與圓錐曲線準(zhǔn)點有關(guān)的角平分線性質(zhì)*

☉湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 孫婉芬 姜 國

圓錐曲線是高中解析幾何的重點內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的難點，為了幫助學(xué)生克服這一重難點內(nèi)容，關(guān)于圓錐曲線的研究是很有必要的.許多學(xué)者對圓錐曲線的定義、性質(zhì)展開了廣泛的討論，得出一些有趣結(jié)論.如：文2給出了圓錐曲線與準(zhǔn)線頂點有關(guān)的統(tǒng)一性質(zhì).文3證明了過圓錐曲線準(zhǔn)線上任意一點的直線平分相關(guān)角的性質(zhì).文4得到了圓錐曲線焦點與準(zhǔn)點的幾個有趣性質(zhì).文6和文7分別利用代數(shù)方程與線性變換的方法證明了雙曲線漸近線相關(guān)的一個性質(zhì).文8利用從特殊到一般的思想，證明了有心圓錐曲線的一個性質(zhì).另有部分學(xué)者對圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)進行了總結(jié)歸納，如文1和文5.基于以上研究，本文利用數(shù)形結(jié)合思想，從代數(shù)方程入手，討論了過焦點直線與圓錐曲線相交的問題，得到幾個有關(guān)角平分線的重要結(jié)論及定理.

結(jié)論1：過焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，Q是焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)點，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.

特別地，直線垂直于x軸（或y軸）時，由橢圓的對稱性，結(jié)論顯然成立.下面給出直線與x（y）軸不垂直的情形證明：

情形1（焦點在x軸上）：設(shè)橢圓的方程為（a>b>0），過焦點F（c，0）（或F（-c，0））的直線y=k（x-c）（或y=k（x+c））交橢圓于A，B兩點，點Q（x0，0）是焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)點，其中如圖1，則∠AQB被x軸平分.

圖1

證明：先證過右焦點的直線.

記交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.

消去y得（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+（a2c2k2-a2b2）=0.

又∠AQF，∠BQF均為銳角，所以∠AQF=∠BQF，得證.

類似可證過左焦點的直線.

情形2（焦點在y軸上）：設(shè)橢圓的方程為（a>b>0），過焦點F（0，c）（或F（0，-c））的直線y=kx+c（或y=kx-c）交橢圓于A，B，點Q（0，y0）是焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)點，其中則∠AQB被y軸平分.

證明：證明類似情形1，在此從略.

結(jié)論2：過焦點F的直線交雙曲線同側(cè)一支于A，B兩點，Q是焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)點，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.

特別地，直線垂直于x軸（或y軸）時，由雙曲線的對稱性，結(jié)論顯然成立.下面給出直線與x軸（或y軸）不垂直的情形證明：

情形3（焦點在x軸上）：設(shè)雙曲線的方程為過焦點F（c，0）（或F（-c，0））的直線y=k（x-c）（或y=k（x+c））交雙曲線同側(cè)一支于A，B兩點，Q（x0，0）是焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)點，其中，如圖2，則∠AQB被x軸平分.

圖2

證明：先證過右焦點的直線.

設(shè)交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.

又∠AQF，∠BQF均為銳角，所以∠AQF=∠BQF，得證.

類似可證過左焦點的直線.

情形4（焦點在y軸上）：設(shè)雙曲線的方程為1，過焦點F（0，c）（或F（0，-c））的直線y=kx+c（或y=kx-c）交雙曲線同側(cè)一支于A，B，點Q（0，y0）是焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)點，其中，則∠AQB被y軸平分.

證明：證明類似情形3，在此從略.

注：交點A，B不在同一支時，∠AQB被焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)線平分，如圖3.

結(jié)論3：過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，Q是焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)點，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.

特別地，直線垂直于x軸（或y軸）時，由拋物線的對稱性結(jié)論顯然成立.下面給出直線與x軸（或y軸）不垂直的情形證明：

圖3

情形5（焦點在x軸上）：設(shè)拋物線的方程為y2=2px（或y2=-2px）（p>0），過焦點的直線交拋物線于A，B，點Q（x，0）0是焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)點，其中，如圖4，則∠AQB被x軸平分.

圖4

證明：先證過橫坐標(biāo)為正的焦點的直線.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

又∠AQF，∠BQF均為銳角，

所以∠AQF=∠BQF，得證.

類似可證橫坐標(biāo)為負(fù)的焦點的直線.

情形6（焦點在y軸上）：設(shè)拋物線的方程為x2=2py（或x2=-2py）（p>0），過焦點的直線交拋物線于A，B，點Q（0，y）0是焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)點，其中則∠AQB被y軸平分.

證明：證明類似情形5，在此從略.

由上討論可得如下定理：

定理：過焦點F的直線交圓錐曲線于A，B兩點，Q是焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)點，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.（特別地，對于雙曲線，交點A，B位于同一支曲線上）

例1（2018年湖北理科卷）設(shè)橢圓的右焦點為F，如圖5，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB.

由結(jié)論1知，∠AMB被x軸平分，即∠OMA=∠OMB.