不同溫度的雙卡爾曼濾波算法電池組SOC估計

何 耀，黃東明，劉新天

（合肥工業(yè)大學(xué)新能源汽車工程研究院，合肥 230009）

電動汽車的發(fā)展已經(jīng)得到世界各國的普遍重視，動力鋰電池組作為電動汽車的心臟，為整個電動汽車的運行提供能源支持，其性能和狀態(tài)會直接影響電動汽車的續(xù)航狀態(tài)。因此動力鋰電池組的發(fā)展和各參數(shù)的實時檢測尤其是電池組的荷電狀態(tài)SOC（state of charge）估計成為電動汽車發(fā)展過程中的一個關(guān)鍵性問題[1]。

目前對于電池SOC常見的估計方法有：安時積分法、開路電壓法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、數(shù)學(xué)模型法、卡爾曼濾波法和放電試驗法[16]等。安時積分法通過對電池放電電流進(jìn)行時間積分來估計電池的SOC[2]，開路電壓法通過對電池組的端電壓進(jìn)行測量從而實現(xiàn)對SOC的估計，但是這種測量方法需要對電池組進(jìn)行長時間的靜置；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法比較適用于電池組運行過程中的實時SOC估計[3]，需要大量相似的鋰電池組參考數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)；數(shù)學(xué)模型法是通過建立數(shù)學(xué)模型來估計電池組的SOC[4]，但是當(dāng)環(huán)境發(fā)生變化時，就需要對模型進(jìn)行修正，并重新估計SOC；卡爾曼濾波法通過遞推迭代的方式實現(xiàn)對電池組SOC的最優(yōu)化估計[5]。但是其對電池模型的選擇較為關(guān)鍵。對于上述方法中存在的問題，蔣煒等提出了一種改進(jìn)的電池組SOC估計方法[6]，其采用開路電壓法估算t0時刻的初始SOC值SOC0，再根據(jù)溫度、循環(huán)次數(shù)等參數(shù)來修正SOC0，最后結(jié)合Ah積分法估計任意t時刻的SOC值；邱綱等在單輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上建立了多輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[7]，能比較明顯地減小對電池組SOC估計的誤差，但對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其需要采集所有單體電池的實驗數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)；Pleet和夏超英在電池狀態(tài)空間模型上運用卡爾曼濾波算法進(jìn)行遞推去修正SOC估計結(jié)果[8]；劉新天等針對鋰電池組中各單體的不一致性提出了Vmin模型[9]，從而實現(xiàn)了對電池組SOC的較精確估計。但是上述方法在確定模型各參數(shù)時，均未考慮各參數(shù)受溫度的影響，實際上電動汽車在行駛過程中，溫度的變化很明顯，其對模型準(zhǔn)確性的影響也是不可忽視的[15]。

對于上述SOC估計方法中存在的問題，本文在Vmin模型的基礎(chǔ)上，通過對模型中的參數(shù)進(jìn)行分析，并運用統(tǒng)計學(xué)的方法擬合各參數(shù)與相關(guān)影響因素之間的關(guān)系，從而對原模型進(jìn)行改進(jìn)，得到更加精確的模型。以此為基礎(chǔ)，采用雙重卡爾曼濾波算法實現(xiàn)了對電池組的狀態(tài)和時變參數(shù)的同時在線估計[10-12]，使電池組的SOC估計精度得到提高。

1 動力鋰電池組的Vmin模型

Vmin模型是針對電池組的各單體電池的差異性，根據(jù)木桶效應(yīng)推出的一種由電池組中容量最低的單體電池SOC值來反映整個電池組的SOC值，模型的提出是基于電池組內(nèi)各單體電池為串聯(lián)的前提。圖1為此模型的電池組等效電路。圖中Rn表示第n節(jié)單體電池的內(nèi)阻，Vn表示第n節(jié)電池的開路電壓，V表示電池組負(fù)載電壓。

其模型表達(dá)式為

圖1 電池組等效電路Fig.1 Equivalent circuit of battery pack

式中：SOCn為電池組中第n節(jié)電池的SOC值；Vmin為電池組中各單體電池最低的負(fù)載電壓；Im為電池組m時刻的放電電流；h為電池的開路電壓與電池SOC之間的單調(diào)函數(shù)關(guān)系[13]；為電池組中各單體電池的近似內(nèi)阻。

根據(jù)木桶效應(yīng)的原理，可知電池組SOC為

由式（1）和（2）可得

即電池組的SOC值可用組內(nèi)容量最低的單體電池的SOC值表示。

1.1 模型觀測方程

對于式（3）中Vmin的測量可采用Pleet提出的電池模型[14]，其中描述了電池的負(fù)載電壓與電池充滿電的空載電壓，電池的內(nèi)阻、電池的SOC值等因素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，即

式中:Vm為m時刻電池的負(fù)載電壓；V0為電池充滿電的空載電壓；Rm為m時刻電池的內(nèi)阻，其會隨著環(huán)境因素的變化而變化；k1、k2、k3、k4為與溫度有關(guān)的系數(shù)。

