空間幾何體中幾種常見(jiàn)的補(bǔ)形法

譚澤仁

【摘要】高考數(shù)學(xué)中，立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力的主要素材，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因此在實(shí)際教學(xué)中，尋求有效的培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的方法和途徑，是擺在一線教師面前一個(gè)很現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題.本文將對(duì)空間幾何體中幾種常見(jiàn)的補(bǔ)形法予以全面分析，幫助學(xué)生樹(shù)立空間模型與思想，巧妙破解空間幾何體中的難題.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；立體幾何；補(bǔ)形法

補(bǔ)形法是數(shù)學(xué)中一種常用的獨(dú)特方法，通過(guò)補(bǔ)形能夠發(fā)現(xiàn)未知幾何體與已知幾何體的內(nèi)在聯(lián)系.這種方法蘊(yùn)含了一種構(gòu)造思想，同時(shí)也反映了對(duì)立統(tǒng)一的辯證思想.

利用補(bǔ)形法解決立體幾何問(wèn)題的基本步驟是：

第一步：把不熟悉的或復(fù)雜的幾何體延伸或補(bǔ)加成熟悉的或簡(jiǎn)單的幾何體，把不完整的圖形補(bǔ)成完整的圖形；

第二步：運(yùn)用常見(jiàn)幾何體的知識(shí)等計(jì)算結(jié)果；

第三步：得出結(jié)論.

在高考中，補(bǔ)形法既可以在選擇填空題中體現(xiàn)，也可以在解答題中體現(xiàn)，常見(jiàn)的補(bǔ)形法有對(duì)稱補(bǔ)形、聯(lián)系補(bǔ)形和還原補(bǔ)形，還原補(bǔ)形主要涉及臺(tái)體中“還臺(tái)為錐”.下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行剖析：

方法一對(duì)稱補(bǔ)形

例1（2015·唐山模擬）如圖1所示，△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，F(xiàn)C=4，AE=5.則此幾何體的體積為.

【常規(guī)解法】如圖2所示，取CM=AN=BD，連接DM，MN，DN，用“分割法”把原幾何體分割成一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐.所以V幾何體=V三棱柱+V四棱錐.

由題知三棱柱ABC-NDM的體積為

V1=12×8×6×3=72.

四棱錐D-MNEF的體積為

V2=13×S梯形MNEF·DN=13×12（1+2）×6×8=24，

則幾何體的體積為V=V1+V2=72+24=96.

【補(bǔ)形法】用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使AA′=BB′=CC′=8，所以V幾何體=12V三棱柱=12×S△ABC·AA′=12×24×8=96.

【小結(jié)】比較上述兩種方法，補(bǔ)形法顯然比分割法要簡(jiǎn)潔得多，計(jì)算量也很小，但要抓住圖形的對(duì)稱性，巧妙的補(bǔ)成熟悉的幾何體，并找到原幾何體與補(bǔ)形后的幾何體的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)的奇效.

【變式訓(xùn)練1】如圖4所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BCE分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合，則形成的三棱錐的外接球的表面積為.

【思路】由已知條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折疊后得到一個(gè)正四面體，如圖5所示.作AF⊥平面DEC，垂足為F，F(xiàn)即為△DEC的中心.再利用三角形相似求出外接球半徑，繼而求出球的表面積.但是，如果考慮到正四面體的對(duì)稱性，把它放在正方體中，就可以使問(wèn)題變得更簡(jiǎn)潔.

【解析】由已知條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折疊后得到一個(gè)正四面體.把正四面體放在正方體中，如圖6所示.顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球.因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1，所以正方體的棱長(zhǎng)為22.所以外接球直徑2R=62，所以R=64，所以外接球的表面積S球=3π2.

方法二聯(lián)系補(bǔ)形

例2已知三棱錐P-ABC，PA=BC=5，PB=AC=34，PC=AB=41，求三棱錐的體積.

【思路】如按常規(guī)求法，需求三棱錐的底面積和高，而高很難求出.由已知三組相對(duì)棱相等這一特點(diǎn)，聯(lián)想長(zhǎng)方體對(duì)面不平行的對(duì)角線恰好組成對(duì)棱相等的三棱錐，因此可把三棱錐P-ABC補(bǔ)成長(zhǎng)方體，再將長(zhǎng)方體分割成三棱錐P-ABC和四個(gè)相同體積的三棱錐.

