基于核心素養(yǎng)的深度數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究

祝浩軍

摘 要：聚焦深度的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)讓學(xué)生在自主的、豐富的數(shù)學(xué)活動中平等交流，積極思考，自主積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。要實(shí)現(xiàn)基于核心素養(yǎng)的深度數(shù)學(xué)課堂，教師要把握教材，放手活動與交流；要引發(fā)思維，形成數(shù)學(xué)思想方法；要研發(fā)習(xí)題，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展和習(xí)慣養(yǎng)成。

關(guān)鍵詞：深度課堂；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-3561（2018）27-0076-03

第二學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域的教材，素材豐富，圖文并茂，有利于學(xué)生自學(xué)思考、實(shí)踐探究，有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念、形象思維。不少教師在“圖形與幾何”的教學(xué)中，比較重視學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)，也比較關(guān)注圖形特征、計(jì)算公式等知識的講解傳授，卻忽視了豐富的數(shù)學(xué)活動及數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)，也忽視了學(xué)生動手實(shí)踐、合作探究與思考交流的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，這樣的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)沒有深度，從而在一定程度上影響了學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展和能力的提高。例如，在一次課堂教學(xué)調(diào)研中，在學(xué)生學(xué)完“圓的面積”后，教師讓學(xué)生解答：正方形面積是7平方厘米，求圓的面積是多少平方厘米？某班37人，有16位學(xué)生面對此題束手無策。學(xué)生的回答是：這個題目中沒有圓的半徑，而且圓的半徑也無法求出，圓的面積也就無法求出來。課堂中教師過于強(qiáng)調(diào)運(yùn)用公式，要求學(xué)生牢牢抓住公式：“求圓的面積必須知道圓的半徑，如果告訴我們圓的直徑、周長，必須先求出圓的半徑，再根據(jù)公式求出圓的面積。”課堂中過多的講解、不足的探究與實(shí)踐活動封閉了學(xué)生解題的思維。在某區(qū)畢業(yè)班數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量評估中，有這樣一題：我們都知道，梯形面積的計(jì)算公式是“（上底+下底）×高÷2”，那么，為什么要“÷2”呢？請用寫一寫、畫一畫的方式表達(dá)你的想法。有不少學(xué)生寫了“因?yàn)橛猩系缀拖碌?，兩個底了，就需要÷2”，表達(dá)不清；有的學(xué)生雖然畫了圖示，但思考過程的文字表述與畫圖沒有結(jié)合起來。課堂教學(xué)中沒有重視讓學(xué)生自己動手實(shí)踐，忽視借助圖示直觀推導(dǎo)梯形面積公式的過程，沒有落實(shí)表述自己的發(fā)現(xiàn)規(guī)律環(huán)節(jié)，削弱了推理、想象和數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)與促進(jìn)。那么，在“圖形與幾何”的教學(xué)中，如何聚焦課堂深度，幫助學(xué)生有效積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？

一、要放手，把握教材，放手活動與交流

蘇步青教授曾說：“看書要看到底，書要看透，要看到書背面的東西。這背面的東西，就是數(shù)學(xué)的思想方法?！币粋€理想的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程應(yīng)該如此：學(xué)生積極參與、獨(dú)立思考、主動探索、自主選擇、自由表達(dá)、富于想象、敢于否定和充滿激情。而實(shí)現(xiàn)這一理想的前提在于教師把握好教材，創(chuàng)造性地運(yùn)用教材，充滿自信地放手，讓學(xué)生自主地開展豐富而有效的活動，進(jìn)行平等而寬松的交流。

1.能夠“獨(dú)立理解”的，讓學(xué)生自主活動

教師要把握學(xué)情，善解“生”意，要能夠找到與學(xué)生需要相吻合的言行，提供最好的指導(dǎo)和交流方式，因勢利導(dǎo)，達(dá)到水到渠成、事半功倍的效果。例如，在“圓環(huán)的面積”這一課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對圓環(huán)不理解，教師可讓學(xué)生找圓環(huán)、畫圓環(huán)，再根據(jù)課本上的圖自己做一個圓環(huán)。通過一系列動手操作活動，學(xué)生不僅理解了圓環(huán)的概念，而且很快推導(dǎo)出了圓環(huán)的面積計(jì)算公式。學(xué)生對自己通過操作實(shí)踐學(xué)到的知識不但記憶牢固，而且能靈活應(yīng)用。

