二次函數(shù)的性質(zhì)，求其值域或解答相關(guān)問題.

三、判別式法

例3求函數(shù)的值域.

解析：由得函數(shù)的定義域?yàn)镽，原式可化為：（y-1）x2+（1-y）x+y=0，當(dāng)y=1時(shí)，x∈?.

當(dāng)y≠1時(shí)，又x∈R，我們把上式看成關(guān)于x的一元二次方程，得Δ=（1-y）2-4y（y-1）≥0，解得

說明：此類型的分式函數(shù)，特別是定義域?yàn)镽的分式函數(shù)，通常將其變形得到形如關(guān)于x的二次函數(shù)，再采用判別式大于等于零求函數(shù)的值域是一種很好的方法.

四、分離常數(shù)法

因此原函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠1}.

說明：此類型的函數(shù)，分子、分母都含有自變量，而通過分離常數(shù)法，可以將此類函數(shù)的變量只含到分母上，分子化為常數(shù)，使函數(shù)值y的范圍變化容易確定，從而較為簡單地求出函數(shù)的值域.

五、換元法

例5求函數(shù)的值域.

解析：設(shè)從而得（fx）=g顯然函數(shù)g（t）在［0，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以g（t）≤g（0），因此原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

說明：若所求函數(shù)是含有根式結(jié)構(gòu)的函數(shù)，通常采用換元法，通過變形將無理式化為我們熟悉的有理式，再進(jìn)一步求出函數(shù)的值域（.事實(shí)上，從本質(zhì)而言，這類函數(shù)就是二次函數(shù)）

六、利用函數(shù)的單調(diào)性

例6求函數(shù)的值域.

解析：易得函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

說明：通過判定函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的值域，能做到事半功倍.利用函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域是一種重要方法.對于本類題型，也可使用題型5的解法.

七、圖像法

例7 求函數(shù)y=|x-1|+|x+3|的值域.

作出其簡圖（圖略），通過圖形易得函數(shù)y=|x-1|+|x+3|的值域?yàn)椋?，+∞）.

八、利用幾何意義法

例8求函數(shù)y=|x-1|+|x+5|的值域.

解析：由絕對值的幾何意義，式子|x-1|+|x+5|表示數(shù)軸上任一數(shù)x對應(yīng)點(diǎn)P到數(shù)1與數(shù)-5對應(yīng)兩點(diǎn)A、B的距離之和，在數(shù)軸上容易得到線段AB上的點(diǎn)到此二點(diǎn)距離之和最小為6，其他點(diǎn)到此二點(diǎn)距離之和恒大于6，因此函數(shù)y=|x-1|+|x+5|的值域?yàn)椋?，+∞）.

說明：在數(shù)軸上|x|的幾何意義是：數(shù)軸上任一數(shù)x對應(yīng)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離；在數(shù)軸上|x-a|的幾何意義是，數(shù)軸上任一數(shù)x對應(yīng)點(diǎn)P到數(shù)a對應(yīng)點(diǎn)A的距離，即|PA|之長.

九、利用公式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

例9求函數(shù)y=|x-1|+|x+5|的值域.

解析：由公式得y=|x-1|+|x+5|≥|（x-1）-（x+5）|=6.

因此函數(shù)y=|x-1|+|x+5|的值域?yàn)椋?，+∞）.

說明：不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，是求最大、最小值與證明不等式的常用公式之一，如果能靈活應(yīng)用，問題的解答就特別簡單了.

十、利用基本不等式

基本不等式是高中數(shù)學(xué)中求最大與最小值（求值域）常用的一種基本方法之一，在使用中要求關(guān)系式滿足：一正、二定、三相等的條件.

十一、三角換元法

基本不等式、三角函數(shù)、二次函數(shù)、求導(dǎo)是高中數(shù)學(xué)中求最大與最小值（求值域）最常用的四種方法.三角函數(shù)是通過利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1，從而解答有關(guān)三角函數(shù)問題的最大與最小問題，本類問題的關(guān)鍵是通過合理的三角換元把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，進(jìn)一步求出所求函數(shù)的值域.

十二、利用定義域求值域

例10求函數(shù)的值域.

解析：由函數(shù)得ex-e-x≠0，易得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}.

說明：先求出函數(shù)的定義域，再通過變形把含自變量x的式子移到一邊，把含y的式子移到一邊，再通過函數(shù)的定義域直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的式子的范圍，進(jìn)一步求出y的取值范圍，即求出函數(shù)的值域.這種方法，理論上是總成立的，它采用數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，把函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化到函數(shù)的值域.只不過有的時(shí)候這種轉(zhuǎn)化甚為麻煩，我們根據(jù)實(shí)際情況，合理使用，不要過于死板.

十三、求導(dǎo)求值域

說明：通過求導(dǎo)是求函數(shù)值域（最大值與最小值）的通用方法，從理論而言，一般函數(shù)的值域都可以用求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解答，不過有時(shí)求導(dǎo)去解答比較麻煩，用上面的一些方法更為簡單.

上面對求函數(shù)值域（最大值與最小值）問題的探索，不足之處，望廣大師生批評(píng)指正.