溝通知識內(nèi)在聯(lián)系提升數(shù)學(xué)解題能力

陸婧晶

【摘要】教材是教師進(jìn)行課堂教學(xué)的重要依據(jù)，是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)活動的主要載體，教材知識體系間的編排呈現(xiàn)螺旋上升的特點。教師想要通過對教材的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升，首先要讀懂教材，把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣才能讓解題教學(xué)更加有效。

【關(guān)鍵詞】知識內(nèi)在聯(lián)系 解題能力 數(shù)學(xué)教學(xué)

一、概念界定及研究背景

所謂數(shù)學(xué)解題，就是求出數(shù)學(xué)題的答案。而解題能力，指的是分析題目、明確正確條件，并能懂得條件與條件的關(guān)系，從而得到答案的能力。對于數(shù)學(xué)學(xué)科，解題是一種基本的活動形式，無論是數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)命題的掌握、數(shù)學(xué)方法與技能的獲得，還是學(xué)生能力的培養(yǎng)和發(fā)展，都要通過解題活動來完成。提高學(xué)生的解題能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)極其重要的目標(biāo)。研究數(shù)學(xué)解題，特別重要的是要對揭示數(shù)學(xué)問題解決規(guī)律進(jìn)行深入研究，對于教師開展教學(xué)有重要啟發(fā)作用。

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家G·波利亞在他的《怎樣解題》一書中提及：解題的核心是他分解解題的思維過程得到的一張表。在這張表中包括了理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案和回顧四大步驟?，F(xiàn)階段，教師在解題教學(xué)中存在著一些誤區(qū)，常常忽視解題研究，空談基本思想、基本活動經(jīng)驗，弱化了學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的發(fā)展。如何利用好教材知識間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生提升解題能力，是值得我們研究的一個問題。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。教材的編寫是根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、知識背景和活動經(jīng)驗，呈現(xiàn)螺旋上升的編排特點。精準(zhǔn)地把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于幫助學(xué)生將一個個知識點連成線，并拓展成面，這樣才能讓解題教學(xué)更加有效。

二、實施階段

（一）在一題多解中探尋知識間內(nèi)在聯(lián)系，提升解題能力

【案例】《解決問題的策略——畫圖》一課教學(xué)片段

筆者以蘇教版四年級下冊的《解決問題的策略——畫圖》一課為例，談?wù)勅绾伟盐罩R間內(nèi)在聯(lián)系提升解題能力。這一內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了從條件問題出發(fā)分析數(shù)量關(guān)系（三年級）、用列表的策略整理條件和問題（四年級上冊）、常見的數(shù)量關(guān)系（四年級下冊）的基礎(chǔ)上展開教學(xué)的。

例題：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？

1.讀題、審題

從題中你獲得了哪些信息？

2.畫圖

（1）畫圖策略的需求

師：這道題和我們經(jīng)常做的應(yīng)用題相比有什么不一樣的地方？

師：題目有點復(fù)雜，有什么好辦法能幫助我們清楚地找出數(shù)量之間的關(guān)系？

師：會畫嗎？自己試一試。

（2）介紹畫圖過程

教師邀請一名學(xué)生來介紹線段圖的畫法。

（3）看圖說題意

師：看著線段圖，你能說一說這道題目的條件和問題嗎？

（4）比較題目與圖

師：同樣的題目，不同的呈現(xiàn)方式，你更喜歡哪一種？為什么？

3.解答和分析

師：請你結(jié)合線段圖介紹一下。

生1：小寧：（72-12）÷2=30（枚）

小春：72-30=42（枚） （板書：去）

生2：小春：（72+12）÷2=42（枚）

小寧：72-42=30（枚） （板書：添）

生3：72÷2=36（枚）

12÷2=6（枚）

小春：36+6=42（枚）

小寧：36-6=30（枚） （板書：移）

4.比較

師：去、添、移，雖然它們的解法不同，但是它們有沒有相同點呢？（想辦法使兩人郵票的數(shù)量變得同樣多）

5.檢驗

（1）根據(jù)你的經(jīng)驗，可以怎樣檢驗？（把得數(shù)代入原題的方法）

師：題目中有兩個條件，為了確保正確，兩個條件都要檢驗。只滿足一個條件，不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