2.能夠“互相啟發(fā)”的，讓學(xué)生合作思辨

課堂中，教師可以設(shè)計(jì)富有操作性的合作探究活動，讓學(xué)生一起動手、動眼、動腦、動口，在活動中積極探究，親身體驗(yàn)，積累一些直接的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生合作與交流能力。例如，在“梯形的面積公式”教學(xué)中，教師引導(dǎo)：平行四邊形面積和三角形面積都與底和高有關(guān)，請同學(xué)們大膽猜測，然后探究驗(yàn)證。在學(xué)具袋中選擇各種梯形（有直角梯形、一般梯形等若干個，有完全一樣的，也有不一樣的），然后分組探究：利用手中的學(xué)具，選擇你所需要的梯形，或拼、或剪……轉(zhuǎn)化成一個以前我們所學(xué)的圖形；想一想可以轉(zhuǎn)化成什么圖形，所轉(zhuǎn)化成的圖形與原來梯形有什么聯(lián)系；說一說發(fā)現(xiàn)了什么，并嘗試推導(dǎo)梯形的面積計(jì)算公式。學(xué)生小組合作，操作、觀察、交流，教師參與討論，學(xué)生交流匯報(bào)。（教師根據(jù)學(xué)生的回答借助課件演示）生1：我選擇兩個完全相同的直角梯形，拼成了一個平行四邊形，也可以拼成一個長方形。每個梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半。生2：我們只是找了兩個完全一樣的一般梯形，只拼成了一個平行四邊形。這個平行四邊形的底等于梯形上底和下底的和，高等于梯形的高。面積就是拼成的平行四邊形的一半。生3：我用剪刀，把梯形剪開分成兩個三角形。不同的兩個底乘高除以2，就是上底×高÷2+下底×高÷2。生4：我找了一個等腰梯形，對折一下，剪開拼成了一個長方形。學(xué)生再通過相互交流、互補(bǔ)，使結(jié)論更加完善，得出梯形面積的計(jì)算公式：梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。學(xué)生能想到、做到、說到的，教師不限制、不替代、不暗示，為學(xué)生提供了一個充分發(fā)揮才智自己想辦法解決問題的思維空間，在這里學(xué)生可以按照自己的想法任意剪拼一個梯形，擺拼兩個梯形，使學(xué)生經(jīng)歷“嘗試——失敗——成功”的過程，培養(yǎng)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)和推理能力。教師做好引導(dǎo)，落實(shí)交流，協(xié)助學(xué)生完成個性化的推導(dǎo)，糾正學(xué)生的錯誤猜想，鞏固正確的推導(dǎo)思路。

3.可以“實(shí)踐體驗(yàn)”的，讓學(xué)生操作演繹

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一個重要理念就是為學(xué)生提供做數(shù)學(xué)、“玩”數(shù)學(xué)的機(jī)會，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中去體驗(yàn)、去經(jīng)歷數(shù)學(xué)，積累經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)屬于學(xué)生自己的數(shù)學(xué)思維方式和解決問題的實(shí)踐途徑。例如，在“面積和面積間的進(jìn)率”的教學(xué)中，教師分別出示1平方厘米、1平方分米的正方形。師：請大家觀察這兩個正方形，你能否大膽猜測一下，1個大的正方形可以剪成多少個小的正方形？平方分米和平方厘米之間的進(jìn)率是多少？生1：我猜可能是100。生2：我猜可能是1000……師：你有什么辦法來驗(yàn)證你的猜想呢？請你認(rèn)真思考一下，動手試一試。有的學(xué)生用1平方厘米的小正方形在1平方分米的正方形上擺；有的學(xué)生用尺子測量起1平方分米的正方形邊長，并用鉛筆畫出邊長是1厘米的正方形分解起來；也有學(xué)生將大正方形對折；有的同桌之間小聲討論著……當(dāng)學(xué)生處在一種積極探索的心理狀態(tài)時，就會興趣盎然地投入實(shí)踐活動。在這個過程中，目標(biāo)是明確的，思維是發(fā)散的，操作活動是自由的，最后結(jié)論是驗(yàn)證后得到的。自主活動后的交流過程，更是充滿個性化的感受和見解，同伴之間通過合作交流，可以學(xué)習(xí)研究問題的多種方法，促進(jìn)認(rèn)知的個性化發(fā)展，探索與思辨、實(shí)踐與創(chuàng)新能力也能得到培養(yǎng)。這樣的課堂是有深度的，留給學(xué)生感悟是深刻的。