1.2 電池組Vmin的改進(jìn)

電動汽車在行駛的過程中，遇到的環(huán)境會隨時變化，其溫度差異會非常明顯，而在不同的溫度下Rm及 k1，k2，k3，k4的實時值都會受到影響，所以需要具體討論各系數(shù)與溫度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

圖2給出了3組電池在不同SOC情況下電池內(nèi)阻的變化情況，顯然，電池的內(nèi)阻隨著SOC的增大而有所減小，但是其變化幅度很小。

圖3給出了不同溫度下電池內(nèi)阻的變化情況，可見，當(dāng)溫度升高時電池的內(nèi)阻會逐漸減??；在低溫時曲線的變化率較大，說明溫度越低，電池內(nèi)阻受溫度變化的影響越加明顯。由圖2和圖3綜合可見，溫度對電池內(nèi)阻的影響非常明顯，而電池SOC對電池內(nèi)阻的影響很小。本文將著重考慮各系數(shù)與溫度之間的關(guān)系。

圖2 不同SOC時的電池內(nèi)阻的變化曲線Fig.2 Changing curves of battery internal resistance in different SOCs

圖3 不同溫度時電池內(nèi)阻的變化曲線Fig.3 Changing curves of battery internal resistance at different temperatures

根據(jù)圖3，可以對電池內(nèi)阻與溫度之間的關(guān)系進(jìn)行建模。其模型為

式中：R0為常數(shù)項；h1，h2為模型系數(shù)；T為溫度。

根據(jù)實驗可得不同溫度下的內(nèi)阻Rm，見表1。

本文運用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，最小二乘法方程為

表1 不同溫度下的內(nèi)阻RmTab.1 Internal resistance Rmat different temperatures

擬合可得模型的各項系數(shù)為

1.3 模型觀測方程系數(shù) t0，t1，t2，t3 的擬合

結(jié)合模型觀測方程，在不同溫度和SOC條件下進(jìn)行實驗，可以得到不同溫度下的系數(shù)觀察值，如表2所示。再應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)擬合，可以得到各系數(shù)與溫度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。實驗中，通過在-10℃、0℃、10℃、20℃和 30℃的溫度環(huán)境下對電池放電，并測量相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

在坐標(biāo)系中繪出各系數(shù)在不同溫度下所得的觀測值，并且用最小二乘法對點進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖4～圖7所示。

表2 不同溫度下系數(shù)Tab.2 Coefficient values at different temperatures

圖4 t0的擬合曲線Fig.4 Fitting curve of t0

圖5 t1的擬合曲線Fig.5 Fitting curve of t1

圖6 t2的擬合曲線Fig.6 Fitting curve of t2

圖7 t3的擬合曲線Fig.7 Fitting curve of t3

根據(jù)曲線的形狀，對曲線方程進(jìn)行建模，其模型為

運用最小二乘法計算得

最后計算得到各方程中所對應(yīng)系數(shù)，如表3所示。表中，R2為決定系數(shù)，體現(xiàn)出曲線和實際數(shù)據(jù)之間的擬合程度，數(shù)值越接近于1，其可靠性越高。

表3 各系數(shù)的擬合值Tab.3 Fitting value of each coefficient

2 基于Dual EKF的SOC估計

雙卡爾曼濾波器Dual EKF（dual extended Kalman filter）是將2個卡爾曼濾波器進(jìn)行耦合并行工作，同時在線估計系統(tǒng)的狀態(tài)和時變參數(shù)，從而可以提高對電池組SOC的估計精度。

根據(jù)Ah積分法可得

式中：SOC為t時刻的SOC瞬時值；SOC0為初始時刻的 SOC 值；ηC為充放電效率；I（t）為充放電過程中任意t時刻的瞬時電流值。

將式（4）和式（9）離散化，可得模型狀態(tài)方程為

式中，xk+1為k+1時刻系統(tǒng)的狀態(tài)變量；uk為k時刻系統(tǒng)的電池電流；yk為系統(tǒng)的觀測變量；θk為引入的參數(shù)向量；f和h分別為由Ah積分法計算SOC的計算公式和單體電池端電壓計算公式?jīng)Q定的數(shù)學(xué)函數(shù)；wk、vk為高斯白噪聲。在建模時，本文認(rèn)為新引入的參數(shù)向量具有微小擾動，可認(rèn)為θk+1=θk+rk，rk為噪聲干擾。

定義

Dual EKF算法估計SOC的步驟如下：

（1）初始化：選取 x0、θ0的初始值；

（2）誤差協(xié)方差為

（3）時間狀態(tài)變量更新為

（4）誤差協(xié)方差更新為

式中：Qw,v為Ah積分法的噪聲協(xié)方差矩陣。

（5）計算卡爾曼增益為

式中：Qv為電池組端電壓估計的協(xié)方差矩陣。

（6）系統(tǒng)觀測變量的測量更新為

（7）再將更新得到的xk+1和Pk+1代回到第（1）步，重新進(jìn)行迭代運算就可以得到最有估計值，并且通過2個卡爾曼濾波器的耦合工作，可以較準(zhǔn)確地得到系統(tǒng)狀態(tài)變量和時間變量的實時估計。