6.回顧

梳理解答過程：畫圖整理—分析解答—代入檢驗。

“解決問題的策略”是“數(shù)與代數(shù)” 領(lǐng)域一個新的課題。對學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，解決問題的意義不應(yīng)僅僅停留在能夠解決某一類問題、獲得某一類問題的結(jié)論和答案上，而應(yīng)基于解題的經(jīng)歷和形成的相應(yīng)經(jīng)驗、技巧、方法，從而把握一定的解決問題的策略。教材編排的線索是，呈現(xiàn)了已知小寧與小春兩人郵票數(shù)量的和與差，求兩人郵票枚數(shù)的實際問題。通過理解題意、分析數(shù)量關(guān)系、列式解答、檢驗四個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的一般過程。其中在理解題意的環(huán)節(jié)，介紹了畫線段圖的方式，借助圖形直觀，可以讓復(fù)雜的問題變得簡單。對于四年級學(xué)生來說，由于題中有兩個未知量，學(xué)生理解起來有一定難度。如果不啟發(fā)學(xué)生用畫圖的策略，很多同學(xué)會無從下手。通過畫圖，學(xué)生很容易想出了三種方法解決這個問題，也就是我們所說的一題多解。教師面對三種解題過程，不應(yīng)止步于此，應(yīng)該進(jìn)一步探尋本質(zhì)。提問“去、添、移，雖然它們的解法不同，但是它們有沒有相同點呢”，讓學(xué)生進(jìn)一步明確，要想求出小寧和小春分別有多少枚郵票，就要想辦法把兩人的郵票數(shù)變得同樣多。這就把原本復(fù)雜的和差問題，轉(zhuǎn)化成了如何求兩個量同樣多的問題。其實，這個問題在二年級上冊第一單元的教學(xué)中曾出現(xiàn)過。一題多解可以探尋到知識間的內(nèi)在聯(lián)系，提升解題能力。

（二）抓住新舊知識連接點，提升解題能力

【案例】《長方形正方形面積計算》一課教學(xué)片段

請想辦法求出下面長方形的面積。

1.研究學(xué)習(xí)單

提問：用面積1平方厘米的小正方形擺幾個、怎樣擺可擺成長方形？填一填。

總結(jié)：小正方形的總個數(shù)=每排個數(shù)×排數(shù)

2.總個數(shù)與長方形面積關(guān)系

提問：為什么擺了15個小正方形，面積就是15平方厘米呢？

總結(jié)：總個數(shù)（相當(dāng)于）長方形的面積。

3.長方形的長、寬與每排個數(shù)、排數(shù)之間關(guān)系

提問：觀察“每排個數(shù)”與長方形的長，你發(fā)現(xiàn)了什么？

總結(jié)：每排個數(shù)（相當(dāng)于）長方形的長。

提問：“排數(shù)”與長方形的寬，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

總結(jié)：排數(shù)（相當(dāng)于）長方形的寬。

4.公式推導(dǎo)

5.正方形面積公式推導(dǎo)

師：你能根據(jù)長方形的面積公式推導(dǎo)出正方形面積公式嗎？

“長方形正方形面積公式”是“空間與圖形”領(lǐng)域的內(nèi)容。通過這個案例我們可以發(fā)現(xiàn)，公式的推導(dǎo)過程學(xué)生都根據(jù)了已有的知識。在二年級，學(xué)生學(xué)習(xí)了總個數(shù)=每排個數(shù)×排數(shù)。要想解決長方形的面積計算公式，教師可以抓住新舊知識間的連接點，把新知識嫁接舊知識，用舊知識同化新知識，充實、擴(kuò)大了原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生明白：總個數(shù)相當(dāng)于長方形的面積，每排個數(shù)相當(dāng)于長方形的長，排數(shù)相當(dāng)于長方形的寬，很自然得到了長方形面積公式=長×寬。其實像這樣的例子還有很多，梯形面積推導(dǎo)公式，圓面積推導(dǎo)公式，等等，帶著學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)的過程比單純的死記硬背，知識掌握得更牢固，運用自己推導(dǎo)得來的公式，解決實際問題會更加靈活。

數(shù)學(xué)知識體系不是由一塊塊知識機(jī)械地堆砌而成的，而是按照它們之間特定的內(nèi)在聯(lián)系組成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。每一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識既是前面舊知識的延伸和發(fā)展，又是后續(xù)新知識的基礎(chǔ)和鋪墊。因此，我們在教學(xué)時應(yīng)從整體著眼認(rèn)真鉆研教材，注意尋求教材內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，把握這種內(nèi)在聯(lián)系所構(gòu)成的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生通過操作、觀察、類比、聯(lián)想等認(rèn)識活動，內(nèi)化為他們自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使知識系統(tǒng)化、條理化，形成立體的知識網(wǎng)絡(luò)，以拓寬學(xué)生的思路和知識面，達(dá)到提升解題能力的目的。