二、要引領(lǐng)，引發(fā)思維，培育數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、演繹、模型等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。深度數(shù)學(xué)課堂要基于學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，積極發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓他們動腦、動手、合作探究，經(jīng)歷分析、思考、解決問題的全過程，感悟數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。教師要成為忠實(shí)的思維導(dǎo)航員，做好“核心問題”的引領(lǐng)，為學(xué)生開闊思路，優(yōu)化方法。

1.適時提供“媒體”直觀，在觀察中培育

心理學(xué)家研究表明，學(xué)生思維是從具體形象思維為主要形式逐步過渡到抽象邏輯思維為主要形式。即便到了高年級，他們的抽象思維也離不開具體形象思維的支持。課堂教學(xué)中，教師要利用感性材料的直觀形象，特別是計(jì)算機(jī)多媒體形象化的演示活動，把靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為一種動態(tài)的活動過程，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合動態(tài)的畫面更好地理解數(shù)學(xué)知識的形成過程。例如，在“圓柱體積計(jì)算公式”的探索與推導(dǎo)中，教師可通過動態(tài)的演示過程（見下圖），幫助學(xué)生清楚地了解圓柱轉(zhuǎn)化成近似長方體的過程，明確圓柱體體積計(jì)算公式V=Sh的來歷，理解計(jì)算公式規(guī)定的合理性：柱體體積=底面積×高。

2.精心編制“思考”流程，在點(diǎn)撥中培育

課堂教學(xué)是否體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這是很關(guān)鍵的。深度教學(xué)一定要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以學(xué)生的學(xué)習(xí)活動對學(xué)生的思維發(fā)展是否有促進(jìn)作用來衡量，把握教材、學(xué)生經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)目標(biāo)，編制“思考”流程。例如，特級教師牛獻(xiàn)禮的“三角形的穩(wěn)定性”教學(xué)片段中，理解了三角形的定義后，師：我們再畫幾個三角形來理解意義。（出現(xiàn)基本圖形三個點(diǎn)）以這三個點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個三角形。學(xué)生上黑板畫三角形。師問：三個頂點(diǎn)在三角形中起什么作用？生：固定位置，固定大小……（結(jié)合學(xué)生的描述，課件體驗(yàn)）師：還有沒有不同的見解？你們都認(rèn)同嗎？我們再來想象一下。請同學(xué)們閉上眼睛，在大屏幕中想象出三個點(diǎn)，再想象出以這三個點(diǎn)為頂點(diǎn)的一個三角形，看到三角形了嗎？它的位置看到了嗎？看到它的大小了嗎？用手比一比大小。睜開眼睛吧。師：你們能夠根據(jù)三個點(diǎn)就想象出三角形的位置和大小，已經(jīng)具有了學(xué)好數(shù)學(xué)圖形的重要品質(zhì)。課件演示：出示三條邊，拉開點(diǎn)距離。用這三條線段圍成一個三角形，讓三角形旋轉(zhuǎn)后觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：位置變化了，形狀大小相同，相對角的大小不變。生：看來三條線段的長短可以確定三角形的大小和角的大小。（課件閃爍，抽取一個角）師：你會把這個角變大或變小嗎？生：兩邊叉開越大角就越大，叉開越小角就越小了，（課件演示變化過程）師：（出示教具）如果老師想讓這個角固定不變，你有辦法嗎？學(xué)生想辦法。師引導(dǎo)：來，我們合作一下，做成三角形。檢驗(yàn)一下，這個角度的大小還變嗎？（學(xué)生拉）是誰固定了這個角度的大??？揭示：三角形具有穩(wěn)定性。（板書：穩(wěn)定性）教師針對“三角形的穩(wěn)定性”這個核心知識點(diǎn)，展開了最有利于學(xué)生思考的引導(dǎo)：固定頂點(diǎn)畫三角形，觀察、想象三角形，操作角的大小變化。學(xué)生聚焦了最本質(zhì)的問題，由淺入深，深刻地理解了三角形的穩(wěn)定性。