【解析】分別以三組對(duì)棱作為一長(zhǎng)方體的相對(duì)面的對(duì)角線，將原三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖8所示，則VP-ABC=V長(zhǎng)方體-4VP-ABP′.

設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為a，b，c，則有：

a2+b2=25，a2+c2=34，b2+c2=41a=3，b=4，c=5

VP-ABC=3×4×5-4×16×3×4×5=20，

所以三棱錐P-ABC的體積為20（立方單位）.

【小結(jié)】對(duì)對(duì)邊相等的三棱錐問(wèn)題，可以考慮補(bǔ)成長(zhǎng)方體來(lái)處理，會(huì)使問(wèn)題會(huì)簡(jiǎn)潔許多.

【變式訓(xùn)練2】過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作PA⊥面AC，設(shè)PA=AB，求平面PAB和面PCD所成二面角的大小.

【解析】此圖可補(bǔ)形為正方體ABCD-PQRS，顯然所求二面角即為正方體的對(duì)角面PQCD與側(cè)面PQBA所成的角，而此角為45°，故所求二面角的大小為45°.

方法三還原補(bǔ)形

例3（2016高考浙江理數(shù)）如圖10所示，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（1）求證BF⊥平面ACFD；

（2）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【思路】（1）先證BF⊥AC，再證BF⊥CF，進(jìn)而可證BF⊥平面ACFD；

（2）方法一：先作二面角B-AD-F的平面角，再在Rt△中計(jì)算，即可得二面角B-AD-F的平面角的余弦值；方法二：先建立空間直角坐標(biāo)系，再計(jì)算平面ADB和平面ADF的法向量，進(jìn)而可得二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【解析】（1）延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖11所示.

因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此AC⊥BF.又因?yàn)镋F∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，

所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，所以BF⊥CK.

所以BF⊥平面ACFD.

（2）方法一：過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AK，連接BQ.因?yàn)锽F⊥平面ACFD，所以BF⊥AK，則AK⊥平面BFQ，所以AK⊥BQ.所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.

在△ACK中，AC=3，CK=2，得QF=31313.

在△BQF中，QF=31313，BF=3，得cos∠BQF=34.

所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值為34.

方法二：略.

【小結(jié)】在立體幾何中，對(duì)于臺(tái)體問(wèn)題，常常采用“還臺(tái)為錐”的策略.

【變式訓(xùn)練3】【吉林省長(zhǎng)春市普通高中2017屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（理）】已知三棱錐S-ABC，滿足SA，SB，SC兩兩垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱錐S-ABC外接球上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)Q到平面ABC的距離的最大值為.

圖12

【解析】由已知，SA，SB，SC兩兩垂直，可將三棱錐還原補(bǔ)成正方體，其棱長(zhǎng)為2，則三棱錐的外接球即正方體的外接球.外接球上到平面ABC距離最大的點(diǎn)應(yīng)該在過(guò)球心且和面ABC垂直的直徑上，因?yàn)檎襟w的外接球直徑和正方體的體對(duì)角線相等，即2r=23，故點(diǎn)Q到平面ABC距離的最大值為23（2r）=23（23）=433.

【小結(jié)】若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有關(guān)元素“還原補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2=a2+b2+c2求解.

總之，“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見(jiàn)的重要方法，在解題時(shí)，把幾何體通過(guò)“補(bǔ)形”補(bǔ)成一個(gè)完整的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中，可以巧妙地破解空間幾何體的體積等問(wèn)題.在應(yīng)用時(shí)注意以下幾點(diǎn)：

1.應(yīng)用條件：當(dāng)某些空間幾何體是某一個(gè)幾何體的一部分，且求解的問(wèn)題直接求解較難入手時(shí)，常用該法.

2.以下情況，可以考慮將棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體：

（1）正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐；

（2）同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐；

（3）若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系；

（4）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直.

3.掌握補(bǔ)與割的區(qū)別與聯(lián)系.兩者既是對(duì)立，又是統(tǒng)一的，解題過(guò)程中注意兩種方法的有效結(jié)合，以達(dá)到事半功倍的效果.