3 仿真實驗及結(jié)果分析

為了驗證考慮溫度因素之后對鋰電池組SOC估計的準(zhǔn)確性的影響，選取額定電壓240 V，額定容量為20 A·h的電動汽車動力鋰電池組作為實驗對象。以《電動道路車輛用鋰離子蓄電池測試標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，對整個電池組進(jìn)行充放電實驗。步驟如下。

（1）將電池組充滿電（SOC（0）=100%）。

（2）在恒溫條件下（30℃±2℃），按照圖 8 所示的放電波形進(jìn)行放電，每個放電階段先進(jìn)行電流為60 A的尖峰放電，然后以5 A的恒定電流放電46 min，共放出20%的電量。整個實驗過程16 480 s。

（3）靜置 30 min，重復(fù)步驟（2）4 次。

（4）將溫度調(diào)整為 10℃和-10℃，再進(jìn)行 2次實驗。

圖8 實驗中電池組放電電流波形Fig.8 Discharge current waveform of battery pack in the experiment

由于實驗只能通過測控機(jī)來測量電池組的電流電壓，然后應(yīng)用開路電壓法查表得到電池組的SOC值，而本文所提出的改進(jìn)模型對于電池組的SOC估計，需要結(jié)合雙重卡爾曼濾波算法、初始值的設(shè)定以及各參數(shù)的實時更新來估計，并不能直接通過實驗得到，所以需要進(jìn)行仿真得到估計結(jié)果。利用上文計算出的參數(shù)，在Matlab中建立加入溫度因素的電池組SOC估計模型，進(jìn)行狀態(tài)向量的初始化，時間狀態(tài)向量的更新，系統(tǒng)狀態(tài)的更新，狀態(tài)向量和時變參數(shù)的卡爾曼增益和觀測變量的測量更新等步驟。分別以-10℃、10℃、30℃為條件進(jìn)行仿真實驗，將仿真結(jié)果與Vmin-EKF法進(jìn)行比較，結(jié)果如圖9～圖14所示。

圖9 -10℃時SOC估計值Fig.9 Estimation value of SOC at-10℃

圖10 -10℃時估計誤差Fig.10 Estimation error at-10℃

圖11 10℃時SOC估計值Fig.11 Estimation value of SOC at 10℃

由圖可以看出，在不同的溫度下，原來的卡爾曼濾波算法得到的誤差較大，而加入溫度因素之后再運用雙卡爾曼濾波算法對于整個電池組SOC的估計精度能夠得到一定程度的提高，兩種估計方法在初始時刻的差別并不大，經(jīng)過時間的推移，差別變得明顯起來。主要原因就是雙重卡爾曼濾波算法在迭代計算的過程中能夠?qū)崟r在線更新時變參數(shù)并且根據(jù)實時測得的溫度、電壓和電流等數(shù)據(jù)實現(xiàn)電池組狀態(tài)的實時更新，從而能夠更加準(zhǔn)確地實現(xiàn)對電池組SOC的估計。本實驗選取了3個不同的恒溫條件，驗證了在不同的溫度條件下，加入溫度因素后都能夠更精確的實現(xiàn)對于SOC的估計，下一步要做的工作就是在溫度變化的條件下進(jìn)行實驗，來檢測溫度時變的情況下是否依然能得到較精確的結(jié)果。

圖12 10℃時估計誤差Fig.12 Estimation error at 10℃

圖13 30℃時SOC估計值Fig.13 Estimation value of SOC at 30℃

圖14 30℃時估計誤差Fig.14 Estimation error at 30℃

表4為在不同溫度下改進(jìn)Dual-EKF估計方法和EKF方法估計誤差的對比，說明了加入溫度因素之后SOC的估計精度得到了提高。

表4 不同溫度下改進(jìn)Dual-EKF法與EKF法估計誤差對比Tab.4 Comparison of estimation error between the improved Dual-EKF method and the original method at different temperatures

4 結(jié)語

本文針對電動汽車鋰電池組SOC估計問題中的行駛環(huán)境變化大，各單體電池的不一致性，在Vmin模型的基礎(chǔ)上，提出考慮溫度因素，并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，得出各參數(shù)與溫度之間的關(guān)系，從而使原模型得到改進(jìn)，以改進(jìn)的模型為基礎(chǔ)，提出用Dual-EKF算法來進(jìn)行模型的迭代運算，進(jìn)而實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)變量和時間變量的實時在線估計。仿真結(jié)果表明該方法能夠提高電池組的SOC估計精度。后續(xù)研究可以考慮電池SOC對電池內(nèi)阻的影響，讓模型更加精確。