3.大膽創(chuàng)設(shè)“想象”情境，在說理中培育

例如，在“平面圖形的總復(fù)習(xí)”的教學(xué)中，由線及平面圖形的教學(xué)環(huán)節(jié)，教師這樣引導(dǎo)：我們小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過哪些平面圖形？閉上眼睛，你能一下子想起來嗎？師：我先畫一個平面圖形，請同學(xué)們看黑板。畫了兩條線段，形如一個角（見下圖）。師問：根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，猜一猜，老師將要畫什么圖形？生1：猜測是三角形，還要畫一條邊。生2：我猜測是平行四邊形，再畫與它平行的對邊各一條，因?yàn)閮山M對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。生3：我猜測畫只有一組對邊平行、另一組對邊不平行的四邊形、梯形。師質(zhì)疑：有可能是正方形、長方形嗎？為什么？生：長方形、正方形的四個內(nèi)角都是直角。不可能是這兩種平面圖形，更不是圓。這個環(huán)節(jié)中，教師運(yùn)用多媒體投影出六種平面圖形，形象而直觀，讓學(xué)生眼睛一亮，注意力一下子集中了。而后，教師組織學(xué)生猜一猜：老師要畫什么平面圖形呢？這樣就喚起了舊知，引導(dǎo)學(xué)生對小學(xué)階段平面圖形的回憶，回顧平面圖形特征，猜測、說理的過程，促進(jìn)了學(xué)生的積極思考和對數(shù)學(xué)的理解，培養(yǎng)了學(xué)生合情推理的能力。

三、要研習(xí)，研發(fā)習(xí)題，促進(jìn)思維發(fā)展和習(xí)慣養(yǎng)成

研習(xí)，指的是研究習(xí)題，形成思想。數(shù)學(xué)專家說過：數(shù)學(xué)訓(xùn)練的第一層次是“知識堆積”與“解題術(shù)”式的；第二層次是“思維方法”和“解題方法式”的；第三層次是“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)觀念”的，它雖抽象，但功能性強(qiáng)，是對前兩個層次的指導(dǎo)和引領(lǐng)。所以，有深度的課堂教學(xué)，教師必須科學(xué)地、有層次地設(shè)計(jì)練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，形成數(shù)學(xué)思想和觀念。

1.提供“一圖多解”，領(lǐng)悟“聯(lián)系”

學(xué)習(xí)題材的多樣化、豐富性，同一問題、圖表解法的多樣性，都能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考和積極交流。但在課堂上，學(xué)生之間存在差異，他們的認(rèn)識水平和理解能力也有深有淺，但不同的解題方法有其內(nèi)在的必然聯(lián)系，需要教師加以引導(dǎo)、指點(diǎn)，讓學(xué)生領(lǐng)悟其內(nèi)在的聯(lián)系。例如，教學(xué)“長方形、正方形面積”時，教師出示右圖（單位：厘米），它的面積是多少平方厘米？解題時，很多學(xué)生都將其分割成兩部分來計(jì)算，得出：10×3+（6-3）×4=42（平方厘米）。6×4+（10-4）×3=42（平方厘米）。有學(xué)生提出了兩種不同的算式：（10+4）×3=42（平方厘米）和6×（4+3）=42（平方厘米）。針對后兩種回答，大部分學(xué)生不解。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察想象：“你們能不能將這個圖形割補(bǔ)成一個規(guī)則的圖形解答呢？”學(xué)生們動手操作，很多學(xué)生敏銳地觀察到10-4=6（厘米）、6-3=3（厘米），并借此想象，用靈活運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成為一個完整的長方形來解答。

2.提供“典型變式”，體會“本質(zhì)”

所謂“變式”，即在教學(xué)中用不同的直觀材料或?qū)嵗f明事物本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物本質(zhì)特征。數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用變式，有利于學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)。教師需要給學(xué)生提供富有挑戰(zhàn)性的問題情境，尤其是提供一些突出知識的關(guān)鍵屬性的典型變式，來幫助學(xué)生把握事物的本質(zhì)，讓學(xué)生能夠在變異中把握“不變”的本質(zhì)，把不變的本質(zhì)遷移運(yùn)用到帶“變化”的情境中去。例如，對于“已知正方形的面積是7平方厘米，求圓的面積是多少”這道題，如果教師在平時教學(xué)讓學(xué)生分析公式中的“已知量”和“未知量”，關(guān)注數(shù)學(xué)思考，強(qiáng)調(diào)解題策略，學(xué)習(xí)效果就會不同。學(xué)生就會認(rèn)為簡單，直接或間接地知道圓的半徑或半徑的平方就能求出圓的面積：因?yàn)镽2=7，所以S=πR2=7π=21.98（平方厘米）。

3.提供“對比習(xí)題”，培養(yǎng)“慎思”

例如，在“圓錐體積”的練習(xí)課中，教師讓學(xué)生解答兩個對比性問題。題1：小林用橡皮泥做了等底等高的一個圓柱和一個圓錐，圓柱的體積是36立方厘米，那么圓錐的體積是（ ）立方厘米。已知圓錐的底面積是9平方厘米，它的高是（ ）厘米。題2：王師傅把一個底面積是36平方分米，高4分米的圓柱體鋼塊，鑄成一個圓錐體零件，這個零件的體積是（ ）立方分米。已知這個零件的高是9分米，那么鑄成的圓錐的底面積是（ ）平方分米。這兩道題的難度相仿，思路相近，而第二題做錯的學(xué)生接近一半，這并不是學(xué)生不理解，而是學(xué)生在大量的同類型問題解決訓(xùn)練后，思維機(jī)械化、自動化了。學(xué)生一看到求“圓錐的體積”，就自然而然地將圓柱的體積除以3。所以，提供對比題，可以促使學(xué)生通過認(rèn)真審題、借助直觀圖示、畫畫草圖等方法，發(fā)揮想象力，形成謹(jǐn)慎思考問題、深刻反思的習(xí)慣。

4.豐富實(shí)際問題解決，促進(jìn)“創(chuàng)新”

首先教師要有效使用教材中的習(xí)題，落實(shí)一題多解、一題多變、對比訓(xùn)練、改編等策略，讓實(shí)際問題更富有創(chuàng)意。其次教師要提供綜合性的動手操作題，讓學(xué)生在實(shí)踐中理解本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維創(chuàng)新。例如，用一張正方形的紙制作一個無蓋的長方體，怎樣制作使得體積較大？還可以提供給學(xué)生一些標(biāo)準(zhǔn)的正面實(shí)例，或非標(biāo)準(zhǔn)正例，甚至是反例，讓學(xué)生獨(dú)立思考問題，交流想法，這樣解題思路就會由“單一”變?yōu)椤岸鄻印?，更能促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。

總之，只要教師精準(zhǔn)把握教材，潛心設(shè)計(jì)流程，科學(xué)研發(fā)習(xí)題，既注重教學(xué)過程，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，又重視學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)積累和思維提升，切實(shí)讓數(shù)學(xué)課堂走向深入，學(xué)生學(xué)習(xí)就更有深度，數(shù)學(xué)教學(xué)就會有新的突破。

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